Pergunte ao Mago #311

Q: Como faço para converter as probabilidades em apostas esportivas entre as formas americana e europeia de expressá-las?

Vamos considerar que &quot;a&quot; representa as probabilidades expressas à maneira americana e &quot;e&quot; à maneira europeia. Para ir do estilo americano ao europeu: Se a&gt;0, então e=1+(a/100). Se a&lt;0, então e=(a-100)/a. Para ir do estilo europeu ao americano: Se e&gt;=2, então a=100×(e-1). Se e&lt;2, então a=100/(1-e).

Se você quiser colocar 355 mililitros em uma lata, quais devem ser as dimensões para minimizar a área da superfície?

anônimo

Boa pergunta! Eu estava pensando exatamente isso quando vi umas latas de refrigerante fininhas numa feira de jogos, que tinham os mesmos 355 mililitros das latas de tamanho padrão. Com certeza as duas coisas não podem estar certas (e não me chame de Shirley).

Vamos lá:
r = raio da lata
h = altura da lata
v = volume da lata
s = área da superfície da lata

Sabemos por princípios básicos da geometria que a área da superfície é igual a 2πr² + 2πrh.

Da mesma forma, também sabemos que o volume é pi*r^2*h, que nos foi dado como sendo igual a 355.

Portanto, 355 = pi * r^2 * h.

Vamos reorganizar isso para:

(1) h = 355/(pi*r^2)

Nós sabemos:

(2) s = 2*pi*r^2 + 2*pi*r*h.

Vamos transformar isso em uma função de apenas uma variável, substituindo nossa expressão para h na equação (1) em (2):

s = 2*pi*r^2 + + 2*pi*r*(355/(pi*r^2))) = 2*pi*r^2 + 710/r.

Vamos calcular a derivada de s e igualá-la a zero para encontrar o valor ótimo de r.

ds/dr = 4*pi*r - 710/(r^2) = 0

4*pi*r = 710/(r^2)

Multiplicando ambos os lados por r^2:

4*pi*r^3 = 710

r^3 = 177,5/pi.

r = (177,5/pi)^(1/3) = 3,837215248.

Insira esse valor na equação (1) para obter h = 7,674430496.

Essa questão é levantada e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

Acabei de voltar da noite de pôquer no VFW. Fiz 6-6 três vezes seguidas! Nunca tinha acontecido isso antes. Qual a probabilidade de conseguir um par de cartas do mesmo valor três vezes seguidas em uma noite? Considere que uma noite tem um total de 120 rodadas.

AZDuffman

A resposta e a solução aparecem na seguinte tag de spoiler.

Existem quatro estados possíveis em que você pode se encontrar a qualquer momento:

Estado 1: A primeira mão ou qualquer mão em que a última mão não tenha sido um par na mão.
Estado 2: A última mão era um par na mão.
Estado 3: As duas últimas mãos eram o mesmo par de cartas.
Estado 4: Já foi alcançada a combinação de três pares de cartas iguais em sequência.

Se você estiver no estado 1, poderá avançar para o estado 2 com uma probabilidade de 3/51. Caso contrário, você permanece no estado 1.

Se você estiver no estado 2, você pode avançar para o estado 3 com uma probabilidade de (4/52)×(3/51). Caso contrário, você volta para o estado 1.

Se você estiver no estado 3, você pode avançar para o estado 4 com uma probabilidade de (4/52)×(3/51). Caso contrário, você volta para o estado 1.

Se você estiver no estado 4, você permanece lá.

Dito isso, você pode criar sua matriz de transição, T, da seguinte forma:

0,941176	0,058824	0,000000	0,000000
0,941176	0,054299	0,004525	0,000000
0,941176	0,054299	0,000000	0,004525
0,000000	0,000000	0,000000	1.000000

Foram jogadas 120 mãos no total, então encontre T^120.

0,941044	0,058549	0,000265	0,000141
0,941025	0,058548	0,000265	0,000162
0,936786	0,058284	0,000264	0,004666
0,000000	0,000000	0,000000	1.000000

A célula superior direita mostra a probabilidade de que, começando no estado 1, chegaremos ao estado 4 após 120 mãos iniciais em uma sequência de três mãos, que é de 0,000141471.

Tomando o inverso desse número, a probabilidade é de 1 em 7068,605131.

Essa questão é levantada e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

Na sua explicação sobre uma máquina de video poker com cartelas raspadas , você dá o seguinte exemplo: "Mesmo que o jogo pareça um video poker de cinco cartas, o resultado é predeterminado. Por exemplo, se você receber um royal flush na distribuição inicial e descartar todas as cartas, receberá outro royal flush na próxima rodada." Minha pergunta é: o que acontece se você descartar cartas que tornam um resultado predeterminado impossível (como um dois no Deuces Wild para um 4-Dues predeterminado ou um Ás em um jogo Double Bonus para 4 Áses?) Talvez esses tipos de jogos não sejam oferecidos, mas apenas aqueles, como Jacks or Better, onde tal situação não é possível?

anônimo

O que eu ouvi dizer que acontece é que uma fada aparece e muda sua mão na hora de comprar as cartas para o que quer que estivesse predestinado. Por exemplo, se você estivesse predestinado a receber dois dois na distribuição inicial e melhorar para quatro dois depois da compra, se você descartasse os dois, provavelmente receberia os outros dois naturalmente na compra, e então a fada trocaria duas cartas ruins pelos dois dois que você descartou.

Pelo que percebo, a maioria dos profissionais de jogos de azar que conheço prefere saber a volatilidade de um jogo expressa em variância, em vez de desvio padrão. Claro, a primeira é apenas o quadrado do segundo. No entanto, eu prefiro o desvio padrão, já que está nas mesmas unidades da aposta e do ganho/perda. Talvez eles gostem de um número maior para destacar uma volatilidade maior? Qual a sua opinião? Existe alguma preferência entre os jogadores pelo uso da "variância" e, se sim, por quê?

Gary J. Koehler

Concordo que se ouve falar mais da variância de um jogo do que do seu desvio padrão, o que sempre me incomodou um pouco. Acredito que os jogadores deveriam se preocupar com a volatilidade de um jogo para associar uma vitória ou derrota a uma probabilidade em uma sessão de jogo. Por exemplo, o que seria uma perda de 1% após 200 mãos de blackjack? Para responder a essa pergunta, usaríamos o desvio padrão do blackjack, que é de cerca de 1,15, dependendo das regras.

A resposta específica para essa pergunta é 1,15 × 200^0,5 × -2,32635 (que é o ponto de 1% na curva gaussiana) = -37,83 unidades abaixo do esperado. Não se esqueça de que, devido à vantagem da casa, você pode esperar perder alguma coisa. Se assumirmos uma vantagem da casa de 0,3%, então, após 200 mãos, você poderia esperar perder 0,003 * 200 = 0,6 mãos. Portanto, uma perda ruim de 1% seria 0,6 + 37,83 = 38,43 mãos.

O cassino em Milwaukee, que começou como um salão de bingo, bateu o recorde de 290 bingos em uma única partida esta semana. O padrão era a letra I, tanto na vertical (3 em cima e embaixo e todos os Ns) quanto na horizontal (3 Bs e Os com o do meio). Foram necessárias 43 chamadas para que a primeira bola G fosse sorteada, resultando em muitos vencedores. Cada pessoa levou para casa US$ 25.

Aqui está um artigo sobre isso: Bingo! Recorde é batido no Potawatomi para o número de vencedores em um único jogo.

Minha pergunta é: qual a probabilidade de fazer 43 ligações sem discar nenhum número de uma letra específica?

PlayYourCardsRight

Já estive em situações semelhantes, em que a maioria das pessoas estava à espera de uma determinada carta, mas o máximo de vencedores que já vi ao mesmo tempo foi cerca de 25.

Mostro que a probabilidade de ir a 44 chamadas e evitar qualquer letra (não apenas G) é de 1 em 1.517.276. Aqui está uma fórmula para essa probabilidade: 5*combin(60,44)/combin(75,44) - combin(5,2)*combin(45,44)/combin(75,44)

Como faço para converter as probabilidades em apostas esportivas entre as formas americana e europeia de expressá-las?

Teddys

Vamos considerar que "a" representa as probabilidades expressas à maneira americana e "e" à maneira europeia.

Para ir do estilo americano ao europeu:

Se a>0, então e=1+(a/100).
Se a<0, então e=(a-100)/a.

Para ir do estilo europeu ao americano:

Se e>=2, então a=100×(e-1).
Se e<2, então a=100/(1-e).