A resposta do enigma do sapo do TED-Ed está errada.

Um canal muito bom no YouTube é o TED-Ed. Uma coisa que eu gosto nele é que eles frequentemente abordam quebra-cabeças de matemática e lógica. No entanto, nesta newsletter, eu critico a resposta incorreta deles para o "Enigma do Sapo".

Antes de prosseguirmos, sugiro que você assista ao vídeo. Aqui está o link:

Caso você não tenha assistido ao vídeo, aqui estão as informações fornecidas:

1. Você está perdido em uma enorme floresta tropical e comeu um cogumelo venenoso.
2. Para salvar sua vida, você precisa do antídoto excretado por uma certa espécie de rã.
3. Infelizmente, apenas a fêmea da espécie produz o antídoto.
4. Os indivíduos do sexo masculino e feminino aparecem em igual número e são idênticos.
5. O macho possui um coaxar característico.
6. À esquerda, você avista um sapo em um toco de árvore.
7. Antes que você consiga chegar até o sapo no toco da árvore, você ouve um coaxar vindo de uma clareira na direção oposta.
8. Na clareira, você vê dois sapos, mas não consegue dizer qual deles fez o barulho.
9. Você sente que está perdendo a consciência e só tem tempo de ir em uma direção.
10. Todos os sapos são dóceis e podem ser facilmente lambidos se alguém se aproximar.

A questão é: qual caminho você deve seguir? Em outras palavras, qual a probabilidade de sobrevivência em cada direção?

O enigma claramente pretende ser uma reformulação do clássico enigma do menino e da menina. Deixemos o enigma do sapo de lado por um momento e formulemos o enigma do menino e da menina propriamente dito. Nesse enigma, temos:

1. Meninos e meninas aparecem em igual número e são independentes de quaisquer irmãos (em outras palavras, podemos ignorar gêmeos idênticos).
2. Uma mulher com exatamente dois filhos é questionada: "Você tem pelo menos um menino?" Ela responde: "Sim."”

A questão é: qual a probabilidade de ela também ter uma menina?

A resposta incorreta mais comum para essa pergunta é "1/2". O argumento é que a "outra criança" tem 50% de chance de ser menino ou menina. A falácia está em presumir que não existe uma "outra criança".

A maneira correta de resolver isso é com o teorema de Bayes da probabilidade condicional. Em geral, ele afirma que a probabilidade da afirmação A ser verdadeira, dado a informação B, é a razão entre a probabilidade de ambas serem verdadeiras e a probabilidade de B ser verdadeira. Isso é expresso como:

Pr(A | B) = Pr(A e B) / Pr(B).

No quebra-cabeça menino-menina:

A = A mãe tem uma menina

B = Pelo menos um menino

Isso pode ser resolvido como Pr(menino e menina) / Pr(pelo menos um menino).

Em geral, para famílias com dois filhos, as probabilidades são:

Menino e menina = 50%

Menino e menino = 25%

Menina e menina = 25%

A resposta para o enigma menino-menina é então 50%/(50% + 25%) = 50%/75% = 2/3.

Outra forma comum de explicar a probabilidade de 2/3 é com a seguinte tabela.

Criança 1	Criança 2
	Macho	Fêmea
Macho	Não	Sim
Fêmea	Sim

A célula fêmea/fêmea está em preto porque é impossível. Um "sim" indica pelo menos uma fêmea. Você pode ver que, das três possibilidades, duas contêm uma fêmea. Portanto, a probabilidade de haver pelo menos uma fêmea é de 2/3.

Agora, voltemos ao enigma do sapo. Com base em como eles chegam à resposta no vídeo, fica claro que eles usam a parte sobre o coaxar dos machos para inferir que pelo menos um dos sapos na clareira é macho. No entanto, a forma como a frase "a resposta", a parte do coaxar, leva a uma resposta diferente de 2/3.

Para chegar a uma resposta correta, precisamos saber a probabilidade de se ouvir o coaxar de um sapo macho específico. Para fins de argumentação, vamos supor que seja de 10%. Vamos supor também que, se você ouvir o coaxar vindo da clareira, não terá ideia se está vindo de um ou de dois sapos.

Vamos primeiro examinar a probabilidade de o sapo no tronco ser fêmea. A expressão para essa probabilidade é:

Pr(fêmea | sem coaxar) =

Pr(fêmea e sem coaxar)/Pr(sem coaxar) =

Pr(fêmea e sem coaxar)/(Pr(fêmea e sem coaxar) + Pr(fêmea e sem coaxar)) =

(0,5 * 1)/(0,5 * 1 + 0,5 * 0,9) = 0,5/(0,5 + 0,45) = 0,5/0,95 = 10/19 ≈ 52,63%.

Agora, vamos examinar primeiro a probabilidade de haver uma fêmea na clareira. A expressão para essa probabilidade é:

Pr(fêmea | coaxar) =

6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">Pr(fêmea e coaxar)/Pr(coaxar) =Pr(fêmea e coaxar)/(Pr(Fêmea e macho coaxando) + Pr(Macho não coaxando e macho coaxando) + Pr(Dois machos coaxando)) =

Vamos analisar cada probabilidade individualmente:

Pr(fêmea e coaxar): Deve haver uma fêmea e um macho coaxando. A probabilidade disso é 2 * 0,5 * 0,5 * 0,1 = 1/20 = 0,05. O motivo do valor 2 é que existem duas maneiras de escolher qual rã é a fêmea.

Pr(Fêmea e macho coaxando) = O mesmo que acima, pois o coaxar só pode vir de um macho.

Pr(Macho não-coaxante e macho coaxante) = 2 * 0,5 * 0,5 * 0,9 * 0,1 = 0,045. O motivo para o valor 2 é que existem duas maneiras de escolher o macho que coaxará.

Pr(Dois machos coaxando) = 0,5 * 0,5 * 0,1 * 0,1 = 0,0025

A probabilidade geral de haver uma fêmea na clareira é 0,05 / (0,05 + 0,045 + 0,0025) = 0,05/0,0975 = 20/39 ≈ 51,28% .

Em resumo, a probabilidade de sobrevivência em ambos os casos é:

Riscar sapo no tronco = 52,63%

Lambe os dois sapos na clareira = 51,28%.

Portanto, você deve lamber o sapo no tronco.

Vamos analisar o caso geral em que a probabilidade de você ouvir um coaxar específico de um macho é c. As probabilidades de sobrevivência são:

Lick frog on log = 1/(2-c)

Lambe os dois sapos na clareira = 2/(4-c)

6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">Para qualquer valor de c>0, as probabilidades favorecerão lamber o sapo no tronco. Sabemos que c>0, porque ouvimos um coaxar.

Portanto, você deve lamber o sapo no tronco!