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Pergunte ao Mago #226

Encontrei um cassino online com duas regras interessantes para o blackjack. A primeira é que um jogador com 21 pontos empata com um blackjack do dealer. A segunda é que, em caso de empate no blackjack, o pagamento é de 3 para 2. Qual o efeito dessas regras na vantagem da casa?

Mick de Australia

Com base em seis baralhos, demonstro que um jogador com 21 pontos em um empate contra um blackjack reduz a vantagem da casa em 0,37%. Um empate no blackjack pagando 3 para 2 reduz a vantagem da casa em 0,32%. Nenhuma alteração de estratégia é necessária.
Tenho uma pergunta complementar em relação à sua página sobre apostas na NBA . Você mencionou a baixa probabilidade de uma margem de vitória de um ponto. Isso é lógico de acordo com as regras da probabilidade? Segundo o basketball-reference.com , as equipes geralmente têm seus melhores jogadores com aproveitamento de 60% nos arremessos de 2 pontos e 40% nos de 3 pontos. Portanto, parece-me que os técnicos deveriam optar pela vitória imediata com uma cesta de 3 pontos (e, assim, ter 40% de chance de vencer) em vez da chance de 30% de vencer com uma cesta de 2 pontos (60% de chance de acerto, seguida de 50% de chance de vitória na prorrogação).

Isso pode ser equilibrado pelo fato de que, ao tentar uma cesta de dois pontos nos segundos finais, você tem mais chances de sofrer uma falta e conseguir dois pontos fáceis. Mesmo assim, os melhores cobradores de lances livres têm uma taxa de acerto de cerca de 85%, o que significa 72% de chance de converter os dois lances livres, seguidos por 50% de chance de vencer na prorrogação, totalizando 36%. Qual a sua opinião sobre isso?

Nick K. de Scarsdale, NY

Espero que esteja feliz. Meu conhecimento de regras e estratégias de basquete é bem fraco, então perguntei a alguns amigos que entendem mais do assunto do que eu, e nunca obtive a mesma resposta duas vezes. Algumas respostas foram completamente opostas. Duas teorias que tirei da discussão são: (1) a porcentagem geral de acertos de arremessos na NBA é mais próxima de 50% ( fonte ) e (2) existe a possibilidade de o jogador sofrer uma falta em um arremesso de 2 pontos e, mesmo assim, acertar a cesta. Desculpe, não consigo explicar melhor do que isso.
Minha esposa e eu jogamos caça-níqueis regularmente e percebemos que, quando uma nova máquina chega a um cassino, os "bons prêmios", ou seja, os pagamentos dos prêmios ou das rodadas bônus, parecem ser muito mais frequentes. Depois que o jogo "nos conquista", por assim dizer, parece que ele se "desliga", e os prêmios e as rodadas bônus se tornam menos frequentes. Um cassino pode legalmente controlar a frequência com que uma máquina paga prêmios ou entra em uma rodada bônus?

Les de Fallbrook, CA

Se você está insinuando que o cassino altera as probabilidades do jogo enquanto você está jogando, então eu diria que isso é apenas um mito. Para alterar as probabilidades de um jogo, o fabricante da máquina caça-níqueis teria que abrir o jogo e trocar o chip EPROM . Em jogos baseados em servidor, onde isso pode ser feito remotamente, as regulamentações exigem que o jogo fique inativo por um certo número de minutos antes que qualquer alteração possa ser feita.

Se você está insinuando que o cassino libera as apostas em uma máquina caça-níqueis durante os primeiros dias para atrair novos jogadores e depois altera o EPROM para um mais restritivo, então eu também discordo. Isso poderia ser feito facilmente e legalmente, mas duvido que seja. Em minha pesquisa sobre máquinas caça-níqueis, descobri que qualquer cassino era bastante consistente em relação à liberação ou restrição das apostas em suas máquinas.

Sabendo que o time A marca em média 1,5 gols por jogo e o time B marca em média 1,2 gols por jogo, qual a probabilidade de que em uma partida entre A e B:

1) A marcará mais pontos que B.
2) B terá uma pontuação maior que A.
3) O jogo termina empatado.

As informações fornecidas são suficientes para calcular as probabilidades de cada resultado?

Dimitar de Sophia, Bulgaria

Isso não leva em consideração que as pontuações individuais devem ter uma correlação negativa, e que a média de pontos que cada time cede é tão importante quanto a média de pontos marcados. Se pudermos assumir que 1,5 e 1,2 são os números esperados de pontos marcados na partida, considerando tanto o ataque quanto a defesa, e ignorarmos o fator de correlação, então podemos obter uma estimativa razoável para suas três probabilidades. Existem muitas apostas semelhantes para o Super Bowl, baseadas em quem marcará mais touchdowns, field goals, interceptações, etc.

O primeiro passo é usar a distribuição de Poisson para estimar a probabilidade de cada número de gols para cada equipe. A fórmula geral para a probabilidade de uma equipe marcar g gols, com uma média de m, é e^ (- m × m ) / g!. No Excel, você pode usar a fórmula poisson(g,m,0). A tabela a seguir mostra a probabilidade de 0 a 10 gols para ambas as equipes, usando essa fórmula.

Probabilidades de 0 a 8 gols para cada equipe

Metas Equipe A Equipe B
0 0,223130 0,301194
1 0,334695 0,361433
2 0,251021 0,216860
3 0,125511 0,086744
4 0,047067 0,026023
5 0,014120 0,006246
6 0,003530 0,001249
7 0,000756 0,000214
8 0,000142 0,000032

O próximo passo é bastante mundano, mas você precisa criar uma matriz com todas as 81 combinações possíveis de pontuações de 0 a 8 para cada equipe. Isso é feito multiplicando a probabilidade de x pontuações para a equipe A pelas probabilidades de y pontuações para a equipe B, conforme a tabela acima. A tabela a seguir mostra a probabilidade de cada combinação de pontuação de 0-0 a 8-8.

As combinações de probabilidades para ambas as equipes aumentam.

Objetivos da Equipe A Objetivos da Equipe B
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0,067206 0,080647 0,048388 0,019355 0,005807 0,001394 0,000279 0,000048 0,000007
1 0,100808 0,120970 0,072582 0,029033 0,008710 0,00209 0,000418 0,000072 0,000011
2 0,075606 0,090727 0,054436 0,021775 0,006532 0,001568 0,000314 0,000054 0,000008
3 0,037803 0,045364 0,027218 0,010887 0,003266 0,000784 0,000157 0,000027 0,000004
4 0,014176 0,017011 0,010207 0,004083 0,001225 0,000294 0,000059 0,000010 0,000002
5 0,004253 0,005103 0,003062 0,001225 0,000367 0,000088 0,000018 0,000003 0
6 0,001063 0,001276 0,000766 0,000306 0,000092 0,000022 0,000004 0,000001 0
7 0,000228 0,000273 0,000164 0,000066 0,000020 0,000005 0,000001 0 0
8 0,000043 0,000051 0,000031 0,000012 0,000004 0,000001 0 0 0

A próxima tabela mostra o vencedor de acordo com cada combinação de gols, onde T representa um empate.

Combinações vencedoras para ambas as equipes

Objetivos da Equipe A Objetivos da Equipe B
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 T B B B B B B B B
1 UM T B B B B B B B
2 UM UM T B B B B B B
3 UM UM UM T B B B B B
4 UM UM UM UM T B B B B
5 UM UM UM UM UM T B B B
6 UM UM UM UM UM UM T B B
7 UM UM UM UM UM UM UM T B
8 UM UM UM UM UM UM UM UM T

Por fim, você pode usar a função SOMASE no Excel para somar as células correspondentes aos três resultados possíveis da aposta. Nesse caso, as probabilidades são:

A vence = 44,14%
B vence = 30,37%
Empate = 25,48%

O Apêndice C do livro "Sharp Sports Betting" de Stanford Wong apresenta as probabilidades de vitória, derrota e empate para apostas como essa. Para este caso específico, ele lista 44%, 30% e 25%. Se alguém souber uma fórmula simples para esse tipo de problema, ficarei muito grato.

Complemento: Recebi um e-mail do Bob P., que sempre me mantém alerta quando o assunto é matemática. Aqui está o que ele escreveu.

Pesquisei a distribuição da diferença entre duas distribuições de Poisson não correlacionadas. É uma distribuição de Skellam (novidade para mim).

De qualquer forma, a questão pode então ser formulada como P(Z=0), P(Z>0) e P(Z<0), onde Z é um Skellam com parâmetros 1,5 e 1,2.

Se você ainda não fez isso, ficará feliz em saber

P(Empate) = P(Z=0) = 0,254817

P(A vence B) = P(Z>0) = 0,441465

P(B vence A) = P(Z<0) = 1 - 0,254817 - 0,441465 = 0,303718

Respostas quase idênticas às suas.

A entrada da Wikipédia sobre um Skellam menciona funções de Bessel , que é mais ou menos o ponto do cálculo em que eu fico com medo de ir mais longe. Então, vou confiar na palavra do Bob neste caso.

Dois dados são lançados até que o total seja 12 ou dois totais consecutivos sejam 7. Qual é a probabilidade de sair 12 primeiro?

anônimo

A resposta e a solução podem ser encontradas no meu site complementar, mathproblems.info , problema 201.