Pergunte ao Mago #406

Para benefício de outros leitores, Crash é um jogo popular em cassinos online, especialmente aqueles que utilizam criptomoedas. A ideia é a seguinte: o jogador faz uma aposta e, em seguida, um avião ou foguete decola do solo. A cada fração de segundo, a altitude aumenta em uma pequena porcentagem. O jogador pode ejetar a qualquer momento e ganhará de acordo com a altitude do objeto. No entanto, a cada fração de segundo que o objeto sobe, ele também pode cair. Se o objeto cair antes que o jogador ejete, ele perde.

Dito isso, a altitude média atingida, assumindo que não há borda da casa, é 1/ln(2) =~ 1,442695041.

Para benefício dos demais leitores, seguem as cartas que podem ser usadas em ambos os jogos.

• Texas Hold'em -- O jogador pode formar a melhor mão de pôquer possível, composta por duas cartas fechadas e cinco cartas comunitárias. O jogador pode usar quaisquer cinco dessas sete cartas.
• Omaha -- O jogador deve utilizar exatamente duas das quatro cartas fechadas e exatamente três das cinco cartas comunitárias.

Utilizando fórmulas do Excel, aqui está a probabilidade em cada jogo.

• Texas Hold 'Em - 4 * COMBIN (47,2) / COMBIN (52,7) = ~ 1 em 30.940
• Omaha - 4*COMBIN(5,2)*COMBIN(47,2)*COMBIN(45,2)/(COMBIN(52,4)*COMBIN(48,5)) =~ 1 em 10.829

Para benefício dos demais leitores, aqui estão as regras.

1. O jogador deverá responder a 13 perguntas de verdadeiro ou falso.
2. Em seguida, o jogador deverá escolher um intervalo de quantas respostas ele acha que acertou. Se estiver dentro desse intervalo, ele ganhará de acordo com a tabela abaixo.
3. Há também um bônus de US$ 25.000 se o jogador acertar exatamente quantas respostas recebeu.
4. O apresentador, Shaq, pode oferecer um valor de desistência a qualquer momento.

Fonte da foto: ABC Press

A tabela a seguir mostra a estratégia para maximizar o valor esperado. Por exemplo, se o jogador acha que acertará 9,5, ele deve escolher o intervalo de 10 a 12. Embora 9,5 não esteja nesse intervalo, o valor esperado é maior do que no intervalo de 7 a 9, porque o ganho é 4 vezes maior.

Quanto às ofertas de desistência, todas as vezes que assisti ao programa, as ofertas foram muito mesquinhas, cerca de metade do valor esperado. Recomendo simplesmente dizer "não" ao Shaq.

Em seu vídeo, Matt valida um elemento dessa questão, conforme levantado no artigo "O Paradoxo do Bingo" de Arthur Benjamin, Joseph Kisenwether e Ben Weiss.

Considerando um jogo simplificado sem quadrado livre e sem vitórias diagonais, ambos defendem que se as bolas forem retiradas até que (1) haja pelo menos uma bola em cada coluna ou (2) haja cinco bolas em uma coluna, as seguintes são as probabilidades de qual acontecerá primeiro.

• Pelo menos uma bola em cada coluna (possível bingo horizontal) = 0,751779.
• Cinco bolas sorteadas em qualquer coluna (possível bingo vertical) = 0,248221.

Fiz todos os cálculos e concordo com isso. No entanto, só porque é possível fazer bingo, não significa que ele será sorteado na maioria das partidas.

Antes de prosseguir, é importante ressaltar que, com apenas uma cartela de bingo, a probabilidade de o primeiro bingo ser horizontal ou vertical é exatamente de 50/50.

No entanto, isso não acontece quando se tem um número finito de cartas e apenas as cartas vencedoras contam.

Para efeitos da minha análise, assumi que cada cartela de bingo possível estava em jogo exatamente uma vez. Isso resulta num total de 6.076.911.214.672.420.000.000.000.000 cartelas.

Se várias cartelas formassem um bingo ao mesmo tempo, cada vitória era contabilizada igualmente.

Supondo que um bingo vertical fosse possível primeiro, mostro que a probabilidade de qualquer cartela ganhar é de 1 em 3003 = ~ 0,000333. Supondo que um bingo horizontal fosse possível primeiro, mostro que a probabilidade de qualquer cartela ganhar é de 1 em 8294 = ~ 0,000121.

A tabela a seguir reúne o primeiro tipo possível de bingo e a probabilidade de qualquer cartela formar um bingo. A coluna da direita mostra que a probabilidade de um bingo ser horizontal é de 52,3%, dado que um bingo foi anunciado.

Sei que meus 52,3% diferem da proporção de 2 para 1 citada no artigo, mas isso se baseia em uma simulação de um jogo com 1.000 cartas e não sei como eles contabilizam vários bingos simultaneamente.

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .