Pergunte ao Mago #251

De acordo com o relatório de receitas de 2009 do Conselho de Controle de Jogos de Nevada, o lucro do jogo "21" foi de fato de US$ 1.008.525.000. Isso provavelmente inclui variantes de blackjack. Segundo minha coluna "Pergunte ao Mago" de 20 de fevereiro de 2010 , o custo dos erros no blackjack é de cerca de 0,83%, de acordo com o consultor de jogos Bill Zender.

A peça que falta é: qual seria a vantagem da casa sem os erros? Admito que isso é um tanto grosseiro, mas a média da coluna de vantagem da casa no boletim informativo Current Blackjack de abril de 2010 é de 0,78%. Portanto, a vantagem total da casa no blackjack, incluindo erros, é de 0,78% + 0,83% = 1,61%. A parcela disso devida a erros é de 0,83%/1,61% = 51,55%. Assim, o lucro de 2009 com erros no blackjack em Nevada poderia ser estimado aproximadamente em 1.008.525.000 × 0,5155 = US$ 519 milhões.

Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .

A tabela a seguir mostra a probabilidade de cada tipo de realeza, de acordo com o número de cartas na mão, dado que houve uma realeza. Ela mostra que 3,4% das realezas são formadas por quem tem apenas uma carta. A probabilidade de se obter uma realeza inicialmente é de 1 em 40.391, portanto, a probabilidade incondicional de uma realeza ter apenas uma carta na mão é de 1 em 1.186.106.

A fórmula é V = P × [(1-(1+i) ^-n )]/(i/(1+i)), onde:

V = valor da anuidade
P = valor do pagamento individual
i = taxa de juros
n = número de pagamentos

Digamos que o prêmio fosse de US$ 15 milhões. Usando i = 4,66% e n = 25, o pagamento justo para acompanhar a inflação seria de US$ 982.525. Na verdade, você receberia 15 milhões / 25 = US$ 600.000. Pagamento real / pagamento justo = 61,07%.

Não que você tenha perguntado, mas a fórmula se os pagamentos forem feitos no final de cada ano é V = P × [(1-(1+i) ^-n )]/i.

Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .

Este é um bom exemplo de problema de intervalo de confiança. Em 100 vendas, o número esperado de tartarugas vendidas será 14,29. O desvio padrão é sqrt(100×(1/7)×(6/7)) = 3,50.

Seja t o número de tartarugas produzidas e x o número de tartarugas vendidas.

pr(x<=t)=0,9
pr(x-14,29<=t-14,29)=0,9
pr((x-14,29)/3,5)<=(t-14,29)/3,5))=0,9

O lado esquerdo da desigualdade segue uma distribuição normal padrão (média de 0, desvio padrão de 1). Este próximo passo exige um curso introdutório de estatística, ou alguma fé, para ser aceito.

(t-14,29)/3,5 = normsinv(0,9) Esta é a função do Excel.
(t-14,29)/3,5 = 1,282
t-14,29 = 4,4870
t = 18,77

É improvável que alguém compre 0,77 de uma estátua de tartaruga, então eu arredondaria para 19. De acordo com a distribuição binomial, a probabilidade de vender 18 ou menos é de 88,35%, e 19 ou menos é de 92,74%. Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site parceiro, Wizard of Vegas .

Os cálculos ficam mais fáceis se ele apostar no Jogador. Eu resolvo um problema semelhante na roleta no meu site mathproblems.info, problema número 116. Para apostas com probabilidades iguais, a fórmula geral é ((q/p) ^b -1)/((q/p) ^g -1), onde:

b = saldo inicial em unidades.
g = meta de saldo bancário em unidades.
p = probabilidade de ganhar qualquer aposta, sem contar empates.
q = probabilidade de perder uma aposta específica, sem contar empates.

Aqui, o jogador começa com 12 milhões de dólares, ou 60 unidades de 200.000 dólares, e jogará até atingir 120 unidades ou perder tudo. Portanto, no caso da aposta do Jogador, os valores da equação são:

b = 60
g = 120
p = 0,493175
q = 0,506825

Portanto, a resposta é ((0,506825/0,493175) ⁶⁰ -1)/(( 0,506825/0,493175) ¹²⁰ -1) = 16,27%.

Na aposta no Banqueiro, a situação é bem mais complexa devido à comissão de 5%. Isso resulta na possibilidade real de o jogador ultrapassar sua meta. Se adicionarmos a regra de que, caso uma aposta vencedora permita ao jogador atingir seu objetivo, ele só poderá apostar o necessário para chegar exatamente a US$ 12 milhões, estimo sua probabilidade de sucesso em 21,66%.

Uma fórmula mais simples para a probabilidade de dobrar um saldo bancário é 1/[1+(q/p) ^b].

Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .