Pergunte ao Mago #258

De fato, acredito que esse seja um fator que deva ser considerado, embora seja um tanto secundário, na decisão de comprar um bilhete de loteria. Para responder à sua pergunta, utilizei o valor do prêmio acumulado e os números de vendas encontrados no site lottoreport.com . Analisei os dados da Powerball desde janeiro de 2008, pois esse é o período mais antigo disponível no site. Também consultei os dados da Mega Millions desde junho de 2005, data em que houve uma mudança nas regras. A tabela a seguir resume meus resultados.

Prêmios divididos na Powerball e na Mega Millions

Item	Powerball	Mega Millions
Probabilidade de ganhar o prêmio principal	1 em 195.249.054	1 em 175.711.536
Prêmio médio oferecido	$ 73.569.853	$ 65.792.976
Vendas médias por sorteio	$ 23.051.548	$ 25.933.833
Número médio esperado de vencedores por sorteio	0,118	0,148
Probabilidade média de divisão do prêmio principal por sorteio	0,74%	1,29%
Perda em retorno devido a prêmios compartilhados (sem ajustes)	4,01%	6,59%
Perda em retorno devido a prêmios compartilhados (ajustada)	1,41%	2,31%

Assim, a probabilidade média de um prêmio principal ser dividido é de 0,74% na Powerball e de 1,29% na Mega Millions. À medida que o prêmio principal aumenta e as vendas crescem, a probabilidade de divisão do prêmio também aumenta. A razão pela qual a probabilidade de divisão do prêmio principal é maior na Mega Millions é porque a probabilidade de ganhar é maior e há mais concorrência de outros jogadores.

Considerando todos os fatores, mostro que há uma perda de 4,01% no retorno devido ao compartilhamento do prêmio principal na Powerball e de 6,59% na Mega Millions. No entanto, esses valores não consideram impostos, nem o fato de que os prêmios principais são pagos na forma de anuidades. Para ajustar isso, assumi que o jogador recebe apenas metade do prêmio, seja optando pelo pagamento à vista ou pela perda de valor decorrente da escolha da anuidade. Também assumi que 30% do restante são perdidos em impostos, portanto, o ganhador pode esperar receber 35% após esses dois fatores. Após esse ajuste, mostro uma perda de 1,20% no retorno devido ao compartilhamento do prêmio principal na Powerball e de 1,98% na Mega Millions.

Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .

Com base em uma simulação de 7,7 bilhões de mãos, assumindo que o jogador segue a estratégia da casa, a probabilidade de um empate na mão da frente (baixa) é de 2,55%, ou 1 em 39,24. A probabilidade de um empate na mão de trás (alta) é de 0,038%, ou 1 em 2.637. A probabilidade de um empate duplo é de aproximadamente 1 em 78.200.

Primeiramente, a "regra dos 72" é uma aproximação do tempo necessário para dobrar seu dinheiro, não uma resposta exata. A tabela a seguir mostra os valores da "regra dos 72" e o número exato de anos para diversas taxas de juros anuais.

Por que 72? Não precisa ser exatamente 72. Esse é apenas o número que funciona bem para taxas de juros realistas que você provavelmente encontrará em um investimento. Ele funciona quase exatamente para uma taxa de juros de 7,8469%. Não há nada de especial em 72, como há em π ou e. Por que qualquer número funciona? Se a taxa de juros for i, então vamos calcular o número de anos (y) necessários para dobrar um investimento.

2 = (1+i) ^y
ln(2) = ln(1+i) ^y
ln(2)= y×ln(1+i)
y = ln(2)/ln(1+i)

Esta pode não ser a minha melhor resposta de sempre, mas tente seguir esta lógica: seja y=ln(x).
dy/dx=1/x.
1/x ≈ x para valores de x próximos de 1.
Assim, dy/dx ≈ 1 para valores de x próximos de 1.
Portanto, a inclinação de ln(x) será próxima de 1 para valores de x próximos de 1.
Portanto, a inclinação de ln(1+x) será próxima de 1 para valores de x próximos de 0.
A "regra de 72" diz que 0,72/i =~ 0,6931/ln(1+i).
Estabelecemos que i e ln(1+i) são semelhantes para valores de i próximos de 0.
Assim, 1/i e 1/ln(1+i) são semelhantes para valores de i próximos de 0.
Usar 72 em vez de 69,31 ajusta as diferenças entre i e ln(1+i) para valores de i em torno de 8%.

Espero que isso faça algum sentido. Meus conhecimentos de cálculo estão bem enferrujados; levei horas para explicar isso para mim mesmo.

Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .

Isso parece ser um paradoxo matemático, mas na verdade é apenas um abuso da fórmula do valor esperado. Como você observou na pergunta, parece que o outro envelope deveria ter 25% a mais do que o que você escolheu. No entanto, se você aceitar isso, então poderia muito bem escolher o outro envelope desde o início. Além disso, você poderia usar esse argumento para ficar alternando entre os envelopes indefinidamente, caso não consiga abri-los antes de decidir trocar. Claramente, deve haver alguma falha no argumento do valor esperado. A questão é: onde está a falha?

Passei muito tempo lendo e discutindo sobre esse problema ao longo dos anos. Ouvi e li muitas explicações sobre por que o argumento y = 0,5x + 0,5 * 2x = 1,25x está errado. Muitos usaram páginas e páginas de matemática avançada na explicação, o que não acho necessário. É uma questão simples que exige uma resposta simples. Então, esta é a minha tentativa.

Você deve ter muito cuidado com o que fizer com a informação de que um envelope contém o dobro do dinheiro do outro. Vamos chamar a quantia no envelope menor de S e a do envelope maior de L. Assim, temos:

L=2×S
S=0,5×L

Observe como os fatores 2 e 0,5 são aplicados a envelopes diferentes . Você não pode pegar ambos os fatores e aplicá-los ao mesmo valor. Se o primeiro envelope tiver $100, então, se for o envelope menor, o outro terá $200. Se o envelope de $100 for o maior, então o outro terá $50. Portanto, o outro envelope terá $50 ou $200. No entanto, você não pode concluir que há 50% de chance para cada um. Isso porque seria aplicar os fatores 0,5 e 2 ao mesmo valor, o que não é possível. Sem saber a distribuição dos prêmios inicialmente, você não pode atribuir valores possíveis ao segundo envelope.

Se o argumento 0,5x/2x estiver errado, qual seria a maneira correta de definir o valor esperado do outro envelope? Eu faria da seguinte forma: a diferença entre os dois envelopes é LS = 2S - S = S. Ao trocar de envelope, você ganhará ou perderá S, seja qual for o valor. Se os dois envelopes tiverem $50 e $100, a troca resultará em um ganho ou perda de $50. Se os dois envelopes tiverem $100 e $200, a troca resultará em um ganho ou perda de $100. De qualquer forma, o ganho esperado com a troca é 0. Acho que poderia dizer que, se o primeiro envelope tiver $100, há 50% de chance de a diferença no outro envelope ser de $50 e 50% de chance de ser de $100. Portanto, a diferença esperada é de $75. Assim, o valor esperado do outro envelope é 0,5×($100+$75) + 0,5×($100-$75) = 0,5×($175+$25) = $100.

Espero que isso faça algum sentido. Esse problema sempre gera muitos comentários. Se você tiver algum, por favor, não me escreva diretamente, mas poste no meu fórum do Wizard of Vegas. O link está abaixo.

Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .

Ligações

• Wikipédia
• David Chalmers
• www.cut-the-knot.org
• physorg.com