Paradoxo da Amizade (parte 2)

Na semana passada, apresentei o Paradoxo da Amizade e o quantifiquei com evidências de uma simulação aleatória, comprovando que ele é de fato verdadeiro.

Só para lembrar, o Paradoxo da Amizade afirma que, em média, nossos amigos têm um número igual ou maior de amigos do que nós. Isso é verdade! Não há nada de paradoxal nisso, pois pode ser comprovado matematicamente. No entanto, concordo que parece contrariar o senso comum.

Somente na situação em que todos têm o mesmo número de amigos é que a média de amigos por pessoa será igual à média de amigos dos seus amigos. Caso contrário, independentemente do método de medição, parecerá que nossos amigos têm mais amigos do que nós.

Vejamos um exemplo simples com três pessoas.

Alice é amiga de Charlie.
Bob é amigo de Charlie.
Charlie é amigo de Alice e Bob.

A tabela a seguir mostra o número de amigos por pessoa, bem como a média de amigos dos seus amigos. Por exemplo, Alice tem um amigo (Charlie). Bob também tem um amigo (Charlie). Charlie tem dois amigos (Alice e Bob). A última linha mostra que a média de amigos por pessoa, 1,33, é menor que a média de amigos dos amigos, 1,67.

Pessoa	Amigos	Amigos médios de amigos
Alice	1	2
Prumo	1	2
Charlie	2	1
Média	1,33	1,67

No Facebook, a pessoa média tem 249 amigos. Enquanto isso, o número médio de amigos dos seus amigos é 359 (fonte: Zach Star).

Embora eu ainda defenda a ideia geral de que nossos amigos são mais populares do que nós, em média, talvez o número 1,67 no canto inferior direito da tabela não seja o que devemos analisar. Estatisticamente falando, não é correto calcular a média das médias.

E se contássemos quantos amigos cada amigo tem e calculássemos a média? Nesse caso, Alice diria que seu amigo Charlie tem 2 amigos, dando a Charlie 2 pontos. Bob diria o mesmo, dando a Charlie mais dois pontos. Charlie diria que Alice tem 1 amigo e Bob tem 1 amigo. Somando os pontos, Charlie tem 4, Alice tem 1 e Bob tem 1. Isso dá um total de 6 pontos. Entre os dois lados das duas amizades, há um total de 4 amigos. A média de pontos por amigo é 6/4 = 1,5. Isso ainda é mais do que a média de amigos por pessoa, que é de 1,33.

Por que isso é verdade em geral? Uma explicação possível é que a maioria das pessoas tem mais probabilidade de ser abordada para amizade por pessoas carismáticas do que por pessoas socialmente desajeitadas. Para a maioria das pessoas, é de se esperar que conheçam muitas pessoas extrovertidas e poucas solitárias.

Em outras palavras, uma minoria de pessoas carismáticas está elevando a média de amigos que nossos amigos têm. É provável que sejamos amigos dessas pessoas, o que infla a média de amigos dos nossos amigos, fazendo com que nos sintamos socialmente desajeitados e excluídos.

Existem muitos artigos matemáticos sobre este tema, mas creio que tudo se resume à explicação simples acima.