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Recomendações do Mago

Pergunte ao Mago #207

O Wynn me convidou para um torneio de caça-níqueis com a seguinte estrutura de prêmios.

1º lugar: US$ 1.000.000
2º lugar: US$ 150.000
3º ao 6º lugar: US$ 25.000
7º e 8º lugares: US$ 20.000
Do 9º ao 50º lugar: US$ 5.000

O custo é de US$ 25.000 e o torneio é limitado a 50 jogadores. É fácil perceber que o prêmio esperado é de US$ 30.000. No entanto, é uma aposta extremamente arriscada. Qual seria o valor mínimo de banca necessário para que a entrada seja uma aposta sólida de acordo com o Critério de Kelly ?

anônimo

A aproximação de Kelly é a vantagem dividida pela variância. Os resultados possíveis são um ganho de 39, 5, 0, -0,2 e -0,8 vezes o valor da aposta. A vantagem é (1/50)×39 + (1/50)×5 + (4/50)×0 + (2/50)× -0,2 + (42/50)×-0,8 = 0,2.

A variância é Expected(win 2 ) - (Expected(win)) 2 = (1/50)×39 2 + (1/50)×5 2 + (4/50)×0 2 + (2/50)× -0.2 2 + (42/50)×-0.8 2 − 0.2 2 = 31.4192

Assim, a aposta Kelly aproximadamente ideal é de 0,2/31,492 = 0,0063655 vezes o saldo disponível. Para uma entrada total de US$ 25.000, o saldo necessário seria de 25.000/0,0063655 = US$ 3.927.400.

No entanto, para apostas grandes como essa, acho que vale a pena investir tempo para encontrar a aposta ideal de Kelly. Em seguida, encontre o tamanho da aposta b que maximiza o logaritmo esperado da banca após o torneio, da seguinte forma.

Logaritmo do saldo após o torneio = (1/50)*log(1+39×b) + (1/50)*log(1+5×b) + (4/50)*log(1) + (2/50)*log(1-0,2×b) + (42/50)*log(1-0,8×b)

Não há uma maneira fácil de calcular o valor de b. Pessoalmente, recomendo usar a função "Atingir Meta" do Excel. O resultado será 0,0083418. Portanto, a aposta exata em Kelly deve ser 0,0083418 vezes o seu saldo. Para justificar a taxa de inscrição de US$ 25.000, seu saldo deve ser de US$ 25.000 / 0,0083418 = US$ 2.996.937.

Adoro o seu site! Gosto das discussões sobre estratégias e probabilidades tanto quanto, ou até mais, do que do próprio jogo! Recentemente, estava jogando Blackjack com seis baralhos em um cassino de St. Louis. Depois de jogar uma rodada, as cartas foram devolvidas ao embaralhador automático, que indicou que uma carta estava faltando. O crupiê começou a distribuir a próxima rodada enquanto o funcionário inspecionava o conjunto de cartas devolvido. Ao final dessa rodada, a carta que faltava (um rei) foi encontrada na parte não distribuída da segunda rodada.

Supondo que este Rei fosse a carta de baixo e tivesse permanecido no embaralhador, ele teria entrado em jogo neste primeiro sapato (o corte ocorreu na parte de trás do baralho). Qual foi a vantagem adicional que a casa obteve sobre mim com esse erro?

Justin de St. Louis, MO

Obrigado pelas gentis palavras. Vou presumir que o dealer pede carta com um 17 suave e que dobrar após uma divisão é permitido. De acordo com a tabela D17 do livro "Blackjack Attack" de Don Schlesinger, remover um dez por baralho aumenta a vantagem da casa em 0,5512%. Dividindo isso por seis, para o jogo com seis baralhos, o efeito é um aumento na vantagem da casa de 0,09%.
Gostaria de sua opinião sobre um cupom de blackjack. Pelo que entendi das regras, o cupom dobra qualquer ganho, até um máximo de $25, e pode ser apresentado a qualquer momento. Se eu apostar $16,50 e esperar por um blackjack para usá-lo, o cupom dobrará o ganho do blackjack, que seria de $24,75. Ou devo apostar $25 e usá-lo na primeira vitória, de qualquer tipo? Qual é a perda esperada em ambos os casos? Por favor, considere uma vantagem da casa de 0,64%.

Jim de Dallas, Texas

Primeiro, vamos calcular a perda esperada se você apostar US$ 16,50 e esperar até conseguir um blackjack vencedor para usar o cupom. A probabilidade de um jogador ter um blackjack é o número de ases × número de dez / combinações de maneiras de escolher duas cartas dentre as 312 no baralho. Isso resulta em 24 × 96 / combin (312,2) = 0,0474895. Se ambos tiverem um blackjack, o cupom não lhe será útil. Supondo que o jogador tenha um blackjack, a probabilidade de um dealer ter um blackjack é 23 × 95 / combin(310,2) = 0,045621. Portanto, a probabilidade de o jogador ter um blackjack vencedor é 0,0474895 * (1 - 0,045621) = 0,045323, ou uma vez a cada 22,06 mãos. Portanto, sua maneira de jogar 22,06 mãos a $16,50 cada teria uma perda esperada de 22,06 × $16,50 × 0,0064 = $2,33.

Em seguida, vamos calcular a perda esperada se você apostar US$ 25 e esperar até a primeira vitória para usar o cupom. A probabilidade de qualquer vitória é de 42,42%, conforme consta no meu apêndice 4 sobre blackjack . Essa não é exatamente a estatística aplicável a esta situação, devido às complicações na divisão, mas é suficientemente próxima. Portanto, o número esperado de mãos para se obter uma mão vencedora é 1/0,4242 = 2,36. A perda esperada ao apostar 2,36 mãos de US$ 25 cada é de 2,36 × US$ 25 × 0,0064 = US$ 0,38, o que representa um custo 84% menor do que esperar por um blackjack.

Em duas visitas recentes às mesas de bacará, os resultados foram claramente tendenciosos a favor do jogador. Gostaria de saber se esses resultados podem ser considerados dentro de dois desvios padrão dos resultados esperados para o jogador e para a banca. Eliminei os empates.

Sessão I
Vitórias do jogador: 282
Vitórias do banqueiro: 214

Sessão II
Vitórias do jogador: 879
Vitórias do banqueiro: 831

Arthur de Wayne, New Jersey

Na minha página sobre bacará , podemos ver que as probabilidades no jogo usual com 8 baralhos são:

Banqueiro: 45,86%
Jogador: 44,62%
Empate: 9,52%

Desconsiderando os empates, as probabilidades para o banqueiro e o jogador são:

Banqueiro: 45,68%/(45,68%+44,62%) = 50,68%.
Jogador: 44,62%/(45,68%+44,62%) = 49,32%.

O número total de mãos na sessão I foi de 282 + 214 = 496. Na sessão I, o número esperado de vitórias dos jogadores era de 49,32% × 496 = 244,62. O total real de 282 excedeu as expectativas em 282 - 244,62 = 37,38.

A variância para uma série de eventos de vitória/derrota é n × p × q, onde n é o tamanho da amostra, p é a probabilidade de vitória e q é a probabilidade de derrota. Neste caso, a variância é 496 × 0,5068 × 0,4932 = 123,98. O desvio padrão é a raiz quadrada disso, que é 11,13. Portanto, o total de vitórias do jogador excedeu as expectativas em 37,38/11,13 = 3,36 desvios padrão. A probabilidade de resultados tão assimétricos quanto esses, ou mais, é de 0,000393, ou 1 em 2.544.

Usando o método matemático para a amostra II, a probabilidade é de 0,042234. Se você combinar as duas amostras em uma só, a probabilidade passa a ser de 0,000932. Cerca de 0,1% não é suficiente para afirmar com certeza que o jogo é tendencioso a favor do jogador. Se você ainda acha que o jogo não é justo, eu recomendaria coletar mais dados, para obter uma amostra maior.

Um colega de trabalho jura que a mãe dele está numa sequência de 25 anos ganhando no video poker. Ela viaja quatro vezes por ano para Las Vegas e sempre ganha pelo menos US$ 1.000 com uma entrada de US$ 400. Ele diz que ela geralmente ganha US$ 10.000. Ele está chateado com a minha falta de fé na sorte dela. Ele quer apostar comigo que a mãe dele estará ganhando depois de uma sessão de quatro horas. Devo aceitar essa aposta com odds de 1 para 1?

anônimo

Enquanto ela estiver apostando de forma constante, sim, aceite a aposta sem hesitar. Ou ela está usando algum tipo de progressão inútil, ou isso é um exagero de segunda mão. Isso me fez pensar: qual seria o número ideal de mãos para o lado do seu amigo? Considerando 9/6 Valetes ou Melhor e a estratégia ideal, a probabilidade de estar na frente é maximizada em 136 mãos, com uma probabilidade de 39,2782%.