Pergunte ao Mago #321

A chave para problemas como este está na sua formulação. Recomendo tentar simplificar o problema ao máximo possível, reduzindo-o ao mínimo de incógnitas. Neste caso, podemos expressar as distâncias desconhecidas no quadrado em apenas três, da seguinte forma:

É mais fácil lidar com retângulos do que com triângulos. Dado que sabemos a área de três triângulos, podemos dobrar o tamanho e dobrar as áreas. Isso nos dá:

• ab=10
• ac=16
• (ab)(ac)=14

Vamos fatorar (ab)(ac):

^a² - ab - ac + bc = 14

a ² - 10 - 16 + bc = 14

(1) ^a² + bc = 40

Vamos expressar b e c em termos de a, para reduzir isso a uma única variável:

b = 10/a

c = 16/a

Substituindo esses valores para b e c na equação (1):

^a² + (10/a)*(16/a) = 40

^a² + 160/ ^a² = 18

Em seguida, vamos eliminar esse ² do denominador multiplicando tudo por ² .

^a⁴ + 160 = 40* ^a²

^a₄ - 40* ^a₂ + 160 = 0

Vamos definir uma nova variável y = a ²

^y² - 18y + 32 = 0

Em seguida, vamos resolver para y usando a fórmula quadrática:

y = (40 +/- sqrt(1600-640))/2

y = (40 +/- sqrt(960))/2

y = (40 +/- 8*sqrt(15))/2

y = 20 +/- 4*sqrt(15)

A área do quadrado inteiro é a ² , que convenientemente é igual a y. Da equação acima, se o +/- for negativo, então y = apx 4,5081, o que está obviamente errado, já que sabemos que a área é pelo menos 20, sem nem mesmo incluir x. Portanto, a área do quadrado deve ser 20 + 4*sqrt(15).

Os três triângulos que nos foram dados têm uma área de 5+7+8=20. Subtraindo isso da área total do quadrado, obtemos a área de x: 20 + 4*sqrt(15) - 20 = 4*sqrt(15) = aproximadamente 15,4919.

Essa questão é levantada e discutida no meu fórum no Wizard of Vegas .

Reparem na minha camiseta nesta foto. A caixa do cinema elogiou-a quando fui ver "Uncut Gems" . Agradeci-lhe torturando-a com este problema, só que com triângulos de áreas 2, 3 e 4. Depois do filme, fui ver como ela estava e ela ainda não tinha resolvido, mas parecia estar a tentar. Então, escrevi a seguinte solução para ela no bar Suncoast. Ela pareceu gostar bastante. Acho que essa jovem vai longe na vida.

Não vou entrar em detalhes matemáticos, mas aqui estão os pontos do jackpot onde a probabilidade de haver vários vencedores é a mesma que a de haver apenas um:

• PowerBall: US$ 975 milhões
• Mega Millions: US$ 1,65 bilhão

Embora você não tenha perguntado, aqui estão os prêmios principais onde a probabilidade de haver pelo menos um vencedor é igual à probabilidade de não haver nenhum (50%).

• PowerBall: US$ 704 milhões
• Mega Millions: US$ 867 milhões

Essa questão foi levantada e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

Essa questão é levantada e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

Uma resposta rápida é o valor da aposta máxima permitida. Basta esperar por um 22 e então jogar, resultando em sair da mesa com uma unidade extra.

Uma resposta mais rigorosa deveria levar em conta o custo de esperar por esse 22. Isso é algo que eu não sei exatamente, mas posso estimar.

O custo para o jogador da regra de empate do dealer no 22 é de 6,91%. No entanto, o dealer chegará a 22 mais vezes do que isso, porque o jogador não se importará se estourar primeiro. Dependendo das regras, o jogador estourará cerca de 15,7% das vezes. Se assumirmos que isso não está correlacionado com a probabilidade de o dealer estourar (o que não está), então a probabilidade de o dealer estourar é de 6,91%/(1,0-0,157) = 8,2%.

Sei que é uma estimativa aproximada, mas vamos assumir que a probabilidade do jogador tirar 22 seja a mesma. Sei que o dealer vai estourar mais vezes do que o jogador, mas este cupom também não conta após uma divisão, então vamos considerar que esses fatores se compensam. Portanto, se o jogador tirar 22 em 8,2% das mãos, ele tirará 22 uma vez a cada 1/0,082 = 12,2 mãos em média.

Digamos que a vantagem da casa no jogo base seja de 0,75%. O custo de jogar 12,2 mãos com essa vantagem da casa é 12,2 * 0,0075 = 0,0915. Portanto, subtraindo isso do valor unitário, obtemos um valor para o cupom de 1,0 - 0,0915, que corresponde a cerca de 91% do valor nominal.

Essa questão é levantada e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .