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Pergunte ao Mago #389

No jogo Cash 5 da Loteria do Texas , o jogador escolhe 5 números de 1 a 37. O estado faz o mesmo por meio de um sorteio aleatório. Se dois ou mais números coincidirem, o jogador ganha. Qual é o número mínimo de bilhetes que você precisa comprar, escolhendo seus próprios números, para garantir uma vitória?

anônimo

A resposta é 22. Abaixo está uma das muitas maneiras de garantir um vencedor com 22 bilhetes.

  • 1,2,3,4,5
  • 5,6,7,8,9
  • 1,2,3,8,9
  • 4,6,7,8,9
  • 1,2,3,6,8
  • 10,11,12,13,14
  • 14,15,16,17,18
  • 10,11,12,17,18
  • 13,15,16,17,18
  • 10,11,12,15,17
  • 19,20,21,22,23
  • 23,24,25,26,27
  • 19,20,21,26,27
  • 22,24,25,26,27
  • 19,20,21,24,26
  • 28,29,30,31,32
  • 33,34,35,36,37
  • 28,30,32,34,36
  • 29,31,33,35,37
  • 28,30,33,35,37
  • 29,31,34,36,x
  • 32,33,35,37,x

Nota: x = Qualquer número

Aqui está minha solução (PDF).

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

Qual a probabilidade de perder 25 apostas na linha de passe em 25 tentativas no craps? Você pode ignorar as apostas que se resolvem na primeira rodada (come out roll).

Jeff

Supondo que se queira expressar uma ideia, aqui estão algumas maneiras de fazê-lo:

  • Ponto de 4: 1-3, 3-1, 2-2 = 3 maneiras
  • Ponto de 5: 1-4, 4-1, 2-3, 3-2 = 4 maneiras
  • Ponto de 6: 1-5, 5-1, 2-4, 4-2, 3-3 = 5 maneiras
  • Ponto de 8: 2-6, 6-2, 3-5, 5-3, 4-4 = 5 maneiras
  • Ponto de 9: 3-6, 6-3, 4-5, 5-4 = 4 maneiras
  • Ponto de 10: 4-6, 6-4, 5-5 = 3 maneiras

O número total de maneiras é 24.

A probabilidade de não acertar um ponto de 4 ou 10 é 6/9 = 2/3. A probabilidade de não acertar um ponto de 5 ou 9 é 6/10 = 3/5. A probabilidade de não acertar um ponto de 6 ou 8 é 6/11.

A probabilidade geral de derrota, assumindo que um ponto foi estabelecido, é, portanto:

Prob(Ponto é 4) × Prob(Rolar 7 antes de 4) + Prob(Ponto é 5) × Prob(Rolar 7 antes de 5) + Prob(Ponto é 6) × Prob(Rolar 7 antes de 6) + Prob(Ponto é 8) × Prob(Rolar 7 antes de 8) + Prob(Ponto é 9) × Prob(Rolar 7 antes de 9) + Prob(Ponto é 10) × Prob(Rolar 7 antes de 10)

= (3/24) × (2/3) + (4/24) × (3/5) + (5/24) × (6/11) + (5/24) × (6/11) + (4/24) × (3/5) + (3/24) × (2/3) = 98/165 =~ 0,593939394.

A probabilidade de perder desta forma 25 vezes seguidas é (98/165) 25 ≈ 0,000002205735 ≈ 1 em 453.364.

Qual é o planeta mais próximo da Terra, em média?

anônimo

Notei o uso da expressão "em média" na sua pergunta. Se você tivesse perguntado qual planeta se aproxima mais da Terra durante sua passagem, conhecida como "aproximação", a resposta seria Vênus. No entanto, "em média" inclui todos os pontos nas órbitas de ambos os planetas, inclusive quando eles estão em lados opostos do Sol.

Para responder à sua pergunta, vou assumir que todos os planetas estão no mesmo plano e se movem em órbitas circulares. Embora nenhuma dessas hipóteses seja exatamente verdadeira, a resposta é tão esmagadoramente favorável a Mercúrio que quaisquer erros decorrentes dessas suposições seriam insignificantes em comparação.

A tabela a seguir mostra a distância de cada planeta ao Sol, bem como a distância mais próxima, a mais distante e a distância média em relação à Terra. Todas as distâncias estão em Unidades Astronômicas (UA), que representam a distância da Terra ao Sol. Como você pode ver, Mercúrio tem a menor distância média, com 1,038401 UA.

Planeta mais próximo

Planeta Distância
do Sol		 Closest
Distância
da Terra		 Mais distante
Distância
da Terra		 Média
Distância
da Terra
Mercúrio 0,39 0,61 1,39 1.038401
Vênus 0,72 0,28 1,72 1,134494
Marte 1,52 0,52 2,52 1,689509
Júpiter 5.2 4.2 6.2 5,248189
Saturno 9,54 8,54 10,54 9,566223
Urano 19.2 18.2 20.2 19.213023
Netuno 30.06 29.06 31.06 30,068317

Fonte para as distâncias do Sol: NASA .

As médias acima foram obtidas calculando a média da distância ao longo dos 360 graus diferentes que o outro planeta poderia ter ao redor do Sol e assumindo uma localização fixa para a Terra.

Para mais informações, recomendo o artigo "Venus is not Earth's closest neighbor" da Physics Today.

Em Ultimate Texas Hold 'Em, se o jogador fizer a aposta Trips e depois desistir de uma trinca ou melhor, a aposta Trips ainda será vencedora?

anônimo

Sim!

A aposta Trips deve ser válida, mesmo que o dealer desista. Sei que alguns dealers e funcionários do cassino acreditam erroneamente que uma aposta Play é necessária para que a Trips seja válida, mas estão enganados.

Fontes: