Pergunte ao Mago #207

A aproximação de Kelly é a vantagem dividida pela variância. Os resultados possíveis são um ganho de 39, 5, 0, -0,2 e -0,8 vezes o valor da aposta. A vantagem é (1/50)×39 + (1/50)×5 + (4/50)×0 + (2/50)× -0,2 + (42/50)×-0,8 = 0,2.

A variância é Expected(win ² ) - (Expected(win)) ² = (1/50)×39 ² + (1/50)×5 ² + (4/50)×0 ² + (2/50)× -0.2 ² + (42/50)×-0.8 ² − 0.2 ² = 31.4192

Assim, a aposta Kelly aproximadamente ideal é de 0,2/31,492 = 0,0063655 vezes o saldo disponível. Para uma entrada total de US$ 25.000, o saldo necessário seria de 25.000/0,0063655 = US$ 3.927.400.

No entanto, para apostas grandes como essa, acho que vale a pena investir tempo para encontrar a aposta ideal de Kelly. Em seguida, encontre o tamanho da aposta b que maximiza o logaritmo esperado da banca após o torneio, da seguinte forma.

Logaritmo do saldo após o torneio = (1/50)*log(1+39×b) + (1/50)*log(1+5×b) + (4/50)*log(1) + (2/50)*log(1-0,2×b) + (42/50)*log(1-0,8×b)

Não há uma maneira fácil de calcular o valor de b. Pessoalmente, recomendo usar a função "Atingir Meta" do Excel. O resultado será 0,0083418. Portanto, a aposta exata em Kelly deve ser 0,0083418 vezes o seu saldo. Para justificar a taxa de inscrição de US$ 25.000, seu saldo deve ser de US$ 25.000 / 0,0083418 = US$ 2.996.937.

Obrigado pelas gentis palavras. Vou presumir que o dealer pede carta com um 17 suave e que dobrar após uma divisão é permitido. De acordo com a tabela D17 do livro "Blackjack Attack" de Don Schlesinger, remover um dez por baralho aumenta a vantagem da casa em 0,5512%. Dividindo isso por seis, para o jogo com seis baralhos, o efeito é um aumento na vantagem da casa de 0,09%.

Primeiro, vamos calcular a perda esperada se você apostar US$ 16,50 e esperar até conseguir um blackjack vencedor para usar o cupom. A probabilidade de um jogador ter um blackjack é o número de ases × número de dez / combinações de maneiras de escolher duas cartas dentre as 312 no baralho. Isso resulta em 24 × 96 / combin (312,2) = 0,0474895. Se ambos tiverem um blackjack, o cupom não lhe será útil. Supondo que o jogador tenha um blackjack, a probabilidade de um dealer ter um blackjack é 23 × 95 / combin(310,2) = 0,045621. Portanto, a probabilidade de o jogador ter um blackjack vencedor é 0,0474895 * (1 - 0,045621) = 0,045323, ou uma vez a cada 22,06 mãos. Portanto, sua maneira de jogar 22,06 mãos a $16,50 cada teria uma perda esperada de 22,06 × $16,50 × 0,0064 = $2,33.

Em seguida, vamos calcular a perda esperada se você apostar US$ 25 e esperar até a primeira vitória para usar o cupom. A probabilidade de qualquer vitória é de 42,42%, conforme consta no meu apêndice 4 sobre blackjack . Essa não é exatamente a estatística aplicável a esta situação, devido às complicações na divisão, mas é suficientemente próxima. Portanto, o número esperado de mãos para se obter uma mão vencedora é 1/0,4242 = 2,36. A perda esperada ao apostar 2,36 mãos de US$ 25 cada é de 2,36 × US$ 25 × 0,0064 = US$ 0,38, o que representa um custo 84% menor do que esperar por um blackjack.

Na minha página sobre bacará , podemos ver que as probabilidades no jogo usual com 8 baralhos são:

Banqueiro: 45,86%
Jogador: 44,62%
Empate: 9,52%

Desconsiderando os empates, as probabilidades para o banqueiro e o jogador são:

Banqueiro: 45,68%/(45,68%+44,62%) = 50,68%.
Jogador: 44,62%/(45,68%+44,62%) = 49,32%.

O número total de mãos na sessão I foi de 282 + 214 = 496. Na sessão I, o número esperado de vitórias dos jogadores era de 49,32% × 496 = 244,62. O total real de 282 excedeu as expectativas em 282 - 244,62 = 37,38.

A variância para uma série de eventos de vitória/derrota é n × p × q, onde n é o tamanho da amostra, p é a probabilidade de vitória e q é a probabilidade de derrota. Neste caso, a variância é 496 × 0,5068 × 0,4932 = 123,98. O desvio padrão é a raiz quadrada disso, que é 11,13. Portanto, o total de vitórias do jogador excedeu as expectativas em 37,38/11,13 = 3,36 desvios padrão. A probabilidade de resultados tão assimétricos quanto esses, ou mais, é de 0,000393, ou 1 em 2.544.

Usando o método matemático para a amostra II, a probabilidade é de 0,042234. Se você combinar as duas amostras em uma só, a probabilidade passa a ser de 0,000932. Cerca de 0,1% não é suficiente para afirmar com certeza que o jogo é tendencioso a favor do jogador. Se você ainda acha que o jogo não é justo, eu recomendaria coletar mais dados, para obter uma amostra maior.

Enquanto ela estiver apostando de forma constante, sim, aceite a aposta sem hesitar. Ou ela está usando algum tipo de progressão inútil, ou isso é um exagero de segunda mão. Isso me fez pensar: qual seria o número ideal de mãos para o lado do seu amigo? Considerando 9/6 Valetes ou Melhor e a estratégia ideal, a probabilidade de estar na frente é maximizada em 136 mãos, com uma probabilidade de 39,2782%.