Pergunte ao Mago #277

Primeiramente, vale a pena repetir que 16 contra 10 é uma mão extremamente limítrofe entre pedir carta e parar. Se você puder desistir, isso é muito melhor do que pedir carta ou parar para o jogador que utiliza a estratégia básica. Caso contrário, pedir carta é ligeiramente melhor, em média. Bastaria remover uma única carta pequena de um baralho de oito cartas para que as probabilidades se inclinassem a favor de parar, porque com uma carta pequena a menos, restam mais cartas grandes, tornando pedir carta mais arriscado. É por isso que digo que se o seu 16 for composto por três ou mais cartas, você deve parar, porque um 16 de 3 cartas geralmente remove pelo menos duas cartas pequenas do baralho.

Em segundo lugar, na primeira mão após o embaralhamento, se a estratégia básica e uma estratégia de contagem de cartas divergirem sobre como jogar a mão, a estratégia básica prevalece. A estratégia básica foi cuidadosamente criada para considerar a composição exata do baralho com base nas cartas específicas observadas. Uma tabela de valores de índice é uma ferramenta mais direta e aplicável em toda a mão.

Neste caso específico, um contador de cartas pode tanto pedir carta quanto parar, dependendo de como arredonda a contagem real. Se arredondar para baixo, a contagem real será -1, fazendo com que peça carta. Se arredondar para cima, ou para o inteiro mais próximo, a contagem real será 0, fazendo com que pare. Já que estou mencionando isso, de acordo com o livro "Blackjack Attack", de Don Schlesinger, a metodologia preferida para arredondamento é o "arredondar para baixo", neste caso para -1, fazendo com que o jogador peça carta corretamente.

Outra situação semelhante é 15 contra 10. Em 83% das vezes (com 10+5 ou 8+7, mas não 9+6), isso resulta em uma contagem acumulada de -1 na primeira mão após o embaralhamento, e o índice para desistir é 0. Arredondar para baixo faria com que o jogador pedisse carta incorretamente, quando desistir seria melhor.

Em resumo, para a primeira decisão após o embaralhamento, sem que os outros jogadores tenham conhecimento das cartas, o contador deve usar a estratégia básica. Depois disso, volte a usar os índices numéricos.

Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .

Não sei. O que acredito poder afirmar com certeza é que a patente mais antiga de um jogo de cassino jogado atualmente é a do Caribbean Stud Poker. Provavelmente existiram outras patentes anteriores para jogos que não vingaram. A patente do Caribbean Stud foi registrada em 18 de abril de 1988 e concedida em 6 de junho de 1989. Número da patente: 4.836.553 .

Não que você tenha perguntado, mas naquela época as patentes de jogos de cassino eram válidas por 17 anos a partir da data de emissão, ou 20 anos a partir da data de depósito, o que fosse maior. Em 1995, o prazo foi estendido para 20 anos a partir da data de depósito. No caso do Caribbean Stud, a patente teria expirado em 2008. No entanto, acredito que ainda possua marcas registradas válidas, o que significa que um cassino poderia oferecer o jogo sem pagar royalties, mas teria que pensar em outro nome que não esteja registrado.

Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .

Sim! Aposte no lado que estiver virado para cima na mão de quem está lançando a moeda. O artigo acadêmico "Dynamic Bias in the Coin Toss" ( Viés Dinâmico no Lançamento de Moedas), de Persi Diaconis, Susan Holmes e Richard Montgomery, conclui que a moeda cairá no mesmo lado em que começou em 51% das vezes.

Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .

Para uma resposta quase exata a perguntas sobre sequências de acertos como esta, precisamos usar álgebra matricial. Respondi a uma pergunta semelhante, porém mais fácil, na minha coluna de 4 de junho de 2010. Se você não tem muita experiência com álgebra matricial, recomendo que revise essa coluna primeiro.

Passo 1: Determine a probabilidade de 0 a 6+ cartas da realeza nas primeiras 5.000 mãos. Vamos assumir que a probabilidade de uma carta da realeza é de 1 em 40.000. O número esperado em 5.000 mãos é 5.000/40.000 = 0,125. Usando a estimativa de Poisson, a probabilidade de exatamente r cartas da realeza é e^( ^-0,125 × 0,125) / ^r !. Aqui estão essas probabilidades:

Passo 2: Considere que existem sete estados para as 24.995.000 mãos restantes. Para cada um deles, as 5.000 mãos anteriores podem ter 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 cartas da realeza, ou o jogador pode já ter conseguido seis cartas da realeza em 5.000 mãos, caso em que o sucesso é alcançado e não pode ser retirado. A cada nova mão, uma de três coisas pode acontecer com o estado do jogador:

1. Descer um nível. Isso acontece se a mão jogada há 5.000 jogos era um Royal Flush e agora está sendo descartada, e a nova mão não era um Royal Flush.
2. Permanecer no mesmo nível. Isso geralmente acontece se a mão jogada 5.000 partidas atrás não era um Royal Flush, e a nova mão também não é. Também pode acontecer se uma mão jogada 5.000 partidas atrás era um Royal Flush, mas a nova mão também é um Royal Flush.
3. Suba de nível. Isso acontecerá se a mão jogada há 5.000 jogos não era um Royal Flush e a nova mão for.

Etapa 3: Desenvolva a matriz de transição para as probabilidades de cada mudança de estado em um jogo adicional.

A primeira linha corresponderá ao nível 0 antes da próxima mão ser jogada. A probabilidade de avançar para o nível 1 na próxima mão é de 1 em 40.000. A probabilidade de permanecer no nível 0 é de 39.999/40.000.

A segunda linha corresponderá ao nível 1 antes da nova mão ser jogada. A probabilidade de avançar para o nível 2 na próxima mão é o produto da probabilidade de não perder um Royal Flush na mão anterior e obter um Royal Flush na nova mão = (4999/5000)×(1/40000) = 0,0000250. A probabilidade de voltar ao nível 0 é o produto de perder um Royal Flush e não obter um Royal Flush no jogo atual = (1/5000)×(39999/40000) = 0,0002000. A probabilidade de permanecer a mesma é pr(nenhum membro da realeza saindo) × pr(nenhum novo membro da realeza) + pr(membro da realeza saindo) × pr(novo membro da realeza) = (4999/5000)×(39999/40000) + (1/5000)×(1/40000) = 0,9997750.

As probabilidades para as linhas 2 a 6 dependerão de quantas cartas da realeza (Royal Tales) estiveram presentes no histórico das últimas 5.000 mãos. Quanto mais cartas da realeza, maior a probabilidade de uma delas desaparecer quando uma nova mão for jogada. Seja r o número de cartas da realeza nas últimas 5.000 mãos e p a probabilidade de se obter uma nova carta da realeza.

Pr(promover um nível) = Pr(nenhum real caindo) × Pr(novo real) = (1-(r/5000))× p.

Pr(permanecer no mesmo nível) = Pr(nenhum real saindo) × Pr(nenhum novo real) + Pr(real saindo) × Pr(novo real) = (1-(r/5000))× (1-p) + (r/5000)×p.

Pr(rebaixar um nível) = Pr(real saindo) × Pr(nenhum novo real) = (r/5000)× (1-p).

A linha 7 corresponde a ter alcançado o sucesso de obter seis cartas da realeza em 5.000 mãos. Uma vez alcançada essa conquista, ela é irrevogável, portanto, a probabilidade de permanecer nesse estado de sucesso é de 100%.

As linhas da matriz de transição corresponderão aos níveis anteriores à nova mão, começando com o nível 0 na linha superior. As colunas corresponderão aos níveis posteriores à nova mão, começando com o nível 0 na coluna da esquerda. O corpo da matriz corresponderá às probabilidades de transição de cada estado anterior para cada novo estado em uma partida. Vamos chamar isso de T1 =

Se multiplicarmos essa matriz de transição por si mesma, obtemos as probabilidades de cada mudança de estado em dois jogos consecutivos. Vamos chamar isso de T2, para a matriz de transição em dois jogos:

Aliás, no Excel, para multiplicar duas matrizes de mesmo tamanho, primeiro selecione a região onde deseja que a nova matriz seja inserida. Em seguida, use esta fórmula: =MMULT(intervalo da matriz 1, intervalo da matriz 2). Depois, pressione Ctrl+Shift+Enter.

Se multiplicarmos T2 por si mesmo, obtemos as probabilidades de cada mudança de estado em quatro jogos consecutivos, ou T4:

Então, continue repetindo esse processo de duplicação 24 vezes até chegarmos a T-16.777.216:

Se dobrássemos novamente, ultrapassaríamos nossa meta de T-24.995.500. Portanto, agora precisamos multiplicar cuidadosamente por matrizes de transição menores, que já calculamos. É possível chegar a qualquer número usando potências de dois (as maravilhas da aritmética binária!). Neste caso, T-24.995.500 = T-16.777.216 × T-2 ²² × T-2 ²¹ × T-2 ²⁰ × T-2 ¹⁹ × T-2 ¹⁸ × T-2 ¹⁶ × T-2 ¹⁴ × T-2 ¹³ × T-2 ¹⁰ × T-2 ⁷ × T-2 ⁵ × T-2 ⁴ × T-2 ³ =

Sinceramente, para simplificar e economizar tempo, você não precisa se preocupar com essas últimas quatro multiplicações. Elas correspondem apenas às últimas 56 mãos, e a probabilidade de essas 56 fazerem diferença no resultado final é insignificante. Tenho certeza de que meus muitos leitores perfeccionistas me criticariam duramente por dizer isso, se pudessem.

Passo 4: Multiplique o estado inicial após 5.000 mãos por T-24.995.500. Seja S-0, do passo 1, o seguinte:

Então S-0 × T-24.995.500 =

O número na célula inferior representa a probabilidade de ter conseguido seis Royal Flush em pelo menos uma das 25.000.000 mãos, dentro de um período de 5.000 mãos. Ou seja, uma chance de 1 em 7.336.

Meus agradecimentos a CrystalMath pela ajuda com esta questão.