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Pergunte ao Mago #243

Quais são as probabilidades das apostas combinadas Proline oferecidas pela loteria da Nova Escócia?

anônimo

Para benefício de outros leitores, a loteria esportiva da Nova Escócia é como as apostas combinadas fora do tabuleiro em um cassino de Nevada, só que com probabilidades piores. Para que o apostador aleatório obtenha o retorno esperado para uma determinada escolha, ele deve somar o inverso do que cada resultado paga. Em seguida, deve calcular o inverso dessa soma.

Por exemplo, no jogo de futebol americano de segunda-feira à noite, em 9 de novembro de 2009, eles tinham as seguintes opções:

Steelers vencem por 3,5 pontos ou mais: paga 1,9 para cada 1 ponto.
Vitória dos Broncos por 3,5 pontos ou mais: paga 3,25 para 1.
Margem de vitória de 3 ou menos: 3,65 para 1

A soma dos inversos é (1/1,9) + (1/3,25) + (1/3,65) = 1,107981. O inverso desse número é 1/1,107981 = 0,902543. Portanto, o retorno esperado é de 90,25. Para uma aposta combinada, multiplique o retorno de todas as apostas feitas.

Analisei diversos eventos e o retorno por evento variou de 75,4% a 90,3% (conforme o exemplo acima). A média foi de 82,6%. Com base nessa média, aqui está o retorno esperado de acordo com o número de palpites:

2: 68,2%
3: 56,3%
4: 46,5%
5: 38,4%
6: 31,7%

Eu estava jogando Let It Ride no Cache Creek Casino, no norte da Califórnia. Uma mulher a duas cadeiras de mim fez um straight flush. O prêmio da aposta bônus foi de US$ 2.000. Quando ela saiu, uma hora depois, minha namorada sentou-se ao meu lado para jogar. Em 30 minutos, ela também fez um straight flush. Ou seja, dois straight flushes foram distribuídos na mesma mesa em um intervalo de 1 hora e meia. Você consegue calcular a probabilidade de isso acontecer?

Lawrence de San Francisco

Vamos supor 60 mãos por hora e um total de quatro jogadores na mesa. Assim, em 90 minutos, seriam 1,5 × 60 × 4 = 360 mãos. A probabilidade de um straight flush é 4 × 9 / combin (52, 5) = 36 / 2.598.960 = 0,000013852. A probabilidade de exatamente dois straight flushes em 360 mãos é combin(360, 2) * 0,000013852 = 2 × (1 - 0,000013852) = 358 = 1 em 81.055. Coisas mais estranhas já aconteceram.
No Borgata em Atlantic City, uma aposta de blackjack de $10,50 paga $16, já que eles não têm moedas de 25 centavos para pagar e sempre arredondam para cima para os próximos 50 centavos se você tiver direito a uma moeda de 25 centavos. Como apostar esse valor afeta as probabilidades?

Keith

Você está recebendo um pagamento de 32 para 21 em um blackjack. Isso representa um adicional de 1/42, ou 2,38%. Em um jogo com seis baralhos, a probabilidade de um blackjack vencedor é de 4,53%. Portanto, isso equivale a 2,38% × 4,53% = 0,11%, o que não é ruim. No entanto, acho que não é um truque muito elegante.
Um cassino local tem uma mesa de blackjack "especial" na qual é possível reservar com antecedência por US$ 20 por uma hora de jogo. A aposta mínima é de US$ 5 e as regras do blackjack são as mesmas, exceto pelo fato de a casa comprar carta com um 17 suave. Que jogo ruim, considerando a taxa de reserva não reembolsável!

Jim G. de Bradley, IL

Considerando 70 mãos por hora, uma vantagem da casa de 0,64% e uma aposta de $5, o custo do jogo antes da taxa seria de $5 × 70 × 0,0064 = $2,24. Essa taxa de $20 é bem alta em comparação. Levando em conta que você apostaria $350 por hora, a perda total esperada seria de $22,24, resultando em uma vantagem da casa de $22,24/$350 = 6,35% (ai!).
Costumo jogar Omaha Hi/Lo com 6 jogadores. Isso me fez pensar qual a probabilidade de alguém na mesa ter um ás e um dois, dado que eu também tenho um ás e um dois. Se você pudesse calcular essa probabilidade, eu agradeceria muito. Obrigado pelo excelente site; já o recomendei várias vezes aos meus amigos jogadores.

David I. de Akron, OH

Gostaria de lembrar aos meus leitores que, no Omaha, cada jogador recebe quatro cartas fechadas. Vou assumir que você tinha um ás, um dois e duas outras cartas de outros valores. Aqui estão as maneiras e o número de combinações possíveis para que outro jogador consiga pelo menos um ás e um dois:

1 ás e 1 dois: 3×3×combin(44,2)=8.514
2 ases e 1 empate: combin(3,2)×3×44=396
1 ás e 2 dois: 3×combin(3,2)×44=396
2 ases e 2 dois: combin(3,2)×combin(3,2)=9
3 ases e 1 dois: 3×3=9
1 dois e 3 dois: 3×3=9
total = 9.321

Existem combin(48,4) = 194.580 maneiras de escolher 4 cartas dentre as 48 restantes. Portanto, a probabilidade de um oponente obter um ás e um dois é 9.321/194.580 = 4,79%. Podemos estimar a probabilidade de que pelo menos um jogador entre cinco oponentes tenha essa combinação como 1 - (1 - 0,0479) ⁵ = 17,83%. Isso não está exatamente correto, pois as probabilidades não são independentes entre os jogadores.