Pergunte ao Mago #231

Há uma promoção chamada "O ruim virou bom" em andamento na sala de apostas altas do cassino Barona . Se o dealer conseguir um 21 com 7 cartas no blackjack, todos os jogadores que estiverem apostando ativamente na mesa receberão $500. Além disso, se o dealer conseguir um 21 com 8 cartas, todos os jogadores na mesa dividirão um jackpot progressivo, que começa em $25.000, e os jogadores nas outras mesas de apostas altas receberão $500 cada. Qual é a probabilidade desses eventos ocorrerem e qual é o valor por mão para o jogador?

Larry de Las Vegas, NV

A tabela a seguir mostra a probabilidade de um dealer obter uma mão de 21 pontos, de acordo com o número de cartas e o número de baralhos.

Probabilidade de o dealer ter uma mão de 21 pontos

Cartões	1 baralho	2 baralhos	6 baralhos
2	0,0482655	0,0477969	0,0474895
3	0,0537557	0,0530246	0,0525656
4	0,0184049	0,0184945	0,0185388
5	0,00310576	0,00326001	0,00335881
6	0,000291717	0,000344559	0,000380387
7	0,0000160093	0,0000234897	0,000029251
8	0,000000456411	0,000000997325	0,00000152356
9	0,00000000466991	0,0000000239012	0,0000000526866
10	0,0000000000064214	0,000000000262229	0,00000000115152
11	0	0,0000000000009179	0,0000000000148827
12	0	0	0,0000000000001003
13	0	0	0,0000000000000003

A próxima tabela mostra o valor em centavos dos três prêmios. A linha do prêmio de 7 cartas representa o valor por mão do bônus de $500 para um dealer que fizer 21 com 7 cartas. A linha do prêmio de 8 cartas representa o valor por mão de um prêmio de $25.000 para um dealer que fizer 21 com 8 cartas. Esse valor deve ser multiplicado pela proporção entre o jackpot atual e $25.000 para se obter o valor em qualquer momento. A linha do prêmio de inveja representa o valor por mão distribuída em todas as outras mesas do salão, considerando os prêmios de $500 para o jackpot que foi ganho em outra mesa.

Valor dos prêmios por mão distribuída

Prêmio	1 baralho	2 baralhos	6 baralhos
Vitória de $500 com 7 cartas	0,80 centavos	1,17 centavos	1,46 centavos
Vitória de 25.000 dólares em 8 jogos de cartas	1,14 centavos	2,49 centavos	3,81 centavos
Bônus de inveja de $500 para 8 cartões	0,02 centavos	0,05 centavos	0,08 centavos

Considerando um total de 8 mesas ativas na sala, 60 rodadas por hora e um prêmio acumulado de US$ 25.000, o valor desta promoção é de US$ 1,26 por hora em uma mesa de um baralho, US$ 2,41 em uma mesa de dois baralhos e US$ 3,48 em uma mesa de seis baralhos.

Como posso comparar a porcentagem de retenção real em cada jogo de mesa com a vantagem da casa para verificar se estão funcionando conforme o esperado? Existe alguma fórmula que eu possa usar? Por exemplo, sabemos que a vantagem da casa na Roleta é de 5,26% e que nossa porcentagem de retenção é de 25%. Estou com dificuldades para correlacionar as duas e encontrar uma explicação razoável para todos os jogos. Quanto mais leio sobre o assunto, mais confuso fica. Qualquer ajuda será muito apreciada — deve haver uma fórmula para combinar as duas informações.

Robert de Lawton

Para benefício de outros leitores, a vantagem da casa é a proporção entre o lucro esperado do cassino e a aposta inicial, e a margem de lucro é a proporção entre o lucro real do cassino e as fichas compradas. A margem de lucro geralmente será muito maior, porque, com o tempo, as mesmas fichas circularão entre os jogadores. Quanto mais tempo o jogador jogar, mais a vantagem da casa corroerá essas fichas, resultando em uma margem de lucro maior, mas com a vantagem da casa inalterada.

Não existe uma fórmula que expresse a relação entre a vantagem da casa e o lucro da casa. Para chegar a essa relação, seria necessário saber quanto os jogadores apostam, o quão bem jogam e por quanto tempo jogam. Já disse isso muitas vezes, mas não entendo por que a administração do cassino se preocupa tanto com a porcentagem de lucro da casa. O que deveria importar no final das contas é o lucro da casa, ou seja, o lucro real medido em dólares.

Por que sua tabela de classificação de mãos difere daquela de David Sklansky (publicada em seu livro "Hold 'Em Poker for Advanced Players" , que também aparece na entrada da Wikipédia sobremãos iniciais de Texas Hold'em )? Por exemplo, Sklansky classifica 76 suited e A9 offsuit igualmente, com uma classificação de 5. Sua tabela classifica 76 suited como "11", mas classifica A9 suited como "16"! Poderia explicar por que existem essas discrepâncias?

John de New York

Acho que você interpretou mal a tabela do Skanskey. Ele classifica 7-6 suited como equivalente a A-9 offsuited, com nota 5. Eu classifico 7-6 suited com nota 11 e A-9 offsuited com nota 10. Portanto, ambos os classificamos de forma semelhante.

Qual a porcentagem de lançamentos no craps que resultam em "come out"?

Eddie de Seattle

O número esperado de lançamentos totais é 1671/196 = 8,5255. Curiosamente, o número esperado de lançamentos para um ponto é exatamente 6. Isso deixa 2,5255 lançamentos com resultado positivo. Portanto, a porcentagem de lançamentos com resultado positivo é 2,5255/8,5255 = 29,6%.

Estou pesquisando opções de financiamento imobiliário. Uma empresa está oferecendo uma taxa de juros de 5,75%, mais um ponto, para um financiamento fixo de 30 anos. Outra está cobrando 5,875% sem ponto. Qual é a melhor oferta?

Dorothy de Miami, FL

Para o benefício de outros leitores, um ponto é uma comissão cobrada pelo empréstimo. Por exemplo, em um empréstimo de US$ 250.000, um ponto seria de US$ 2.500. Vou presumir que o mutuário adicionaria o ponto ao saldo principal e nunca amortizaria o principal antecipadamente.

A tabela a seguir mostra a taxa de juros equivalente sem o ponto, de acordo com a taxa de juros com um ponto e o prazo.

Taxa de juros equivalente sem pontos

Taxa de juros com um ponto	10 anos	15 anos	20 anos	30 anos	40 anos
4,00%	4,212%	4,147%	4,115%	4,083%	4,067%
4,25%	4,463%	4,398%	4,366%	4,334%	4,318%
4,50%	4,714%	4,649%	4,617%	4,585%	4,570%
4,75%	4,965%	4,900%	4,868%	4,836%	4,821%
5,00%	5,216%	5,151%	5,119%	5,088%	5,073%
5,25%	5,467%	5,402%	5,370%	5,339%	5,324%
5,50%	5,718%	5,654%	5,621%	5,590%	5,576%
5,75%	5,969%	5,905%	5,873%	5,842%	5,827%
6,00%	6,220%	6,156%	6,124%	6,093%	6,079%
6,25%	6,471%	6,407%	6,375%	6,344%	6,330%
6,50%	6,723%	6,658%	6,626%	6,596%	6,582%
6,75%	6,974%	6,909%	6,878%	6,847%	6,834%
7,00%	7,225%	7,160%	7,129%	7,099%	7,085%
7,25%	7,476%	7,412%	7,380%	7,350%	7,337%
7,50%	7,727%	7,663%	7,631%	7,602%	7,589%
7,75%	7,978%	7,914%	7,883%	7,853%	7,841%
8,00%	8,229%	8,165%	8,134%	8,105%	8,093%
8,25%	8,480%	8,416%	8,385%	8,357%	8,344%
8,50%	8,731%	8,668%	8,637%	8,608%	8,596%
8,75%	8,982%	8,919%	8,888%	8,860%	8,848%
9,00%	9,233%	9,170%	9,140%	9,112%	9,100%
9,25%	9,485%	9,421%	9,391%	9,363%	9,352%
9,50%	9,736%	9,673%	9,642%	9,615%	9,604%
9,75%	9,987%	9,924%	9,894%	9,867%	9,856%
10,00%	10,238%	10,175%	10,145%	10,119%	10,108%

Isso demonstra que uma taxa de juros de 5,75% com um ponto é equivalente a 5,842% sem pontos. Em outras palavras, o pagamento seria o mesmo em ambos os casos, considerando que o ponto cobrado seja adicionado ao saldo principal. Sua outra oferta era de 5,875% sem pontos, que é superior a 5,842%, portanto, eu optaria pelos 5,75% com o ponto.

PS: Para quem estiver curioso sobre como resolvi o problema do "i", usei a função de taxa do Excel.