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Prova de que a raiz quadrada de 2 é irracional.

Esta semana vamos provar que a raiz quadrada de 2 é irracional. No entanto, antes de chegarmos a isso, apresento o enigma lógico da semana.

Quebra-cabeça lógico

Um xeique árabe diz a seus dois filhos para apostarem uma corrida de camelos até uma cidade distante para ver quem herdará sua fortuna. Aquele cujo camelo for mais lento vence. Depois de vagarem sem rumo por dias, os irmãos pedem conselhos a um sábio. Ao receberem o conselho, montam nos camelos e correm para a cidade o mais rápido que podem. O que o sábio lhes disse?

A resposta está no final do boletim informativo.

Prova de que a raiz quadrada de 2 é irracional.

Usaremos o método da contradição para nossa demonstração. Isso significa que vou refutar a ideia de que a raiz quadrada de 2 é racional, restando a alternativa de que ela é irracional.

A definição de um número racional é que ele pode ser expresso como a razão entre dois inteiros. Vamos chamá-los de p e q. Isso significa que um número irracional não pode ser expresso dessa forma. Para fins de nossa prova por contradição, digamos, por ora, que a raiz quadrada de √(p²/q²) pode ser expressa como p²/ q² , onde a fração é reduzida aos seus termos irredutíveis. Assim, temos:

√2 = p q

2 = p²q² (Elevando ambos os lados ao quadrado)

6; família de fontes: 'Open Sans', sem serifa; cor: #313131 !importante; ">2q 2 = p 2

Neste ponto, p deve ser par, pois se o quadrado de um número é par, então o próprio número é par. Da mesma forma, o quadrado de um número ímpar também é ímpar. Assim, podemos dizer que p = 2k, onde k é algum número inteiro.

2q 2 = (2k) 2

2q² = 4k²

q 2 = 2k 2

Pela mesma lógica, q também deve ser par. Portanto, tanto p quanto q são pares. No entanto, assumimos inicialmente que p e q estavam em sua forma irredutível. Mesmo assim, se ambos são pares, então ambos podem ser divididos por 2.

Assim, a suposição original de que √2 = p q foi comprovada como falsa. Portanto, a alternativa de que √2 é irracional deve ser verdadeira.

Solução de quebra-cabeça lógico

O sábio disse: "Troquem de camelos e corram para a cidade distante."