Pergunte ao Mago #284

De acordo com o artigo " Concessionária de carros de Washington paga US$ 420.000 após derrota dos Seahawks por shutout" , a concessionária realizou uma promoção para pagar US$ 35.000 a doze vencedores caso os Seahawks vencessem os Giants por shutout na partida da semana 15, realizada em 15 de dezembro de 2013. O artigo afirma ainda que a concessionária pagou US$ 7.000 por uma apólice de seguro para cobrir o pagamento caso isso de fato ocorresse.

Com base em todos os jogos da NFL das temporadas de 1983 a 2012, um lado específico de cada partida não marcou pontos. No entanto, como azarão por sete pontos, em um jogo com uma previsão de pontos acima da média, eu diria que a probabilidade dos Giants não marcarem pontos era maior do que a média. A previsão de pontos para aquele jogo era de 41. Vamos fazer um pouco de álgebra para calcular o número esperado de pontos dos Giants.

Deixar:
s = Pontos dos Seahawks
g = Pontos dos Giants

Sabemos que s+g=41 e s=g+7, com base na diferença de pontos e no total de pontos (acima/abaixo).

Substituindo a segunda equação na primeira:

(g+7) + g = 41
2g + 7 = 41
2g = 34
g = 17

Em seguida, vamos analisar a probabilidade de um shutout com base no número estimado de pontos de cada equipe, considerando as temporadas de 1983 a 2012. Ignorei as linhas em que o tamanho da amostra era zero.

Os próximos passos são muito complexos para explicar aqui, mas desenvolvi uma fórmula para a probabilidade de um shutout, dado o número estimado de pontos.

p = Pontos estimados.
x = 1,562545 - 0,302485 * p
probabilidade de shutout = e ^x /(1+e ^x )

O gráfico a seguir mostra a probabilidade real e estimada de uma partida sem sofrer gols por uma diferença de 14 a 22 pontos.


Na partida em questão, esperava-se que os Giants marcassem 17 pontos.

Utilizando a fórmula acima da tabela:

x = 1,562545 -0,302485 * 17 = -3,579706
Probabilidade de shutout = exp(-3,579706)/( exp(-3,579706)+1) = 2,71%. Para ser exato, 0,0271275.

Considerando que a concessionária teria que pagar US$ 420.000 caso o Giants perdesse por 4 a 0, o custo justo do seguro seria de US$ 420.000 × 0,0271275 = US$ 11.394. Normalmente, as seguradoras que oferecem promoções incomuns como essa dobram o custo justo, então eu esperaria um prêmio de US$ 22.788. Portanto, o prêmio de US$ 7.000 pago pela concessionária foi uma pechincha. Supondo que o chefe revise os cálculos, eu não gostaria de estar no lugar de quem calculou esse prêmio de US$ 7.000.

Essa questão foi levantada e discutida no meu fórum no Wizard of Vegas .

Vamos supor, por um minuto, que exista um maior número primo. Podemos numerar os números primos como p1=2, p2=3, p3=5, p4=7, ... pL = maior número primo.

Agora vamos definir o número x = p1*p2*p3*p4*...*pL + 1.

Um número primo significa que nenhum outro número primo menor o divide exatamente.

Se dividirmos p1, p2, p3, ... pL por x, obteremos um resto de 1 todas as vezes.

Você poderia argumentar que talvez um primo maior que pL divida x exatamente. Sim, mas então você teria encontrado um primo maior que o chamado maior primo. Caso contrário, x se tornaria um novo maior primo, provando a conjectura inicial da existência de um maior primo por contradição.

Essa pergunta foi feita e discutida no meu fórum no Wizard of Vegas .

Não, eu discordo. Trata-se de uma reportagem péssima e o Business Insider deveria se envergonhar disso.

Para começar, o artigo foi publicado em 17 de dezembro de 2013, antes do sorteio de US$ 636 milhões naquela noite. Vamos analisar os cálculos para avaliar o valor de um bilhete de US$ 1. A tabela a seguir mostra a probabilidade e o retorno esperado de todos os resultados possíveis para o prêmio de US$ 636 milhões, antes de considerar fatores como a multa por pagamento único, impostos e a divisão do prêmio. As três maiores probabilidades estão em notação científica porque os números são muito pequenos.

Isso mostra que um ingresso de US$ 1 renderá US$ 2,630864. Após deduzir o dólar que custou o ingresso, o lucro esperado é de US$ 1,630864. O Business Insider recebe US$ 1,632029. Uma diferença de 0,001164, mas nada significativo.

No entanto, existem três fatores que reduzem significativamente o valor:

1. A multa em parcela única.
2. Impostos.
3. Partilha do jackpot.

Vamos analisá-los um de cada vez.

Os grandes prêmios progressivos de loteria geralmente são pagos na forma de uma anuidade de cerca de 30 anos, incluindo a Mega Millions. Se o ganhador quiser o dinheiro todo de uma vez, o que a maioria deseja, ele terá que aceitar uma redução significativa. Isso é justo, pois um dólar hoje vale mais do que um dólar no futuro. No caso do sorteio de 17 de dezembro de 2013, o valor total do prêmio foi reduzido para US$ 347,6 milhões, ou 54,65% do prêmio anunciado.

Em seguida, vamos analisar os impostos. A alíquota máxima do imposto de renda federal é de 39,6%. Os impostos estaduais variam de 0% a 12,3%, então vamos considerar uma média de 6%. Após deduzir 45,6% em impostos, restam US$ 189,1 milhões.

Agora vem a parte mais complicada: a divisão do prêmio principal. Vale ressaltar que, a partir do sorteio de 22 de outubro de 2013, a Mega Millions mudou as regras para um formato 75-15, no qual são sorteados cinco números de 1 a 75 e, em seguida, um número de um conjunto separado de 1 a 15. Isso reduziu as chances de ganhar para 1 em 258.890.850, evidentemente em um esforço para aumentar os prêmios principais. Analisando apenas os 17 sorteios desde então, usando dados de prêmios e vendas do LottoReport.com , constatei uma relação exponencial entre o tamanho do prêmio principal e a demanda. Descobri o mesmo para a loteria Powerball , aliás. Usando regressão exponencial, minha fórmula para o total de bilhetes vendidos (em milhões) é 12,422 × exp(0,0052 × j), onde j é o tamanho do prêmio principal (em milhões). Por exemplo, para um prêmio de US$ 636 milhões, as vendas esperadas seriam de 12,422 * exp(0,0052*636) = 339,2 (milhões). As vendas reais foram de US$ 337 milhões, então bem próximas.

Com base na venda real de 336.545.306 bilhetes, podemos esperar 336.545.306/258.890.850 = 1.300 vencedores. A questão pertinente é: se você ganhar, com quantas outras pessoas você pode esperar dividir o prêmio? Isso é facilmente respondido observando a distribuição de Poisson. Dada uma média de 1,3 vencedores, a probabilidade de haver exatamente x vencedores é exp(1,3)×1,3 ^x /fact(x). A tabela a seguir mostra a probabilidade de haver de 0 a 10 outros vencedores, sua parte do prêmio em cada caso e a parte esperada, supondo que você ganhe.



A célula inferior direita mostra que você pode esperar ficar com 55,96% do dinheiro, e os outros 44,04% irão para aqueles outros vencedores com quem você terá que dividir.

Agora, nosso prêmio acumulado de US$ 636 milhões caiu para US$ 189,1 × 55,96% = US$ 105,8 milhões. Vejamos como fica a tabela de retorno com esse valor como prêmio acumulado.



A célula inferior direita mostra um retorno esperado de 58,29%. Em outras palavras, seu investimento de US$ 1 pode render cerca de 58 centavos, resultando em uma perda esperada, ou vantagem da casa, de aproximadamente 42%. Isso soa como um bom argumento para comprar um bilhete?

Segundo o artigo, "Portanto, desde que sejam vendidos menos de 730 milhões de bilhetes, uma situação bastante provável neste momento, o valor esperado de um bilhete deverá ser positivo, e por isso você deve considerar comprar um bilhete da Mega Millions hoje."

As vendas foram bem inferiores a 730 milhões e, mesmo assim, o produto representou um péssimo negócio. No entanto, para sermos justos, o artigo prosseguiu dizendo o seguinte:

"Tenha em mente que existem muitas ressalvas a esta análise. Os impostos provavelmente afetarão seus ganhos esperados de forma bastante severa — o governo federal ficará com cerca de 40%, e seu estado de residência poderá cobrar de 0% a cerca de 13%."

Muita gente tem comprado bilhetes, e como discutido acima, isso aumentará consideravelmente as chances de empate e a consequente redução do prêmio." — Business Insider

Essas são ressalvas muito importantes! Elas não deveriam ser mencionadas apenas de passagem no final, mas sim levadas em consideração na análise desde o início.

Embora você não tenha perguntado, a matemática me diz que você nunca deveria jogar na Mega Millions. Dada a demanda exponencial por bilhetes, baseada no tamanho do prêmio, acredito que o momento ideal para jogar seja quando o prêmio chega a US$ 545 milhões. Com prêmios maiores que isso, você terá que dividi-lo com muitos outros vencedores. Nesse valor, o jogador pode esperar um retorno de 60,2%, ou uma perda de 39,8%. É o melhor que se pode esperar.

Para concluir, não, eu discordo da Business Insider por enganar os leitores com um título sensacionalista e não fazer uma análise adequada sobre impostos e a divisão de prêmios da loteria.

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .