Pergunte ao Mago #120

A tabela a seguir mostra a probabilidade de se obter de 0 a 4 ases em uma mão totalmente aleatória.

Somando os valores de 1 a 4 ases, vemos que a probabilidade de haver pelo menos um ás é de 0,341158. A probabilidade de haver dois ou mais ases é de 0,041684.

A probabilidade de haver pelo menos mais um ás, dado que há pelo menos um, pode ser reformulada pelo teorema de Bayes como probabilidade(dois ou mais ases dado pelo menos um ás) = probabilidade(dois ou mais ases)/probabilidade(pelo menos um ás) = 0,041684/ 0,341158 = 0,122185.

Para quem não se lembra bem do Teorema de Bayes, ele afirma que a probabilidade de A dado B é igual à probabilidade de A e B dividida pela probabilidade de B, ou seja, Pr(A dado B) = Pr(A e B)/Pr(B).

A próxima tabela mostra as combinações e a probabilidade para cada número de outros ases, dado que o ás de espadas foi removido do baralho.

Isso mostra que a probabilidade de haver pelo menos mais um ás é de 0,221369.

Para nos divertirmos, vamos resolver a mesma questão usando o Teorema de Bayes. Suponha que mãos aleatórias sejam distribuídas até que uma contenha o ás de espadas. A probabilidade de haver pelo menos um ás adicional, dado que a mão contém o ás de espadas, pode ser reescrita como probabilidade(pelo menos dois ases dado que há um ás de espadas na mão). De acordo com o Teorema de Bayes, isso é igual a Probabilidade(a mão contém o ás de espadas e pelo menos mais um ás) / Pr(a mão contém o ás de espadas). Podemos decompor o numerador como Probabilidade(2 ases incluindo o ás de espadas) + Probabilidade(3 ases incluindo o ás de espadas) + Probabilidade(4 ases). Usando a primeira tabela, isso é igual a 0,039930×(2/4) + 0,001736×(3/4) + 0,000018 = 0,021285. A probabilidade de sair o ás de espadas é 5/52 = 0,096154. Portanto, a probabilidade de sair pelo menos dois ases, dado o ás de espadas, é 0,021285/0,096154 = 0,221369.

Assim, a probabilidade de se obter dois ou mais ases, dado que pelo menos um ás já está na mesa, é de 12,22%, e dado que o ás de espadas é de 22,14%.

Vamos analisar outra situação mais simples. Suponha que a mulher A diga: "Tenho dois filhos e pelo menos um é menino". A mulher B diz: "Tenho dois filhos e o mais velho se chama John". Podemos assumir que ninguém chamado John é menina e que nenhuma mulher dá o mesmo nome a mais de um filho. Usando a probabilidade condicional, a probabilidade de ambos os filhos da mulher A serem meninos é pr(ambos meninos)/pr(pelo menos um menino) = pr(ambos meninos)/(1-pr(ambas meninas)) = (1/4)/(1-(1/4)) = (1/4)/(3/4) = 1/3. No entanto, a probabilidade de o filho mais novo da mulher B ser menino, ou de ambos os filhos serem meninos, é desconhecida, porque dizer que o filho mais velho se chama John não nos diz nada sobre o filho mais novo.

Para dar outro exemplo, imagine que você vai à Jiffy Lube e eles oferecem duas promoções pelo mesmo preço. A promoção A consiste em verificar quatro peças e substituir apenas a primeira defeituosa encontrada. A promoção B consiste em verificar apenas um problema e consertá-lo, caso seja encontrado. Você não preferiria a promoção A? Seu carro chegou com o mesmo número de peças com defeito esperado, mas a probabilidade de encontrar um problema é maior na promoção A, e, portanto, você sairá com um número menor de peças com defeito esperado. Da mesma forma, um teste para qualquer ás provavelmente revelará o único ás, enquanto um teste para o ás de espadas não verifica os outros três naipes, tornando mais provável que sejam ases.

Com a face para baixo. Não poder ver as cartas dos outros jogadores até o final da rodada dá ao jogador menos informações, o que prejudica os contadores de cartas.

Os cassinos gostam de agrupar seus apostadores de acordo com o valor das apostas. Uma das razões para isso é que as mesas com limites mais altos têm menos jogadores, então os grandes apostadores jogam mais mãos por hora. Outra razão é que os jogadores gostam de estar perto de outros jogadores com valores de aposta semelhantes. Se um jogador quisesse apostar US$ 1.000 em uma mesa de US$ 5, isso poderia deixar os outros jogadores de US$ 5 nessa mesa nervosos ou desconfortáveis. Uma terceira razão é que se trata de uma medida preventiva contra trapaças.

Como já disse centenas de vezes, não existe um número mágico que determine quando você entra no "longo prazo". No entanto, quanto mais impressionantes forem seus resultados, menos mãos você precisará para comprovar que eles não são apenas aleatórios. No seu caso, a probabilidade de obter 54,5% ou mais em 2391 jogos é de aproximadamente 1 em 200.000. Portanto, eu diria que esse recorde merece ser levado muito a sério. Veja como cheguei a esse número:

Vitórias esperadas = 2391/2 = 1195,5
Vitórias reais acima das expectativas = 107,5
Desvio padrão = sqrt(2391*(1/2)*(1/2)) = 24,45
Desvios padrão em relação às expectativas = (107,5 + 0,5)/24,45 = 4,4174
Probabilidade de 4,4174 desvios padrão ou mais = normsdist(-4,4174) = 0,000005 = 1 em 200.000

Sim. Nunca ouvi falar de um jogador que tenha sido impedido de usar um.

A probabilidade de obter mais 2 cartas do mesmo naipe é 39*combin(11,2)/combin(50,3) = 0,109439. A probabilidade de obter mais 3 cartas do mesmo naipe é combin(11,3)/combin(50,3) = 0,008418. Portanto, a probabilidade de obter pelo menos mais 2 cartas do mesmo naipe é 0,117857.