Pergunte ao Mago #226

Com base em seis baralhos, demonstro que um jogador com 21 pontos em um empate contra um blackjack reduz a vantagem da casa em 0,37%. Um empate no blackjack pagando 3 para 2 reduz a vantagem da casa em 0,32%. Nenhuma alteração de estratégia é necessária.

Espero que esteja feliz. Meu conhecimento de regras e estratégias de basquete é bem fraco, então perguntei a alguns amigos que entendem mais do assunto do que eu, e nunca obtive a mesma resposta duas vezes. Algumas respostas foram completamente opostas. Duas teorias que tirei da discussão são: (1) a porcentagem geral de acertos de arremessos na NBA é mais próxima de 50% ( fonte ) e (2) existe a possibilidade de o jogador sofrer uma falta em um arremesso de 2 pontos e, mesmo assim, acertar a cesta. Desculpe, não consigo explicar melhor do que isso.

Se você está insinuando que o cassino altera as probabilidades do jogo enquanto você está jogando, então eu diria que isso é apenas um mito. Para alterar as probabilidades de um jogo, o fabricante da máquina caça-níqueis teria que abrir o jogo e trocar o chip EPROM . Em jogos baseados em servidor, onde isso pode ser feito remotamente, as regulamentações exigem que o jogo fique inativo por um certo número de minutos antes que qualquer alteração possa ser feita.

Se você está insinuando que o cassino libera as apostas em uma máquina caça-níqueis durante os primeiros dias para atrair novos jogadores e depois altera o EPROM para um mais restritivo, então eu também discordo. Isso poderia ser feito facilmente e legalmente, mas duvido que seja. Em minha pesquisa sobre máquinas caça-níqueis, descobri que qualquer cassino era bastante consistente em relação à liberação ou restrição das apostas em suas máquinas.

Isso não leva em consideração que as pontuações individuais devem ter uma correlação negativa, e que a média de pontos que cada time cede é tão importante quanto a média de pontos marcados. Se pudermos assumir que 1,5 e 1,2 são os números esperados de pontos marcados na partida, considerando tanto o ataque quanto a defesa, e ignorarmos o fator de correlação, então podemos obter uma estimativa razoável para suas três probabilidades. Existem muitas apostas semelhantes para o Super Bowl, baseadas em quem marcará mais touchdowns, field goals, interceptações, etc.

O primeiro passo é usar a distribuição de Poisson para estimar a probabilidade de cada número de gols para cada equipe. A fórmula geral para a probabilidade de uma equipe marcar g gols, com uma média de m, é e^ ^(- m × ^m ) / g!. No Excel, você pode usar a fórmula poisson(g,m,0). A tabela a seguir mostra a probabilidade de 0 a 10 gols para ambas as equipes, usando essa fórmula.

O próximo passo é bastante mundano, mas você precisa criar uma matriz com todas as 81 combinações possíveis de pontuações de 0 a 8 para cada equipe. Isso é feito multiplicando a probabilidade de x pontuações para a equipe A pelas probabilidades de y pontuações para a equipe B, conforme a tabela acima. A tabela a seguir mostra a probabilidade de cada combinação de pontuação de 0-0 a 8-8.

A próxima tabela mostra o vencedor de acordo com cada combinação de gols, onde T representa um empate.

Por fim, você pode usar a função SOMASE no Excel para somar as células correspondentes aos três resultados possíveis da aposta. Nesse caso, as probabilidades são:

A vence = 44,14%
B vence = 30,37%
Empate = 25,48%

O Apêndice C do livro "Sharp Sports Betting" de Stanford Wong apresenta as probabilidades de vitória, derrota e empate para apostas como essa. Para este caso específico, ele lista 44%, 30% e 25%. Se alguém souber uma fórmula simples para esse tipo de problema, ficarei muito grato.

Complemento: Recebi um e-mail do Bob P., que sempre me mantém alerta quando o assunto é matemática. Aqui está o que ele escreveu.

Pesquisei a distribuição da diferença entre duas distribuições de Poisson não correlacionadas. É uma distribuição de Skellam (novidade para mim).

De qualquer forma, a questão pode então ser formulada como P(Z=0), P(Z>0) e P(Z<0), onde Z é um Skellam com parâmetros 1,5 e 1,2.

Se você ainda não fez isso, ficará feliz em saber

P(Empate) = P(Z=0) = 0,254817

P(A vence B) = P(Z>0) = 0,441465

P(B vence A) = P(Z<0) = 1 - 0,254817 - 0,441465 = 0,303718

Respostas quase idênticas às suas.

A entrada da Wikipédia sobre um Skellam menciona funções de Bessel , que é mais ou menos o ponto do cálculo em que eu fico com medo de ir mais longe. Então, vou confiar na palavra do Bob neste caso.

A resposta e a solução podem ser encontradas no meu site complementar, mathproblems.info , problema 201.