Vá primeiro, dados

Ao jogar um jogo de tabuleiro, é comum rolar os dados para determinar quem começa. Por exemplo, pode-se sugerir que quem tirar o maior número comece e, em seguida, os jogadores sigam no sentido horário ao redor da mesa. No entanto, isso apresenta dois problemas. Primeiro, pode haver um empate, o que resultaria em perda de tempo rolando os dados novamente. Segundo, as demais posições não são aleatórias.

Meu objetivo era criar um conjunto de dados que randomizasse a ordem de 2 a 4 ou mais jogadores, com todas as ordens tendo a mesma probabilidade de serem sorteadas. Preferi usar os cinco sólidos platônicos, mas fui flexível quanto a isso. Empates eram estritamente proibidos. Apenas uma jogada!

Com dois jogadores é bem fácil. Se quem jogasse com o menor número fosse o primeiro e moedas fossem permitidas, as moedas poderiam ser facilmente identificadas da seguinte forma:

Moeda 1: 1,4

Moeda 2: 2,3

Tudo se resume à primeira moeda, ou seja, se ela cair acima ou abaixo dos dois números consecutivos na segunda moeda. Para estender isso à regra dos sólidos platônicos, podemos simplesmente duplicar as faces. Por exemplo, com cubos, poderíamos ter:

Cubo 1: 1,1,1,3,3,3

Cubo 2: 2,2,2,2,2,2

Se tivermos mesmo que usar números diferentes, o que eu prefiro, podemos fazer o seguinte:

6; família de fontes: 'Open Sans', sans-serif; cor: #313131 !important; ">Cubo 1: 1,2,3,10,11,12

Cubo 2: 4,5,6,7,8,9

Com três jogadores, a situação começa a ficar difícil. Confesso que tentei usar uma combinação de álgebra e tentativa e erro no Excel, mas não consegui. Então, recorri a um pequeno truque e escrevi uma simulação para numerar aleatoriamente as faces de três dados de 1 a 18 até encontrar uma solução. O programa encontrou uma em poucos minutos, como segue:

Cubo 1: 3,4,9,10,13,18

Cubo 2: 2,5,7,12,15,16

Cubo 3: 1,6,8,11,14,17

Existem 6³ = 216 maneiras de rolar os três dados. Existem seis ordens possíveis para os três jogadores. Você pode confiar em mim: das 216 possibilidades, cada ordem ocorreu 216/6 = 36 vezes.

Como eu já havia escrito um simulador para essa tarefa, estendi-o para o caso de quatro jogadores. Ele rodou por muitas horas, tentando trilhões de combinações, mas nada funcionou. Então, voltei a resolver o problema matematicamente. Foi minha ideia expandir a solução com três dados da seguinte forma:

Cubo 1	4	5	10	15	18	23
Cubo 2	3	6	8	17	20	21
Cubo 3	2	7	9	16	19	22
Cubo 4	1	11	12	13	14	24

Meu raciocínio era que o jogador com o Cubo 4 deveria ter ¼ de chance de jogar primeiro ou por último. Vamos considerar a probabilidade de jogar primeiro. Se ele tirasse 1, jogaria primeiro independentemente dos outros três dados, já que 1 é o menor número. Essa probabilidade é obviamente 1/6. Se o Cubo 4 fosse um número entre 11 e 14, então os outros três jogadores precisariam tirar 15 ou mais para que o Cubo 4 fosse o menor. Cada um deles tirou 3 números maiores que 14. Portanto, a probabilidade de o Cubo 4 ser o menor era (1/4) + (4/6)*(3/6)^3 = 1/6. Isso me levou à conclusão de que cada jogador teria ¼ de chance de jogar primeiro.

No entanto, se o Cubo 4 fosse o mais baixo, a ordem dos outros três jogadores não seria igualmente provável. Por exemplo, se os cubos de 1 a 3 fossem todos 15 ou mais, a probabilidade de o Cubo 1 ser o mais baixo deveria ser 1/3, mas na verdade é prob(cubo 1 = 15) + prob(cubo 1 = 18)*prob(cubo 2 = 20 ou 21)*prob(cubo 3 = 19 ou 22) = 1/3 + (1/3)*(2/3)*(2/3) = 13/27.

Então, tive a ideia de transformar os cubos de 1 a 3 em dodecaedros (dados de 12 lados), duplicando os seis lados originais nos outros seis, mas adicionando 24, da seguinte forma:

Cubo 1	5	6	11	12	15	20	31	32	37	38	41	46
Cubo 2	4	7	9	14	17	18	30	33	35	40	43	44
Cubo 3	3	8	10	13	16	19	29	34	36	39	42	45

Para o Cubo 4, coloquei os dois números mais baixos e os dois mais altos: 1, 2, 47 e 48. Em seguida, os oito números no intervalo entre 20 e 29. Isso preservaria a probabilidade de o Cubo 4 ser o primeiro ou o último em (2/12) + (8/12)*(6/12)^3 = ¼ . Se o Cubo 4 rolasse de 10 a 39, voltaria à solução com três dados, que já foi comprovada. Portanto, a solução com quatro dados é:

Morra 1	5	6	11	12	15	20	31	32	37	38	41	46
Morra 2	4	7	9	14	17	18	30	33	35	40	43	44
Morra 3	3	8	10	13	16	19	29	34	36	39	42	45
Morra 4	1	2	21	22	23	24	25	26	27	28	47	48

Você terá que confiar em mim que, das 12^4 = 1.296 maneiras possíveis de rolar os quatro dados e 4! = 24 ordens possíveis, cada ordem tem 1.296/24 = 54 combinações.

Não consegui parar por aí e passei para o caso de cinco jogadores. Usando a mesma lógica do caso de quatro jogadores, o melhor que consegui foi usar dados de 840 lados. Em vez de adicionar cerca de cinco páginas a este boletim informativo com uma longa sequência de números, publiquei os valores exatos dos dados no meu fórum no Wizard of Vegas, no tópico " Go First Dice" . Existem 3.485.099.520.000 maneiras de rolar cinco dados de 840 lados, então verifiquei os resultados por simulação aleatória e fiquei satisfeito de que os dados atingiram o resultado esperado.

O vídeo que me iniciou nessa jornada foi "Go First Dice", do Numberphile (um dos meus canais favoritos!). Devo admitir que James Grime chegou à questão dos quatro dados da mesma forma que eu. No entanto, espero contribuir com algo para a discussão.

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