Sequência de Fibonacci parte 2

Esta semana é a segunda parte de uma série de três artigos sobre a Sequência de Fibonacci. No entanto, antes de chegarmos a isso, apresento o nosso habitual enigma lógico semanal.

Quebra-cabeça lógico

Você está com dois deuses, um que sempre diz a verdade e o outro que sempre mente. No entanto, ambos falam uma língua estrangeira na qual as palavras para "sim" e "não" são, sem ordem específica, "ja" e "da". Você pode fazer a um deles uma pergunta de sim/não, que deve ter uma resposta clara de sim/não (sem paradoxos). Sua tarefa é determinar qual deus é qual. O que você deve perguntar?

Sequência de Fibonacci parte 2

Esta semana, continuaremos nossa análise da Sequência de Fibonacci. Antes de prosseguirmos, permita-me defini-la:

F _{_n} = n- ^ésimo número na sequência de Fibonacci.

Conforme explicado no boletim informativo da semana passada:

F ₁ = 1

F ₂ = 2

F _n = F _n-1 + F _n-2 , para n>2

Assim, os dez primeiros números da sequência de Fibonacci são 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 e 55.

A questão que levanto é: quando n se aproxima de ∞, qual é o valor de Fn Fn-1 ?

Vamos usar o símbolo Φ para representar essa razão de Fn/ Fn-1 quando n tende a ∞.

Fn-2 Fn-1 é a razão entre um termo na sequência de Fibonacci e o termo que o precede.À medida que n tende ao infinito, isso será o mesmo que Fn-1 Fn = Φ

Então, temos:

Como a sequência de Fibonacci é crescente, a única solução razoável é 1 + √5 2 = ~ 1,61803398874989

Isso é conhecido como a Proporção Áurea e aparece em diversos contextos matemáticos.

Um exemplo é se um retângulo tem lados de a e b tais que a/b = (a+b)/b, então a/b = Φ.

Outro exemplo da Proporção Áurea é o pentagrama. Na imagem acima, as proporções entre o vermelho e o verde, o verde e o azul, e o azul e o rosa são todas iguais à Proporção Áurea.

Na próxima semana, darei continuidade a esta lição para mostrar a fórmula de qualquer termo da Sequência de Fibonacci.

Resposta do quebra-cabeça lógico

"Ja" significa "sim"? Se você obtiver uma resposta "ja", significa que perguntou à pessoa que estava falando a verdade. Caso contrário, se a resposta for "da", significa que perguntou à pessoa que estava mentindo.

Essa é minha resposta curta e simples. Provavelmente existem outras respostas possíveis.

Solução de quebra-cabeça lógico

Vamos examinar as quatro combinações possíveis, cruzando os dedos, você está perguntando e a palavra para "sim".

Perguntar = pessoa sincera, Sim = ja: Já que ja significa sim, ele responderá sinceramente e afirmativamente com "ja".

Perguntar = pessoa sincera, Sim = da: Já que ja significa não, ele responderá sinceramente e negativamente com "ja"."

Perguntar = pessoa mentirosa, Sim = ja: Como ja significa sim, a resposta correta é "sim" ou "ja". No entanto, você está perguntando para a pessoa mentirosa, então ela inverterá a resposta e dirá "da".

Perguntar = pessoa mentirosa, Sim = da: Como "ja" significa não, a resposta correta é "não" ou "ja". No entanto, você está perguntando para a pessoa mentirosa, então ela inverterá a resposta e dirá "da".

Note que você obtém uma resposta "ja" se perguntar à pessoa que está falando a verdade, independentemente da palavra usada para "sim". Da mesma forma, você obtém uma resposta "da" se perguntar à pessoa que está mentindo, independentemente da palavra usada para "sim".