Pergunte ao Mago #196

Q: Em 55.088 mãos de pôquer, eu tinha um par no flop 2.787 vezes. Dessas 2.787 vezes, acertei uma trinca 273 vezes. Como isso se compara às expectativas?

Para os leitores que talvez não saibam, uma &quot;trinca&quot; é uma sequência de três cartas iguais após o flop, incluindo um par. A probabilidade de não formar uma trinca é (48 + combin(48,3)) / combin(50,3) = 17.344 / 19.600 = 88,49%. Portanto, a probabilidade de formar uma trinca é de 11,51%. Em 2.787 pares, você deveria ter formado uma trinca 320,8 vezes. Assim, você está 47,8 trincas abaixo da expectativa. A variância é n × p × (1 - p), onde n = número de mãos e p = probabilidade de formar a trinca. Neste caso, a variância é 2.787 × 0,1176 × 0,8824 = 283,86. O desvio padrão é a raiz quadrada disso, ou 16,85. Portanto, você está 47,8/16,85 = 2,84 desvios padrão abaixo do esperado. A probabilidade de uma sorte tão ruim ou pior pode ser encontrada em qualquer tabela da distribuição normal padrão ou no Excel como DIST.NOR(-2,84) = 0,002256, ou 1 em 443.

Acredito que o jogador de vídeo poker com vantagem deve, por vezes, desviar-se da estratégia ideal, se seguir o Critério de Kelly. Em mãos limítrofes, penso que Kelly pode preferir optar pela jogada menos volátil, mesmo com um retorno menor, embora não me consiga pensar num exemplo específico. Qual a sua opinião?

Scott E. de New York

Concordo! Como discutido na minha seção sobre o Critério de Kelly , existe um tamanho de aposta ideal para qualquer aposta com vantagem para o jogador, visando equilibrar risco e recompensa. Apostar exatamente o valor do Critério de Kelly resultará no maior crescimento de banca para o jogador com sorte mediana.

Por exemplo, no Deuces Wild com pagamento integral , com um retorno de 100,76%, o valor ideal para apostar em cada mão é 0,03419% da banca. Atualmente, se você encontrar Deuces Wild com pagamento integral, provavelmente será apenas na denominação de 25 centavos, mas se pudesse apostar qualquer valor, 0,03419% da sua banca total seria o valor ideal para o crescimento da banca a longo prazo. Para um jogador com uma banca de US$ 3.656, um jogo com denominação de 25 centavos seria o tamanho de aposta perfeito para a estratégia Kelly.

Como discuto na minha seção sobre Kelly, o valor ideal da aposta é aquele que maximiza o logaritmo esperado da banca após a aposta, que chamarei de Utilidade de Kelly. Normalmente, a Utilidade de Kelly é maximizada ao se executar a estratégia ideal. No entanto, uma exceção seria uma combinação de cinco cartas iguais (3 a 9), com três cartas iguais (2). Em particular, vejamos o exemplo 22277. O valor esperado de manter apenas as cartas iguais (2) é 15,057354, e manter a quina sempre vale exatamente 15.

A tabela a seguir mostra tanto o valor esperado convencional quanto a utilidade de Kelly para quem possui três dois. A utilidade de Kelly para qualquer mão dada no descarte é p*log(1+0,0003419*w), onde p é a probabilidade e w é a vitória.

Jogador segura três dois

Mão	Paga	Combinações	Probabilidade	Retornar	Kelly Utility
Quatro dois	200	46	0,042553	8.510638	0,001222
Realeza selvagem	25	40	0,037003	0,925069	0,000137
Cinco de um tipo	15	67	0,06198	0,929695	0,000138
Straight flush	9	108	0,099907	0,899167	0,000133
Quatro de um mesmo tipo	5	820	0,758557	3,792784	0,000563
Total		1081	1	15.057354	0,002193

A próxima tabela mostra os mesmos valores para a combinação de cinco cartas do mesmo tipo.

Jogador possui cinco cartas do mesmo tipo.

Mão	Paga	Combinações	Probabilidade	Retornar	Kelly Utility
Quatro dois	200	0	0	0	0
Realeza selvagem	25	0	0	0	0
Cinco de um tipo	15	1	1	15	0,002222
Straight flush	9	0	0	0	0
Quatro de um mesmo tipo	5	0	0	0	0
Total		1	1	15	0,002222

Você pode ver que a utilidade de Kelly é maior mantendo a quina, com 0,002222 contra 0,002193. Para esta mão em particular, manter a quina será a jogada correta de acordo com o Critério de Kelly para bancas de até 13.290 unidades, ou para jogadores de 25 centavos até US$ 16.613.

Como eu disse, o tamanho ideal da aposta de Kelly para o jogador que segue a estratégia ideal é de 0,03419% da banca. O tamanho ideal da aposta para o jogador que segue a estratégia ideal, exceto para manter uma mão inicial de 22233 a 22299, é de 0,03434% da banca. O crescimento da banca do jogador que segue a estratégia ideal será de 0,0002605% por aposta feita. Para o jogador que segue a estratégia de Kelly, será de 0,0002615% por aposta feita. A cada 40.000 mãos, o jogador que segue a estratégia ideal e o tamanho ideal da aposta de Kelly pode esperar um crescimento de banca de 10,98%. O jogador conservador que mantém uma mão inicial de 22233 a 22299 e o tamanho ideal da aposta de Kelly com base nessa estratégia pode esperar um crescimento de 11,03% a cada 40.000 mãos.

Portanto, continuo a afirmar que, em algumas situações, de fato, você deve ir contra a estratégia ideal e optar pela jogada mais conservadora. Só espero que Rob Singer não fique sabendo disso.

Jogando ontem à noite, um dos jogadores, um velho astuto, desleixado e agressivo, desafiou a mesa para fazer apostas paralelas de odds iguais no flop. Esse velho rabugento apostava que uma das três cartas no flop seria um ás, um dois ou um valete (às vezes ele mudava as três cartas identificáveis). Quais são as probabilidades dessa aposta? Sua sábia opinião seria muito apreciada.

anônimo

Antes de qualquer carta ser vista, a probabilidade de quaisquer três valores não aparecerem no flop é combin (40,3)/combin(52,3) = 9880/22100 = 44,71%. Portanto, esse cara tinha uma vantagem de 10,59%.

Mago, o que você acha das novas máquinas caça-níqueis "baseadas em servidor" que estão sendo usadas no Treasure Island em Las Vegas? Aparentemente, essa tecnologia permite que o cassino altere instantaneamente as máquinas a partir de seus servidores — incluindo os jogos oferecidos, as denominações e... os pagamentos! Acho que isso é um pouco demais. Quer dizer, o que impede a casa de mirar em certos jogadores (como o apostador bêbado) e dificultar que ele ganhe? Todos sabemos que os cassinos podem ficar de olho em praticamente qualquer jogador a qualquer momento. Entre a vigilância e agora essa tecnologia, parece que a casa está dando muita vantagem. Suponha que um jogador de mesa tenha uma discussão acalorada com um crupiê ou gerente de mesa sobre uma mão (o que ocasionalmente acontece); agora esse mesmo jogador vai para as máquinas caça-níqueis e a casa pode se vingar fazendo com que a máquina pague menos?! Claro que eles também poderiam "favorecer" certos jogadores... o que poderia ser igualmente perigoso. Sou totalmente a favor de permitir que os jogos e as denominações sejam alterados, mas os órgãos reguladores não deveriam estar envolvidos quando se trata de porcentagens de pagamento?

Gary de Charolotte, NC

Perguntei a uma fonte minha que trabalha em um dos cassinos que utilizam essa tecnologia. Além do Treasure Island, essa tecnologia também é usada em cassinos na Califórnia, Michigan e Mississippi. Eis o que ele disse:

"Nada pode ser alterado se houver créditos no jogo. A máquina caça-níqueis sempre rejeitará quaisquer alterações enviadas quando houver créditos no medidor. Em Nevada, a máquina também precisa ficar ociosa por quatro minutos antes e depois de qualquer alteração. Além disso, o processo não é totalmente transparente para quem está em frente à máquina caça-níqueis. Uma janela preta aparece com a mensagem 'Configuração Remota em Andamento' (ou algo semelhante)."

Usamos principalmente o nosso sistema para alterar as denominações disponíveis nos nossos jogos. Assim como fazemos nos jogos de mesa, onde aumentamos as apostas mínimas quando o cassino está mais movimentado, removemos as denominações mais baixas na manhã de sexta-feira e as reintegramos na manhã de segunda-feira.

Portanto, fique tranquilo, o gerente da máquina caça-níqueis não pode restringir o jogo só porque não gosta de você. Enquanto você tiver créditos no jogo, nada pode ser alterado.

Recentemente, visitei o Charles Town Races and Slots e apostei no Kentucky Derby. Um homem hispânico ganhou um bom prêmio de US$ 6.000 em uma máquina caça-níqueis e parecia estar com algum problema de identificação. Fiquei no cassino por cerca de uma hora. Ao passar por ele na saída, ainda perto da máquina, ele parecia estar com o mesmo problema. Minha pergunta é: se ele não tem documento de identidade (por qualquer motivo), ele ainda pode receber o prêmio? O cassino fica no estado da Virgínia Ocidental. As regras proibiriam uma pessoa em situação irregular no país de apostar ou ganhar, caso tenha feito uma aposta?

John de Ellicott City, MD

Encaminhei isso para Brian, que é um ex-regulador de jogos e atualmente gerente de cassino. Aqui está o que ele disse:

O cassino não teria como saber que alguém estava no país ilegalmente. Se a pessoa tivesse um passaporte válido, o prêmio seria pago. O imigrante ilegal pode não saber disso, estar com medo ou não ter um documento de identidade válido para apresentar. Sempre que alguém ganha US$ 1.200 ou mais, é necessário apresentar um documento de identidade para fins fiscais. Se a pessoa não tiver um documento de identidade, o prêmio ficará retido no caixa até que ela o reclame. Na maioria dos casos, a pessoa simplesmente esqueceu o documento; no entanto, às vezes surgem problemas, como no caso de um menor de idade que estava jogando. Se ele não reclamar o prêmio, o dinheiro precisa ser devolvido à receita, pois a dedução (prêmio) nunca foi paga ou existem regras de propriedade abandonadas que se aplicam. Além disso, assim como nos EUA, a maioria dos países tributa a renda mundial. Para esse fim, os EUA têm tratados tributários com vários países para reter ou notificar os respectivos governos sobre os valores ganhos nos EUA, garantindo que o governo federal receba sua parte.

Em 55.088 mãos de pôquer, eu tinha um par no flop 2.787 vezes. Dessas 2.787 vezes, acertei uma trinca 273 vezes. Como isso se compara às expectativas?

Linus de Alingsås, Sweden

Para os leitores que talvez não saibam, uma "trinca" é uma sequência de três cartas iguais após o flop, incluindo um par. A probabilidade de não formar uma trinca é (48 + combin(48,3)) / combin(50,3) = 17.344 / 19.600 = 88,49%. Portanto, a probabilidade de formar uma trinca é de 11,51%. Em 2.787 pares, você deveria ter formado uma trinca 320,8 vezes. Assim, você está 47,8 trincas abaixo da expectativa. A variância é n × p × (1 - p), onde n = número de mãos e p = probabilidade de formar a trinca. Neste caso, a variância é 2.787 × 0,1176 × 0,8824 = 283,86. O desvio padrão é a raiz quadrada disso, ou 16,85. Portanto, você está 47,8/16,85 = 2,84 desvios padrão abaixo do esperado. A probabilidade de uma sorte tão ruim ou pior pode ser encontrada em qualquer tabela da distribuição normal padrão ou no Excel como DIST.NOR(-2,84) = 0,002256, ou 1 em 443.