Pergunte ao Mago #237

Ouvi dizer que os mesmos números foram sorteados na loteria alemã 6/49 em dias diferentes. Tem algo de suspeito nisso. Qual a probabilidade?

Lotte de Hamburg

É verdade, mas não é tão suspeito quanto você pensa. De acordo com o livro "Understanding Probability: Chance Rules in Everyday Life " de H.C. Tijms, o mesmo conjunto de números foi sorteado em 21 de junho de 1995 e 20 de dezembro de 1986, em sorteios quinzenais. O sorteio de 20 de dezembro de 1986 foi o 3.016º sorteio. O número de combinações em uma loteria 6/49 é combin(49,6) = 13.983.816. A probabilidade de os números do segundo sorteio não corresponderem aos do primeiro é (c-1)/c, onde c é o número de combinações, ou 13.983.816. A probabilidade de o terceiro sorteio produzir um conjunto único de números é (c-2)/c. Assim, a probabilidade de que cada sorteio do 2º ao 3.016º produza números únicos é (c-1)/c × (c-2)/c × ... (c-3.015)/c = 0,722413. Portanto, a probabilidade de haver pelo menos um conjunto de números iguais é 1 - 0,722413 = 0,277587, ou 27,8%. A tabela a seguir mostra a probabilidade de haver pelo menos um par de números iguais sorteado em função do número de anos, considerando dois sorteios por semana.

Probabilidade de acerto de números na loteria 6/49

Anos	Probabilidade
5	0,009640
10	0,038115
15	0,083800
20	0,144158
25	0,215822
30	0,295459
35	0,379225
40	0,463590
45	0,545437
50	0,622090
55	0,691985
60	0,753800
65	0,807008
70	0,851638
75	0,888086
80	0,917254
85	0,940000
90	0,957334
95	0,970225
100	0,971954

Caso você esteja se perguntando, o número de sorteios necessários para que a probabilidade de um sorteio correspondente ultrapasse 50% pela primeira vez é 4.404.

Tenho um enigma que tento resolver há alguns meses, sem qualquer progresso. Se tiver tempo, espero que possa me ajudar, pois tem me tirado o sono :-). Enfim, no glossário de Beyond Counting -- Exhibit CAA , três sequências de números e letras são apresentadas como verbete para "Números Mágicos". Um desses números inclusive estampa a capa do livro, então presumo que tenham alguma importância. Você tem alguma ideia?

anônimo

Não costumo dizer isso, mas não faço ideia. Como você mencionou em outro e-mail, elas seguem o formato do número de série das notas de dólar: duas letras, com um número de dez dígitos entre elas. Por respeito aos direitos autorais, não vou revelar quais são os números aqui.

Imagine que você está jogando Bonus Deuces Wild (ou qualquer outro jogo em que a estratégia correta seja manter a mão e buscar apenas um par entre os dois pares distribuídos). Ao jogar este jogo no Spin Poker com 9 padrões, para pares de mesmo valor, a posição de cada par faz alguma diferença em termos de qual par deve ser mantido? E, em caso afirmativo, quais são as melhores e piores posições para manter a mão?

Joe de Denver

Para benefício de outros leitores, às vezes, em jogos Deuces Wild, as probabilidades favorecem ter um único par em vez de dois pares. Isso é verdade no Deuces Wild com pagamento integral (100,76%) e em qualquer versão comum do Bonus Deuces, onde um Full House paga 3. Um cálculo exato disso seria muito tedioso e demorado. No entanto, é fácil ver que, nos cilindros 1, 2, 4 e 5, as nove linhas de pagamento passam por cada posição três vezes. Já no cilindro 3, as posições superior e inferior são cruzadas apenas duas vezes cada, e a posição do meio, 5 vezes. Manter um par que inclua a coluna do meio reduzirá sua volatilidade. Nos 20% dos casos em que a coluna do meio é o símbolo único, eu manteria um par se ele consistisse nas colunas 1 e 5, ou 2 e 4, se possível. Se isso não for possível, mantenha um par nas colunas 1 e 2, ou 4 e 5, se possível. Caso contrário, não faz diferença qual par você mantém.

Sou um dos seis participantes de um concurso de palpites da NFL. Cada um de nós precisa escolher 70 jogos ao longo da temporada, usando as odds de uma grande casa de apostas online, que oferecem uma linha de 20 centavos. Um dos outros participantes ofereceu uma aposta em "mais/menos" para o placar mais alto no final da temporada. A aposta dele gerou um lucro de 8,5 unidades. Vamos supor que a temporada ainda não começou e que os participantes sejam apostadores esportivos experientes. O que você acha dessa linha e como você a analisaria?

Rob de Las Vegas, NV

A grande questão a se fazer com uma aposta como essa é qual a probabilidade de uma determinada escolha terminar em vitória, derrota ou empate. Na minha seção sobre apostas na NFL , podemos ver que 2,8% dos jogos terminam exatamente na linha de aposta. Vamos considerar 3%, para simplificar. Vamos chamar de p a probabilidade de uma vitória, dado que a aposta foi resolvida. Para um apostador puramente aleatório, p seria obviamente 50%. É fácil melhorar isso escolhendo apenas os azarões. Como minha página mencionada anteriormente mostra, ao longo de 25 temporadas, apostar sempre nos azarões teria resultado em uma taxa de acerto de 51,5%. Também é fácil melhorar um pouco mais essa taxa escolhendo as linhas mais favoráveis contra o mercado em geral. Com essas duas opções, acho que não é difícil chegar a 52%. Então, vou confiar que esses caras podem chegar pelo menos a 52%.

Assim, assumindo que 52% das apostas resolvidas sejam vencedoras, as probabilidades gerais são:

Vitória: 50,44%
Empate: 3,00%
Perda: 46,56%

Usando estatísticas básicas, é fácil ver que o ganho esperado por palpite, apostando em -110, é de -0,0078. O desvio padrão por palpite é de 1,0333. O ganho esperado em 70 palpites é de -0,5432, e o desvio padrão é de 70 ^1/2 × 1,0333 = 8,6452. Um ganho de 8,5 unidades está 9,0432 unidades acima das expectativas, ou 9,0432/8,6452 = 1,0460 desvios padrão à direita das expectativas na Curva Gaussiana. Acho que podemos ignorar o ajuste para uma distribuição discreta devido aos empates, e alguns jogos que não são -110/-110 resultarão em uma curva bastante suave, com uma queda de um fator de 0,05 unidades.

Portanto, a probabilidade de qualquer jogador terminar com uma pontuação superior a 1,046 desvios padrão acima do esperado é de 14,77%. Esse valor pode ser encontrado em qualquer tabela da curva gaussiana ou com a fórmula =1-dist.norm(1,046) no Excel. A probabilidade de todos os seis jogadores terminarem com uma pontuação inferior a 1,046 desvios padrão é (1-0,1477) ^⁶ = 38,31%. Assim, a probabilidade de pelo menos um jogador terminar com uma pontuação superior a 1,046 desvios padrão é de 61,69%. Isso faz com que a aposta no "mais de" pareça uma aposta sólida com odds de -110. Mostro que é justa com odds de -161.

A tabela a seguir mostra a probabilidade de a aposta "mais de 8,5" vencer, considerando vários valores de p. Talvez a pessoa que definiu a aposta estivesse assumindo um valor mais próximo de 51% para p.