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Pergunte ao Mago #345

Se eu distribuísse 13 cartas de um baralho embaralhado (presumivelmente aleatório), quantas classificações diferentes eu esperaria ver?

Suited89

A resposta é 9,05037214885954 posições.

Este é um problema típico de Cadeia de Markov, se é que já houve algum.

A tabela a seguir mostra o número esperado de posições (de 0 a 4 cartas) para todos os números de cartas distribuídas, de 1 a 52.

Classificações esperadas pelas cartas distribuídas

Cartões 0 posições 1º lugar 2 patentes 3 níveis 4 níveis Esperado
Classificações
1 12.000000 1.000000 0,000000 0,000000 0,000000 1.000000
2 11.058824 1,882353 0,058824 0,000000 0,000000 1,941176
3 10,174118 2,654118 0,169412 0,002353 0,000000 2,825882
4 9,343577 3,322161 0,324994 0,009220 0,000048 3,656423
5 8,564946 3,893157 0,519088 0,022569 0,000240 4,435054
6 7,836014 4,373589 0,745498 0,044178 0,000720 5,163986
7 7,154622 4,769748 0,998319 0,075630 0,001681 5,845378
8 6,518655 5,087731 1,271933 0,118319 0,003361 6,481345
9 5,926050 5,333445 1,561008 0,173445 0,006050 7,073950
10 5,374790 5,512605 1,860504 0,242017 0,010084 7,625210
11 4,862905 5,630732 2,165666 0,324850 0,015846 8,137095
12 4,388475 5,693157 2,472029 0,422569 0,023770 8,611525
13 3,949628 5.705018 2,775414 0,535606 0,034334 9.050372
14 3,544538 5,671261 3,071933 0,664202 0,048067 9,455462
15 3,171429 5,596639 3,357983 0,808403 0,065546 9,828571
16 2,828571 5,485714 3,630252 0,968067 0,087395 10,171429
17 2,514286 5,342857 3,885714 1,142857 0,114286 10,485714
18 2,226939 5,172245 4,121633 1,332245 0,146939 10,773061
19 1,964946 4,977863 4,335558 1,535510 0,186122 11.035054
20 1,726771 4,763505 4,525330 1,751741 0,232653 11,273229
21 1,510924 4,532773 4,689076 1,979832 0,287395 11,489076
22 1,315966 4,289076 4,825210 2,218487 0,351261 11,684034
23 1.140504 4,035630 4,932437 2,466218 0,425210 11,859496
24 0,983193 3,775462 5,009748 2,721345 0,510252 12.016807
25 0,842737 3,511405 5,056423 2,981993 0,607443 12.157263
26 0,717887 3,246098 5.072029 3,246098 0,717887 12.282113
27 0,607443 2,981993 5,056423 3,511405 0,842737 12,392557
28 0,510252 2,721345 5,009748 3,775462 0,983193 12,489748
29 0,425210 2,466218 4,932437 4,035630 1.140504 12.574790
30 0,351261 2,218487 4,825210 4,289076 1,315966 12,648739
31 0,287395 1,979832 4,689076 4,532773 1,510924 12,712605
32 0,232653 1,751741 4,525330 4,763505 1,726771 12,767347
33 0,186122 1,535510 4,335558 4,977863 1,964946 12,813878
34 0,146939 1,332245 4,121633 5,172245 2,226939 12,853061
35 0,114286 1,142857 3,885714 5,342857 2,514286 12,885714
36 0,087395 0,968067 3,630252 5,485714 2,828571 12.912605
37 0,065546 0,808403 3,357983 5,596639 3,171429 12,934454
38 0,048067 0,664202 3,071933 5,671261 3,544538 12,951933
39 0,034334 0,535606 2,775414 5.705018 3,949628 12,965666
40 0,023770 0,422569 2,472029 5,693157 4,388475 12,976230
41 0,015846 0,324850 2,165666 5,630732 4,862905 12,984154
42 0,010084 0,242017 1,860504 5,512605 5,374790 12,989916
43 0,006050 0,173445 1,561008 5,333445 5,926050 12,993950
44 0,003361 0,118319 1,271933 5,087731 6,518655 12,996639
45 0,001681 0,075630 0,998319 4,769748 7,154622 12,998319
46 0,000720 0,044178 0,745498 4,373589 7,836014 12,999280
47 0,000240 0,022569 0,519088 3,893157 8,564946 12,999760
48 0,000048 0,009220 0,324994 3,322161 9,343577 12,999952
49 0,000000 0,002353 0,169412 2,654118 10,174118 13.000000
50 0,000000 0,000000 0,058824 1,882353 11.058824 13.000000
51 0,000000 0,000000 0,000000 1.000000 12.000000 13.000000
52 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 13.000000 13.000000

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

Em suas dicas de programação de vídeo pôquer , você explica que, embora existam 2.598.960 mãos iniciais possíveis no vídeo pôquer, com um baralho de 52 cartas, existem apenas 134.459 classes de mãos que precisam ser analisadas.

Minha pergunta é: quantas classes de cartas existem com dois a seis baralhos?

anônimo

Para esta questão, recorri ao meu estimado colega, Gary Koehler, especialista em matemática aplicada ao video poker. Aqui estão as respostas dele, de acordo com o número de baralhos:

Classes de mãos no vídeo pôquer

Baralhos Combinações Aulas
1 2.598.960 134.459
2 91.962.520 202.735
3 721.656.936 208.143
4 3.091.033.296 208.468
5 9.525.431.552 208.481
6 23.856.384.552 208.481

Cinco dados vermelhos e cinco dados azuis são lançados. Qual é a probabilidade de que o resultado do lançamento seja o mesmo para ambos os dados, independentemente da ordem? Por exemplo, se ambos os lançamentos forem 1-2-3-3-6.

anônimo

3.557 / 559.872 = 0,006353238, ou aproximadamente 1 / 157.

A tabela a seguir mostra os resultados para qualquer tipo de rolo:

  • O número de maneiras diferentes de se obter essa combinação. Por exemplo, para um full house, existem seis combinações para a trinca e cinco para o par, totalizando 30 full houses diferentes.
  • O número de pedidos. Por exemplo, para uma trinca, existem combin(5,3)=10 maneiras de escolher três dos cinco dados para a trinca. Os outros dois devem ter o par.
  • O número de maneiras de se obter uma determinada mão de cartas. Este é o produto das duas primeiras colunas. Por exemplo, existem 30 * 10 = 300 maneiras de se obter um full house.
  • A probabilidade da mão. Por exemplo, para um full house a probabilidade é 300/6 5 = 0,038580.
  • A probabilidade de ambos os lançamentos serem iguais e da mão dada. Esta é a probabilidade da quarta coluna ao quadrado dividida pela segunda coluna. Por exemplo, a probabilidade de dois lançamentos serem ambos um full house é 0,038580² . No entanto, a probabilidade de serem o mesmo full house é 1/30. Portanto, a probabilidade de ambos os lançamentos serem o mesmo full house é 0,038580² / 30 = 0,00004961.

A célula inferior direita mostra que a probabilidade total de ambos os lançamentos serem iguais é 0,00635324.

Rolo de correspondência

Tipo
de Roll		 Diferente
Tipos		 Pedidos Total
Combinações		 Probabilidade
Um rolo		 Probabilidade
Dois rolos
Cinco de um tipo 6 1 6 0,00077160 0,00000010
Quatro de um mesmo tipo 30 5 150 0,01929012 0,00001240
Casa cheia 30 10 300 0,03858025 0,00004961
Três de um tipo 60 20 1.200 0,15432099 0,00039692
Dois pares 60 30 1.800 0,23148148 0,00089306
Par 60 60 3.600 0,46296296 0,00357225
Cinco indivíduos isolados 6 120 720 0,09259259 0,00142890
Total 7.776 1.00000000 0,00635324