Pergunte ao Mago #346

Sim. Refere-se a uma mudança de estratégia para o segundo colocado caso ele tenha mais de 2/3 da pontuação do primeiro colocado.

Vamos simplificar a situação para um jogo de dois jogadores, da seguinte forma:

• Situação A: O segundo lugar tem menos da metade da pontuação do primeiro lugar.
• Situação B: O segundo jogador tem entre 1/2 e 2/3 do primeiro lugar.
• Situação C: O segundo lugar tem mais de 2/3 dos votos do primeiro lugar.

Antes de prosseguir, gostaria de relembrar ao leitor uma mudança nas regras do Jeopardy referente a empates após a rodada final. Não é mais automático que ambos os jogadores avancem, mas sim que haja uma pergunta de desempate de morte súbita. Veja um exemplo dessa situação .

Situação A

Seja A = $10.000 e B = $4.000

O jogador A não deve arriscar perder apostando no máximo A-2B-1. Se não se sentir confiante na categoria, pode apostar $0. De qualquer forma, garante a vitória. Nesse caso, A deve apostar entre $0 e $1.999.

O jogador B não tem esperança, a menos que A aposte demais e erre. Nesse caso, B deve considerar a pontuação do terceiro colocado e tentar ficar à frente dele, se possível, ganhando US$ 2.000 pelo segundo lugar, em vez de US$ 1.000 pelo terceiro.

Situação B

Sejam A = $10.000 e B = $6.000

A estratégia para A é esperar que B aposte tudo e apostar o suficiente para cobrir 2B se estiver correto. No entanto, para maior segurança, ele não deve apostar muito a ponto de ficar abaixo de B se estiver errado. Nesse caso, ele deve apostar pelo menos 2B-A+1 e AB-1. Assim, o intervalo de apostas é de $2.001 a $3.999.

A estratégia de B é conseguir pelo menos o suficiente para passar A, caso esteja correto, e aumentar sua pontuação total. Nesse caso, US$ 4.001 e US$ 6.000.

Se ambos os jogadores agirem como esperado e seguirem essa estratégia, a única maneira do jogador B vencer é se A estiver errado e B estiver certo. A probabilidade disso acontecer é de aproximadamente 19%.

Situação C

Aqui as coisas ficam mais complicadas e envolvem mais teoria dos jogos e aleatorização.

Sejam A = $10.000 e B = $7.000.

Antes de prosseguirmos, é importante estimar a probabilidade de a pergunta da rodada final ser respondida corretamente. Com base nas temporadas 30 a 34, o jogador que ficou em primeiro lugar acertou 52% das vezes e o segundo lugar, 46%. No entanto, essas probabilidades são positivamente correlacionadas. Aqui está uma análise das quatro possibilidades:

• Ambas corretas: 27%
• Primeiro lugar correto, segundo lugar incorreto: 25%
• Primeiro lugar incorreto, segundo lugar correto: 19%
• Ambas incorretas, com 29% de erros.

Apesar de os dois primeiros jogadores terem uma média de 49% no Jeopardy, a probabilidade de ambos acertarem ou ambos errarem é de 56%.

É claro que esses valores podem variar dependendo da categoria, mas vamos simplificar e usar as probabilidades acima.

Nessa situação, o jogador B não precisa depender de A estar errado e B estar certo. Ele pode apostar pouco, digamos, $0, garantindo uma vitória se A estiver errado. Em outras palavras, se A apostar o suficiente para cobrir B, caso esteja certo, ele correria o risco de ficar abaixo de B se estivesse errado e B apostasse $0.

No entanto, se A previsse que B apostaria baixo, digamos, $0, então A poderia garantir a vitória apostando também $0. Basicamente, ambos os jogadores têm uma escolha a fazer: apostar baixo ou alto. A deve querer apostar da mesma forma que B, e B deve querer apostar de forma oposta à de B. Se ambos os jogadores fossem lógicos perfeitos, suas decisões seriam aleatórias.

Nesse caso, uma aposta alta de A deveria ser de 2B-A+1 a AB-1, a mesma que na situação B. Nesse caso, $2.999 e $4.001. Uma aposta baixa de A deveria ser de $0.

Uma aposta alta de B deve ser a mesma que na situação B, apostar o suficiente para ultrapassar A se estiver correto. Neste caso, $3.001 e $7.000. Uma aposta baixa de B deve ser de $0.

Peço desculpas se eu pular a parte dos cálculos e for direto às estratégias de aleatorização para ambos os jogadores.

O jogador A deve escolher uma pontuação alta com 62,3% de probabilidade e uma pontuação baixa com 37,7% de probabilidade.

O jogador B deve ter uma probabilidade alta de 61,2% e uma probabilidade baixa de 38,8%.

Considerando que ambos os jogadores sigam essa estratégia de aleatorização e que as probabilidades de acerto sejam as indicadas acima, a probabilidade de o jogador A vencer é de 65,2%.

Se o jogador A tivesse mais de 2/3 da pontuação do jogador B, sua probabilidade de vencer aumentaria para 81,0%.

Ambos os jogadores devem ter em mente a importância da regra 2/3 ao apostar no Double Jeopardy.

Para esta questão, recorri ao meu estimado colega, Gary Koehler, que é especialista em matemática de video poker. A resposta dele é 15.019.680.

Para responder a esta pergunta como eu fiz, usando cálculo, recomendo uma calculadora de integrais como a do site integral-calculator.com/ .

Aqui está minha solução (PDF).

Este problema é apresentado (com palavras ligeiramente diferentes) e discutido no meu fórum no Wizard of Vegas .