Paradoxo dos Dois Envelopes -- 19/09/2019

Adoro um bom paradoxo, e o Paradoxo do Envelope é um dos meus favoritos. Existem várias maneiras de formulá-lo. Eu gosto de programas de auditório, então prefiro formulá-lo nesse formato. Dito isso, aqui está o paradoxo:

Você está em um programa de jogos onde o apresentador lhe mostra dois envelopes lacrados e pede que você escolha um, o que você faz. Sem abri-los, o apresentador explica que um dos envelopes contém o dobro do dinheiro do outro. Em seguida, ele lhe dá a opção de trocar para o outro envelope.

Ao considerar a decisão de trocar de envelope, você raciocina que o outro envelope contém metade ou o dobro do dinheiro do envelope que você escolheu. Há 50% de chance de você ter escolhido o envelope com o menor ou o maior valor. Seja x o valor no envelope escolhido. Você calcula que o valor esperado do outro envelope é a média entre metade de x e o dobro de x. Em outras palavras, o valor esperado do outro envelope é igual a (1/2)*2x + (1/2)*(x/2) = x + x/4 = 1,25x.

Isso parece fazer com que a troca pareça uma boa aposta. No entanto, você poderia aplicar o mesmo raciocínio para voltar atrás, se tivesse a oportunidade. Se a troca fosse ilimitada, você ficaria alternando infinitamente. Claramente, você não ganharia nada com isso. Então, a questão é: onde está a falha no argumento de que o valor esperado do outro envelope é 1,25 vezes o valor do envelope escolhido?

Não existe uma resposta simples para essa pergunta. Longos artigos em periódicos avançados de matemática já foram escritos sobre o assunto. Eu mesmo já discuti com outros matemáticos, em nível de pares, por horas a fio. Todos concordam que o argumento de 1,25x é falho, mas discordam sobre como explicar por que ele é falho, especialmente em uma linguagem simples e direta.

Na minha opinião, a maneira mais fácil de explicar a falha no argumento do valor esperado é que os multiplicadores 2 e 0,5 são aplicados ao mesmo valor de x no primeiro envelope. Isso sugere que o valor no outro envelope é 2x ou 0,5x . A razão entre 2x e 0,5x é 4. O próprio problema afirma que o valor maior é o dobro do menor, não quatro vezes o valor. Portanto, isso não pode estar correto.

Ainda assim, esse argumento não me convence. Ele pode refutar o argumento do valor esperado, mas onde está o erro desse argumento? A maneira como prefiro explicar é que a fórmula do valor esperado não funciona porque assume que x é um valor fixo. Não é, é aleatório. O multiplicador está 100% correlacionado com o valor de x. Isso faz com que o argumento do valor esperado falhe.

Uma maneira mais adequada de pensar sobre o problema é considerar o ganho ou a perda na troca. Esse ganho é a diferença entre os dois envelopes. Por exemplo, se os dois envelopes contêm y e 2y, então a troca causará um ganho ou uma perda de y. Em outras palavras, o ganho com a troca é *y + 0,5*-y = 0 .

Ainda assim, não estou totalmente satisfeito com essa explicação. Consigo dormir tranquilo com ela, mas não sei se um leigo entenderia meu argumento. Provavelmente não entenderia.

Peço desculpas se esta newsletter não estiver das melhores. Caso o assunto lhe interesse, ele surge de tempos em tempos no meu fórum no Wizard of Vegas . Aqui estão os dois tópicos principais sobre o tema:

PROBLEMA DOS DOIS ENVELOPES EM MATHPROBLEMS.INFO

CLÁSSICO... VARIAÇÃO DE MONTE HALL...

Escrito por: Michael Shackleford