Keno - Perguntas frequentes

A probabilidade de n números serem sorteados nos primeiros 40, nos últimos 40 ou em qualquer conjunto de 40 é combin(40,n)*combin(40,20-n)/combin(80,20). Portanto, a probabilidade de haver exatamente 10 números nos primeiros 40 (e 10 nos últimos 40) é combin(40,10)*combin(40,10)/combin(80,20) = 0,203243. A probabilidade de uma metade ter mais números do que a outra é 1 - 0,203243 = 0,796757. A probabilidade de uma metade específica ter mais números é metade desse número, ou 0,398378. Se essa aposta pagasse o mesmo valor apostado, a vantagem da casa seria de 20,32%. Se a aposta pagasse 3 para 1, a vantagem da casa seria de 18,70%. Se pagasse 4 para 1, o jogador teria uma vantagem de 1,62%. Em relação ao blackjack online com expectativa positiva, quanto mais o jogador joga, maior a probabilidade de lucro líquido. O melhor jogo atualmente é o de baralho único da Unified Gaming, com uma vantagem para o jogador de 0,16%. Se o jogador fizer uma aposta fixa em um milhão de mãos, a probabilidade de perder ainda será de cerca de 8,6%. No jogo para um jogador da Boss Media, com uma vantagem para o jogador de 0,07%, a probabilidade de perda após um milhão de mãos é de cerca de 27,5%.

Não faz diferença nenhuma.

Duvido que certos números sejam mais prováveis que outros. Meu conselho é escolher qualquer um, não faz diferença.

Seu retorno esperado total é o mesmo, independentemente de quantas partidas você jogue. É claro que a probabilidade de acertar um determinado número aumenta quanto mais máquinas você jogar, mas se todas errarem, você perde mais dinheiro.

O pôquer pai gow é o menos volátil e, em média, o keno é o mais volátil.

Em Nevada, e creio que em outros grandes mercados de jogos de azar nos Estados Unidos, as bolas são realmente aleatórias e o resultado é determinado por elas. No entanto, nas máquinas caça-níqueis de classe II, encontradas às vezes em cassinos indígenas, tudo é possível.

A probabilidade de vitória na aposta do empate é combin(40,10)*combin(40,10)/combin(80,20) = 0,203243. Pagando 3 para 1, a vantagem da casa é de 18,703%. A probabilidade de vitória na aposta de cara (ou coroa) é (1-0,20343)/2 = 0,398378. Pagando o mesmo valor apostado, a vantagem da casa é de 20,324%.

Elogios te levarão longe. O número de combinações para n caras é combin (40, n) * combin(40, 20 - n). Este é o número de maneiras de escolher n números dentre os 40 primeiros e 20 - n dentre os 40 últimos. A tabela a seguir mostra a probabilidade de 0 a 20 caras.



Isso mostra que a probabilidade de sair de 11 a 20 caras é de 39,84%, o que corresponde a uma vantagem da casa de 20,32%. A probabilidade de sair exatamente 10 caras é de 20,32%, o que corresponde a uma vantagem da casa de 18,70%.

A probabilidade de acertar todos os 20 números é 1 em combin(80,20) = 3.535.316.142.212.180.000. Portanto, as chances são mais próximas de 3,5 quintilhões para um. Supondo que haja 5 bilhões de pessoas na Terra, e que todas jogassem uma vez por semana, haveria um vencedor a cada 13,56 milhões de anos, em média. A maioria dos cassinos paga o mesmo valor para quem acerta perto de 20 números. Por exemplo, o Las Vegas Hilton paga US$ 20.000 para quem acerta 17 ou mais dos 20 números. Nunca ouvi falar de alguém que tenha acertado 20 dos 20 números e duvido muito que isso já tenha acontecido.

Discordo. Não consigo pensar em um único cassino importante da Strip sem um salão de keno. Em geral, os únicos cassinos sem keno são os cassinos locais nos subúrbios de Las Vegas, porque a maioria de nós, moradores locais, sabe que keno é um jogo para trouxas.

P.S.: Mais tarde, um leitor me escreveu para corrigir a informação, afirmando que o cassino New York New York em Las Vegas removeu seu salão de keno.

Espero que esteja satisfeito, passei o dia todo nisso. Depois de escrever e executar uma simulação, descobri que a probabilidade de quaisquer 3 linhas conterem 11 ou mais marcas é de 86,96%! Isso nem sequer dá ao outro lado uma chance de competir. Você pode chegar a 12 marcas e ainda ter uma probabilidade de 53,68% de ganhar, ou uma vantagem de 7,36%. No entanto, acho que você está do lado errado da aposta em linhas vazias. A probabilidade de haver pelo menos uma linha vazia é de apenas 33,39%, melhor apostar no lado oposto, que não há linhas vazias. Enquanto estava nisso, calculei várias outras probabilidades e as coloquei em uma nova página de apostas especiais de keno . Aqui está uma lista dessa página com essas e outras boas apostas com odds iguais. O lado favorável está listado.

Assim como no keno ao vivo, as probabilidades são as mesmas independentemente da sua escolha, mas são independentes das bolas sorteadas no jogo.

Esse é, na verdade, um problema bem difícil. É fácil calcular a probabilidade de quantas vezes qualquer uma das quatro bolas for sorteada, incluindo repetições. A parte complicada é determinar a probabilidade de que x bolas distintas sejam escolhidas, dado que qualquer bola foi escolhida y vezes. Eu indico a resposta e a solução na minha página do MathProblems.info , problema 205.

1/2.

Se usássemos o jogo de keno como comparação, cada pessoa teria 40 genes, cada um representado por uma bola de keno. No entanto, cada bola teria um número único. Quando duas pessoas, que não são parentes, se acasalam, é como combinar 80 bolas entre as duas em uma caçamba e escolher aleatoriamente 40 genes para a prole desse acasalamento.

Então, quando você foi concebido(a), metade das bolas que estavam no pote foram suas, e a outra metade foi descartada. Quando seu irmão ou irmã foi concebido(a), ele/ela recebeu metade das bolas sorteadas quando você nasceu e metade das bolas que não foram sorteadas. Portanto, vocês são 50% geneticamente idênticos. Isso ocorre pelo mesmo motivo que, se 40 números fossem sorteados no keno, dois sorteios consecutivos teriam, em média, 20 bolas em comum.

Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .

Lembrando aos nossos leitores, o Cleopatra Keno funciona como o keno tradicional, com a diferença de que, se a última bola sorteada corresponder a uma das escolhas do jogador E resultar em uma vitória, o jogador também ganhará 12 rodadas grátis com um multiplicador de 2x. Rodadas grátis não geram mais rodadas grátis.

Você não especificou o número de escolhas nem a tabela de pagamento, então vamos usar a tabela de pagamento 3-10-56-180-1000 pick-8 como exemplo. Primeiro, vamos calcular o retorno.

O número de maneiras de pegar x bolas de y no keno é igual ao número de maneiras de escolher x bolas de 20 e yx de 60. Isso é igual a combin(20,x)*combin(60,yx), para usar uma analogia do Excel. Lembrando que combin(x,y) = x!/(y!*(xy)!). Portanto, x! = 1*2*3*...*x.

Feita essa revisão, aqui está a tabela de retorno para essa tabela de pagamentos. A coluna da direita mostra o quadrado esperado do ganho, que precisaremos mais tarde.

Em seguida, vamos calcular o bônus médio. Podemos ver na tabela acima que o ganho médio, sem contar o bônus, é de 0,593301. No bônus, o jogador recebe 12 rodadas grátis dobradas. Assim, o ganho esperado do bônus é de 2 × 12 × 0,593301 = 14,239212.

Em seguida, vamos calcular a probabilidade de ganhar o bônus. Se o jogador acertar quatro números, a probabilidade de a 20ª bola ser um desses quatro é 4/20. Em geral, se o jogador acertar c números, a probabilidade de a 20ª bola ter contribuído para a vitória é c/20.

A fórmula para ganhar o bônus é prob(catch 4)*(4/20) + prob(catch 5)*(5/20) + prob(catch 6)*(6/20) + prob(catch 7)*(7/20) + prob(catch 8)*(8/20). Sabemos a probabilidade de qualquer vitória a partir da tabela de retornos acima. Portanto, a probabilidade de ganhar o bônus é:

0,081504*(4/20) + 0,018303*(5/20) + 0,002367*(6/20) + 0,000160*(7/20) + 0,000004*(8/20) = 0,021644.

Com a probabilidade de ganhar o bônus e o ganho médio do bônus, podemos calcular o retorno do bônus como 0,021644 × 14,239212 = 0,308198.

Não que precisemos saber, mas o retorno total do jogo é o retorno do jogo base mais o retorno do bônus, que é igual a 0,593301 + 0,308198 = 0,901498.

Agora, vamos começar a analisar a variância propriamente dita. Lembrando que uma fórmula geral para calcular a variância é:

var(x + y) = var(x) + var(y) + 2*cov(x,y), onde var representa a variância e cov representa a covariância. No caso deste jogo:

Variância total = var(jogo base) + var(bônus) + 2*cov(jogo base e bônus).

A fórmula fundamental para a variância é E(x^2) - [E(x)]^2. Em outras palavras, o quadrado esperado do ganho menos o quadrado do ganho esperado.

Dito isso, vamos começar com a variância do jogo base. Lembra quando eu disse antes que precisaríamos do quadrado da vitória esperada da primeira tabela? A célula inferior direita dessa primeira tabela nos mostra que o quadrado da vitória esperada é 19,530214. Já sabemos que a vitória esperada é 0,593301. Portanto, a variância do jogo base é 19,530214 - ^0,593301² = 19,178208.

Em seguida, vamos calcular a variância do bônus (assumindo que ele já foi atingido). Para isso, lembre-se de que:

var(ax) = a ² x, onde a é uma constante.

Lembre-se também que a variância de n variáveis aleatórias x é nx.

Dito isso, se x for o ganho base em um jogo bônus, então a variância de todo o bônus é ^2² × 12 × x. Sabemos acima que a variância de uma única rodada no jogo base, sem contar o bônus, é igual a 19,178208. Portanto, a variância do bônus, dado que um bônus já foi atingido, é ^2² × 12 × 19,178208 = 920,554000.

No entanto, o que precisamos saber é a variância do bônus antes do primeiro sorteio, incluindo a possibilidade de o bônus não ser ganho. Não, não podemos simplesmente multiplicar a variância do bônus pela probabilidade de ganhá-lo. Em vez disso, lembre-se de que var(x) = E(x^2) - [E(x)]^2. Vamos reorganizar isso para:

E(x^2) = var(x) + [E(x)]^2

Conhecemos a média e a variância do bônus, então o ganho esperado ao quadrado no bônus é 920,554000 + 19,178208 ² = 1123,309169.

Portanto, o quadrado esperado do ganho do bônus, antes do primeiro sorteio da bola, é prob(bônus) × E(x^2) = 0,021644 × 1123,309169 = 24,313239.

Já calculamos que o ganho esperado do bônus, antes da primeira bola, é de 0,308198. Portanto, a variância total do bônus, antes da primeira bola, é de 24,313239 - 0,308198 ² = 24,218253.

O próximo passo é calcular a covariância. "Por que existe uma correlação entre o ganho base e o ganho bônus?", você pode perguntar. Isso ocorre porque a última bola sorteada precisa contribuir para uma vitória para que o bônus seja ativado. Dado que a última bola contribuiu para uma vitória, o ganho médio aumenta. Lembrando que a fórmula de Bayes para probabilidade condicional diz:

P(A dado B) = P(A e B)/P(B).

Vamos então refazer nossa tabela de retorno para o jogo base, considerando que a última bola foi um acerto:

A célula inferior direita mostra que, supondo que a última bola tenha sido um acerto, a média de vitórias é de 6,757734.

Em seguida, lembre-se das suas aulas de estatística da faculdade:

cov(x,y) = exp(xy) - exp(x)*exp(y) .

No nosso caso, seja x = vitória no jogo base e y = vitória no bônus. Vamos trabalhar primeiro com exp(xy).

Exp(xy) = prob(bônus ganho)*(ganho médio no jogo base dado bônus ganho)*média(ganho com bônus) + prob(bônus não ganho)*(ganho médio no jogo base dado bônus não ganho)*média(ganho com bônus dado bônus não ganho). É fácil dizer que média(ganho com bônus dado bônus não ganho) = 0, então podemos reescrever como:

Exp(xy) = prob(ganho de bônus)*(ganho médio no jogo base dado ganho de bônus)*média(ganho de bônus) =

0,021644 × 6,757734 × 14,239212 = 2,082719.

Já resolvemos para E(x) e E(y), então a covariância é:

cov(x,y) = exp(xy) - exp(x)*exp(y) = 2,082719 - 0,593301 × 0,308198 = 1,899865.

Vamos retornar à equação geral da variância quando a covariância está envolvida:

Variância total = var(jogo base) + var(bônus) + 2*cov(jogo base e bônus) = 19,178208 + 24,218253 + 2×1,899865 = 47,196191. O desvio padrão é a raiz quadrada disso, que é 6,869948.

Então, aqui está. Essa me levou horas, então espero que você esteja feliz.

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

Após algumas pesquisas, descobri que isso não é uma aposta paralela, mas sim o valor pago pelo bilhete Pick 20 caso o resultado seja zero. A seguir, apresento minha análise completa do bilhete Pick 20 da Station Casinos.

A célula inferior direita mostra que o retorno total do bilhete é de 69,70%, o que é típico para o keno ao vivo.

Para responder à pergunta sobre pegar o 0, a coluna de probabilidade mostra que a probabilidade disso é de 0,001186 e, com uma aposta de 200 para 1, o retorno é de 23,71%.

A tabela a seguir mostra o número de combinações, a probabilidade e a contribuição para a bola mais baixa (produto da bola e da probabilidade). A célula inferior direita mostra que a bola mais baixa esperada é 9,1818182.

Existe uma maneira mais fácil de resolver problemas como este, onde a bola de menor valor é 1. A fórmula para a bola de menor valor é (m+1)/(b+1), onde m é o valor máximo da bola e b é o número de bolas. Neste caso, m=100 e n=10, então a bola de menor valor é 101/11 = 9,181818.

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .