Pedra, Papel e Tesoura Menos Um

Dando continuidade à minha série sobre o Caminho de Santiago, vamos falar sobre o jogo conhecido como "pedra, papel e tesoura menos um".

O jogo é apresentado no primeiro episódio da segunda temporada de Squid Game. O programa em si é repleto de teorias de jogos interessantes, e este novo jogo não é exceção. Presumo que o leitor já conheça as regras da versão clássica de pedra, papel e tesoura.

Aqui estão as regras de pedra, papel e tesoura menos um.

1. 1. Na primeira fase do jogo, ambos os jogadores, simultaneamente, jogam símbolos de sua escolha, um com cada mão.
2. 2. Ambos os jogadores têm um momento para pensar em seu próximo movimento.
3. 3. Na segunda fase do jogo, ambos os jogadores, ao mesmo tempo, puxam uma das mãos para trás, jogando assim o símbolo da outra mão.
4. 4. As regras clássicas de pedra, papel e tesoura determinam o vencedor com base no único símbolo restante de cada jogador.

O vídeo a seguir explica as regras.

Embora a explicação das regras estivesse correta e divertida, o conselho dado estava completamente ERRADO! Essa opinião se baseia na suposição de que, em caso de empate, eles jogariam novamente, a menos que houvesse um vencedor. Veja a situação no exemplo mostrado no vídeo:

Triângulo brinca de papel e tesoura.

Circle joga pedra e papel.

No minuto 1:18 do vídeo, o Recrutador diz que o Triângulo deve jogar com papel porque, independentemente da jogada do Círculo, o jogo terminará, no mínimo, empatado.

Vamos analisar a situação com atenção. A tabela a seguir mostra o resultado de todas as quatro situações possíveis da perspectiva do jogador do Triângulo.

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Como você pode ver, da perspectiva do Triângulo, há duas maneiras de ganhar, uma de empatar e uma de perder. O oposto é verdadeiro da perspectiva do Círculo, com uma maneira de ganhar, uma de empatar e duas de perder. Portanto, o Triângulo está em uma posição de vantagem.

O Recrutador está certo ao afirmar que, se Triângulo jogar papel, ele garante pelo menos um empate. No entanto, se Círculo previu esse raciocínio, ele poderia sair de sua posição desvantajosa jogando também papel, resultando em um empate.

Se Triângulo pudesse prever que Círculo pensaria isso e jogaria Papel, ele poderia ganhar o jogo arriscando com Tesoura. No entanto, se Círculo pudesse ver isso, ele arriscaria e jogaria Pedra, esmagando a tesoura de Triângulo. Por outro lado, se Triângulo pudesse prever que Círculo jogaria Pedra, ele completaria o ciclo e jogaria Papel, derrotando a pedra de Círculo. E assim continua, em um ciclo infinito, muito parecido com o clássico Pedra, Papel e Tesoura.

A estratégia correta para ambos os lados é a randomização! Vamos resolver isso.

Deixar:

s = Triângulo de probabilidade joga tesoura

r = Círculo de Probabilidade joga rock.

A chave para resolver problemas de teoria dos jogos como este é encontrar uma probabilidade em que sua vitória esperada seja a mesma, independentemente das jogadas do seu oponente. Assim, não ajuda seu oponente a decifrar sua estratégia.

Seja f(s) = Ganho esperado se Triangle jogar tesoura.

= -rs + s(1-r) + (1-s)r + 0*(1-s)(1-r)

= -rs + s – rs + r – sr

= s + r – 3sr

6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">Em seguida, calcule a derivada em relação a s e iguale a 0:

f'(s) = 1 – 3r = 0

r = 1/3.

Seja f(r) = Vitória esperada se Circle jogar pedra.

= rs - r(1-s) - (1-r)s + 0*(1-s)(1-r)

= rs–r + rs – s + rs

= -s - r + 3sr

Em seguida, calcule a derivada em relação a r e iguale a 0:

f'(r) = -1 + 3s = 0

s = 1/3.

Assim, a estratégia ideal, ao contrário do que o recrutador disse, é:

1. • O triângulo deve jogar tesoura com probabilidade 1/3 e o papel com probabilidade 2/3.
2. • O grupo deve jogar pedra com probabilidade 1/3 e papel com probabilidade 2/3.

Se pelo menos um jogador seguir essa estratégia, o resultado de cada partida será o seguinte:

1. • Vitórias do triângulo = 4/9 = 44,44%
2. • Empate = 4/9 = 44,44%
3. • Vitórias do círculo = 1/9 = 11,11%

Considerando uma vitória como +1, um empate como 0 e uma derrota como -1, a vitória esperada da Triangle é de 1/3 = 33,3%.

Obrigado por lerem e espero que estejam gostando da segunda temporada de Squid Game tanto quanto eu!