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Pergunte ao Mago #302

Em um jogo de Texas Hold 'Em para dois jogadores, qual mão tem as melhores probabilidades contra um par de ases de naipe desconhecido?

Mike B.

Supondo que ambas as mãos cheguem ao final, mostro que a melhor mão concorrente é 5-6 do mesmo naipe. Se o naipe não estiver representado no par de ases, os resultados possíveis são:

  • Vitória: 22,87%
  • Empate: 0,37%
  • Perda: 76,76%


Se o naipe estiver representado no par de ases (diminuindo a probabilidade de um flush), os resultados possíveis são:

  • Vitória: 21,71%
  • Empate: 0,46%
  • Perda: 77,83%


Em geral, os resultados possíveis são:

  • Vitória: 22,290%
  • Empate: 0,415%
  • Perda: 77,295%


A rodada bônus Hot Roll em máquinas caça-níqueis premia o jogador com a seguinte quantidade de moedas, de acordo com o total de dois dados. O jogador continua acumulando até obter um total de sete, o que encerra o bônus. Se ele obtiver um sete na primeira rodada, recebe um prêmio de consolação de 70 moedas. A seguir, estão os prêmios para todos os outros totais diferentes de sete:

  • 2 ou 12: 1.000
  • 3 ou 11: 600
  • 4 ou 10: 400
  • 5 ou 9: 300
  • 6 ou 8: 200


Minha pergunta é: qual é o ganho médio de bônus?

anônimo

Clique no botão a seguir para ver a resposta.

A resposta é 1983,33.

Clique no botão a seguir para ver a solução.

Seja x a resposta. Enquanto o jogador não tirar um sete, ele sempre pode esperar que as vitórias futuras sejam x, além de todas as vitórias anteriores. Em outras palavras, existe uma propriedade de ausência de memória no lançamento de dados, de modo que, não importa quantas jogadas você já tenha feito, você não está mais perto de um sete do que estava quando começou.

Não vou entrar em detalhes sobre as probabilidades em dados, mas basta dizer que a probabilidade de cada total é a seguinte:
  • 2: 1/36
  • 3: 2/36
  • 4: 3/36
  • 5: 4/36
  • 6: 5/36
  • 7: 6/36
  • 8: 5/36
  • 9: 4/36
  • 10: 3/36
  • 11: 2/36
  • 12: 1/36


Antes de considerar o prêmio de consolação, o valor de x pode ser expresso como:

x = (1/36)*(1000 + x) + (2/36)*(600 + x) + (3/36)*(400 + x) + (4/36)*(300 + x) + (5/36)*(200 + x) + (5/36)*(200 + x) + (4/36)*(300 + x) + (3/36)*(400 + x) + (2/36)*(600 + x) + (1/36)*(1000 + x)

Em seguida, multiplique ambos os lados por 36:

36x = (1000 + x) + 2*(600 + x) + 3*(400 + x) + 4*(300 + x) + 5*(200 + x) + 5*(200 + x) + 4*(300 + x) + 3*(400 + x) + 2*(600 + x) + (1000 + x)

36x = 11.200 + 30x

6x = 11.200

x = 11.200/6 = 1866,67.

Em seguida, o valor do prêmio de consolação é 700*(6/36) = 116,67.

Assim, o ganho médio do bônus é de 1866,67 + 116,67 = 1983,33.

Qual é o número esperado de números aleatórios extraídos de uma distribuição uniforme entre 0 e 1 para que a soma seja maior que 1?

anônimo

Resposta:
e=2,718281828...
Solução:
Aqui está a solução .
Como posso calcular o número de combinações de cada vitória em slots com "múltiplas linhas de pagamento"? Considere que tenho os rolos.

James de Vermont

Para benefício de outros leitores, os caça-níqueis com ganhos "Multiway" abrangem todas as linhas de pagamento possíveis. No entanto, o jogo pagará apenas uma vez para cada combinação vencedora. Quando um rolo ficar sem símbolos vencedores, as linhas de pagamento terminam ali.

Vejamos um exemplo baseado em um jogo com cinco rolos e três linhas visíveis. Todas as combinações vencedoras são alinhadas à esquerda. Suponha que o jogador tenha um símbolo vencedor nos rolos 1, 2, 3 e 5. O jogador receberá o pagamento apenas uma vez por três desses símbolos. Não importa que haja 9 maneiras de completar as combinações vencedoras nos rolos 4 e 5, porque, neste exemplo, as linhas de pagamento terminam no rolo 3.

Agora, suponha que o jogador tenha obtido o mesmo símbolo vencedor essa quantidade de vezes em cada rolo:

  • Rolo 1: 2
  • Rolo 2: 1
  • Rolo 3: 3
  • Rolo 4: 2
  • Rolo 5: 1


O jogador receberia pagamento por 2×1×3×2×1 = 12 linhas de pagamento.

Se o jogador cobrisse toda a tela com o mesmo símbolo vencedor, ele receberia o pagamento por 3 5 = 243 linhas de pagamento.

Em seguida, vamos à resposta. Vamos supor que só existam combinações vencedoras com 3 a 5 símbolos.

Vamos definir alguns termos:

  • t x = número total de paradas do carretel x.
  • n x = número total de símbolos vencedores no rolo x.
  • p x = posições nas faixas do rolo x onde não há nenhum símbolo vencedor visível no rolo.


    • Para o rolo 3 a resposta é 3 3 × n 1 × n 2 × n 3 × p 4 × t 5 .

    Para o rolo 4 a resposta é 3 4 × n 1 × n 2 × n 3 × n 4 × p 5 .

    Para o rolo 5 a resposta é 3 5 × n 1 × n 2 × n 3 × n 4 × n 5 .