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Pergunte ao Mago #156

Estou participando de um bolão da NFL e tirei números muito bons: 7 e 4 para Pittsburgh e 4 e 0 para Seattle. Gostaria de saber qual a probabilidade de eu ganhar este ano?

anônimo

Para os meus leitores que talvez não tenham entendido a pergunta, um bolão do Super Bowl tem uma grade de 10 por 10. Os jogadores compram quadrados por um valor fixo cada, escrevendo o nome do comprador em cada quadrado. Depois que todos os 100 quadrados forem comprados, as linhas e colunas devem receber cabeçalhos aleatórios de 0 a 9. Algo parecido com uma tabuada de multiplicação de 10 por 10, só que com os cabeçalhos das linhas e colunas embaralhados aleatoriamente. Então, o último dígito do placar de cada time será usado para determinar o vencedor. O motivo do embaralhamento é que alguns dígitos finais são muito mais prováveis do que outros, como você verá abaixo. Por exemplo, quem ficasse com o quadrado "Seattle 0, Pittsburgh 1" teria ganhado o bolão, porque o placar final foi Seattle 10, Pittsburgh 21.

A tabela a seguir mostra a frequência de cada combinação em todos os jogos da NFL das temporadas de 1983 a 2005. Deve-se notar que a regra da conversão de dois pontos foi introduzida por volta de 1998, o que teria o efeito de suavizar um pouco a distribuição.


Dígito terminal na NFL - Total de jogos fora de casa

Time visitante Time da casa Total
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 126 104 34 160 138 37 99 237 64 32 1031
1 73 40 17 41 103 21 36 117 67 31 546
2 25 15 1 20 30 9 13 33 9 12 167
3 194 69 33 66 102 40 102 132 43 40 821
4 122 133 27 78 108 27 48 215 59 35 852
5 32 12 12 21 21 9 13 36 22 5 183
6 91 47 17 75 57 7 28 57 25 39 443
7 217 115 35 135 195 47 65 125 69 47 1050
8 43 59 12 24 41 23 20 38 15 7 282
9 48 28 17 33 40 14 29 33 14 7 263
Total 971 622 205 653 835 234 453 1023 387 255 5638


A próxima tabela mostra a probabilidade de cada combinação com base nos totais da tabela acima.

Dígito terminal na NFL — Probabilidade de jogo fora de casa contra jogo fora

Time visitante Time da casa Total
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0,0223 0,0184 0,006 0,0284 0,0245 0,0066 0,0176 0,042 0,0114 0,0057 0,1829
1 0,0129 0,0071 0,003 0,0073 0,0183 0,0037 0,0064 0,0208 0,0119 0,0055 0,0968
2 0,0044 0,0027 0,0002 0,0035 0,0053 0,0016 0,0023 0,0059 0,0016 0,0021 0,0296
3 0,0344 0,0122 0,0059 0,0117 0,0181 0,0071 0,0181 0,0234 0,0076 0,0071 0,1456
4 0,0216 0,0236 0,0048 0,0138 0,0192 0,0048 0,0085 0,0381 0,0105 0,0062 0,1511
5 0,0057 0,0021 0,0021 0,0037 0,0037 0,0016 0,0023 0,0064 0,0039 0,0009 0,0325
6 0,0161 0,0083 0,003 0,0133 0,0101 0,0012 0,005 0,0101 0,0044 0,0069 0,0786
7 0,0385 0,0204 0,0062 0,0239 0,0346 0,0083 0,0115 0,0222 0,0122 0,0083 0,1862
8 0,0076 0,0105 0,0021 0,0043 0,0073 0,0041 0,0035 0,0067 0,0027 0,0012 0,05
9 0,0085 0,005 0,003 0,0059 0,0071 0,0025 0,0051 0,0059 0,0025 0,0012 0,0466
Total 0,1722 0,1103 0,0364 0,1158 0,1481 0,0415 0,0803 0,1814 0,0686 0,0452 1


Embora exista um time da casa simbólico no Super Bowl, acho que podemos ignorar isso. Vamos também ignorar tudo sobre ambos os times e nos basear estritamente nas médias históricas acima. Finalmente, vamos ignorar o fato de que o Super Bowl não pode terminar empatado, o que tornaria uma partida como 4/4 um pouco menos provável de ser vencida. Então, vamos calcular a média quando os dígitos finais forem diferentes. Por exemplo, a probabilidade do seu quadrado "Pittsburgh 7, Seattle 4" seria a média de "Visitante 7, Casa 4" e "Visitante 4, Casa 7". Fazendo isso, obtemos a seguinte probabilidade para cada um dos seus quadrados.

Pitts 7, Mar 4: (0,0346+0,0381)/2 = 0,0364
Pitts 7, Mar 0: (0,0385+0,0420)/2 = 0,0403
Pitts 4, Mar 4: 0,0192
Pitts 4, Mar 0: (0,0216+0,0245)/2 = 0,0231

Portanto, sua probabilidade total de ganhar um desses é de 11,90%. Considerando que você cobriu apenas 4% dos quadrados, você se saiu bem.

Embora você não tenha perguntado especificamente, aqui está a frequência com que cada dígito terminal ocorreu. Isso mostra que, no geral, do mais frequente para o menos frequente, a ordem é 7043168952.

Dígito terminal na NFL — Totais fora e em casa

terminal
Dígito		 Time visitante Time da casa Total
0 1031 971 2002
1 546 622 1168
2 167 205 372
3 821 653 1474
4 852 835 1687
5 183 234 417
6 443 453 896
7 1050 1023 2073
8 282 387 669
9 263 255 518


Finalmente, aqui está a probabilidade de cada dígito terminal.



Dígito terminal na NFL — Probabilidades de jogos em casa e fora

terminal
Dígito		 Time visitante Time da casa Total
0 0,1829 0,1722 0,1775
1 0,0968 0,1103 0,1036
2 0,0296 0,0364 0,033
3 0,1456 0,1158 0,1307
4 0,1511 0,1481 0,1496
5 0,0325 0,0415 0,037
6 0,0786 0,0803 0,0795
7 0,1862 0,1814 0,1838
8 0,05 0,0686 0,0593
9 0,0466 0,0452 0,0459

Para mais informações sobre este tópico, visite Football Squares Mathematical and Statistical Strategy .

Sabendo que uma jogada otimizada de Jacks or Better gera um retorno de 99,54% em uma máquina 9/6, tenho uma pergunta rápida: se não existisse a possibilidade de um Royal Flush, mas todo o resto permanecesse exatamente igual, qual seria o retorno na mesma máquina? Obrigado.

Michael de Seattle

Se um royal flush pagasse o mesmo que um straight flush, então 9/6 Jacks or Better teria um retorno de 98,03%.
Há uma prova com 75 questões de múltipla escolha. Cada questão contém 4 alternativas, sendo apenas 1 correta. A nota mínima para aprovação é 50%. Qual a probabilidade de ser aprovado na prova chutando todas as respostas?

Wendy de London

1 em 635.241.
Gostaria de saber onde posso encontrar um bom programa de testes como o simulador de bilhões de mãos que você costuma mencionar. Obrigado.

Michael de Los Angeles

Recebo muitas variações dessa pergunta. A verdade é que já escrevi centenas de simulações diferentes. Eu mesmo as escrevo em C++ para fazer exatamente o que quero. Quem escreve simulações geralmente parece estar procurando algo para testar sistemas de apostas. Infelizmente, não tenho nada, nem conheço nada, que permita ao usuário inserir informações sobre como o sistema de apostas funciona e depois testá-lo. Se existisse algo que funcionasse perfeitamente, o que você aprenderia com isso é que todos os sistemas de apostas são igualmente inúteis, exatamente o que venho dizendo há anos.
Gostaria de saber qual é o ponto de equilíbrio da aposta paralela do Jackpot Progressivo do Caribbean Stud para uma tabela de pagamentos que vi no norte de Indiana e que não está incluída na sua página do Caribbean Stud. A tabela à qual me refiro é a mesma que a sua Tabela 3, exceto que o pagamento para um straight flush é de US$ 5.000 fixos, em vez de 10% do jackpot. Vi essa tabela no Blue Chip Casino em Michigan City, Indiana, e outros jogadores me disseram que essa é a mesa padrão no norte de Indiana (no sul de Indiana, a sua Tabela 3 é a padrão). Muito obrigado pela riqueza de informações que vocês fornecem no site.

Kevin de Cincinnati

Para benefício dos meus leitores, a mesa 3 paga US$ 500 por uma quadra, US$ 100 por um full house e US$ 50 por um flush. O ponto de equilíbrio na tabela de pagamentos das apostas paralelas do norte de Indiana é de US$ 369.290,00.
Quando entro num cassino com US$ 100 e jogo roleta, não espero sair com 4% a menos, mas sim com 25% a menos. Esse fenômeno tem um nome formal? (Pesquisei no Google por "vantagem real da casa"). Existe alguma fórmula ou modelo para prever essa "vantagem real da casa"? Quais jogos são melhores e quais são piores nesse quesito?

Jacob de Tel Aviv

No seu exemplo, a margem de lucro do cassino é de 75%. Essa é a proporção entre o valor das fichas que os jogadores levam para casa e a quantia de dinheiro que o crupiê coloca na caixa. Embora existam médias históricas, não há como converter a vantagem da casa em lucro. O lucro depende, em parte, de quanto tempo o jogador vai usar suas fichas, e não há como saber isso.
Qual a probabilidade de se obter uma quadra no Omaha?

Kevin de Calgary, Alberta

Para os meus leitores que talvez não saibam, uma mão de Omaha tem nove cartas. Se o jogador puder usar quaisquer nove cartas, a probabilidade seria (13 * combin (48,5) - combin(13,2) * 44) / combin(52,9) = 0,00605. No entanto, se o jogador for obrigado a usar exatamente duas das suas quatro cartas fechadas, a probabilidade é
 (13*combinar(4,2)*combinar(48,2)*combinar(2,2)*combinar(46,3)-combinar(13,2)*combinar(4,2)*combinar(4,2)*combinar(2,2)*combinar(2,2)*44)/(combinar(52,4)*combinar(48,5)) = 0,00288
Note que essas fórmulas levam em consideração a possibilidade de se obter duas quadras.
Outro dia, enquanto meu namorado estava fora, eu estava no computador e me deparei com fotos pornográficas horríveis dele com as ex-namoradas. Embora eu não devesse ter visto aquelas pastas, decidi contar a ele o que fiz e dizer o quanto me senti mal por ele tê-las. Ele então mencionou, sem querer, que também havia vídeos. Eu disse a ele como me sinto em relação a ele ter essas coisas (ou seja, ele fazendo sexo com as ex), mas ele não vê nada de errado nisso – diz que são lembranças do passado (embora também diga que não as amava – então, de que são lembranças?). Eu nunca deixei nenhum outro cara tirar fotos minhas nua, mas agora me sinto realmente usada e abusada! Eu disse que ele poderia ficar com as fotos das outras e apagar as minhas, ou vice-versa, mas ele não quer fazer nenhuma das duas coisas. Por causa da diferença de idade entre nós, ele me chama de imatura – não acho que esteja sendo irracional – como eu disse, me sinto usada e, francamente, não sei o que vai acontecer entre nós. Nosso relacionamento pode durar? E será que eu estou mesmo errado? (Afinal, eu me desculpei sinceramente por ter mexido nas pastas.)

Lucia de Geneva

Receio que eu fique do lado dele. Ele não a criticaria por guardar cartas de amor antigas de ex-namorados, certo? No entanto, não a culpo por não querer fazer parte da coleção. Pode ser que você se sinta melhor se ele disser que concorda com o seu pedido, mas acho que ele convenientemente se esquecerá de ter um backup em algum lugar. Portanto, não creio que seu ultimato vá resolver o problema. Se você não consegue aceitar a atitude desinibida dele, então, de fato, acho que o relacionamento não vai durar.
Como posso obter uma lista ou um diretório de cassinos (no mundo todo) que oferecem blackjack com duas cartas ("pitch")? Já procurei em toda a internet e nem mesmo os sites da maioria dos cassinos especificam isso.

Kim de Novi

Para Las Vegas, que tal usar minha própria pesquisa sobre blackjack no Wizard of Vegas? Para o restante dos Estados Unidos e Canadá, recomendo fortemente o Current Blackjack News de Stanford Wong. Lá você encontrará as regras exatas do blackjack em praticamente todos os cassinos desses dois países.
Em máquinas caça-níqueis com rodadas bônus como "Jackpot Party" ou aquela com os duendes, os prêmios ou potes de ouro são predeterminados no momento em que você ativa a rodada bônus ou individualmente por um gerador de números aleatórios ao selecionar cada prêmio.

Jerry de Tacoma

Poderia ser feito de qualquer uma das duas maneiras. Acho que a maioria dos criadores de caça-níqueis prefere que os prêmios sejam constantemente misturados, de forma que o resultado dependa tanto da caixa escolhida quanto do momento da escolha. Matematicamente falando, não faz diferença qual das duas opções eles programam.
Socorro! Acho que meu namorado, com quem estou há mais de um ano, está me traindo. Ultimamente, ele tem recebido muitas mensagens instantâneas da ex. Eles não se falam há muito tempo, e ele me disse que era para encerrar o assunto. Aí, uma manhã, ele me chamou pelo nome dela duas vezes. Fiquei chateada, mas ele disse que devia ter sonhado, então o perdoei. Uma semana depois, enquanto lavava a roupa dele, encontrei uma calcinha de outra mulher no meio das roupas sujas. Ele disse que era da irmã dele, mas ela negou ter tido uma calcinha dessa cor e que era do tamanho errado para ela. Comecei a suspeitar e, uma noite, quando brigamos por causa disso, ele tentou me acalmar dizendo: "É, eu queria muito ficar com ela. Quero mostrar para ela o que está perdendo." E seria tão fácil, você nunca descobriria", ... então ele continuou dizendo que não descobriu, porque sabia que isso significaria o fim do nosso relacionamento. Um mês se passou e ele ainda está agindo estranho. Antes, ele sempre atendia o telefone, e agora às vezes demora horas para me retornar, sempre "deixando o celular no carro". Conheço-o há quatro anos, e ele carrega o celular para quase todos os lugares e SEMPRE atende quando as pessoas ligam. Além disso, houve algumas vezes em que ele saiu "com o primo" e deveria estar em casa à 1h da manhã, mas quando olhei para o relógio enquanto ele entrava sorrateiramente, já eram 5h. Ele sempre tem uma ótima desculpa, mas fico constantemente me perguntando se isso está passando dos limites e se eu sou apenas uma tola.

A Jersey Fool?

Eu já estava convencida de que ele estava me traindo quando você chegou na parte da roupa íntima. Acorda pra vida!