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Probabilidade - Perguntas frequentes
Acho que me lembro de ter lido que, se houver um grupo de vinte pessoas em uma sala, a probabilidade de duas delas fazerem aniversário no mesmo dia é menor que 50%. Isso é verdade?
A probabilidade de 20 pessoas diferentes terem aniversários diferentes (ignorando o dia bissexto) é (364/365)*(363/365)*(362/365)*...*(346/365) = 58,8562%. Portanto, a probabilidade de haver pelo menos uma coincidência de aniversário é de 41,1438%. Além disso, 23 é o número mínimo de pessoas necessário para que a probabilidade de uma coincidência seja maior que 50%.
Se você tem 30 pessoas, todas nascidas no mesmo ano civil de 365 dias, qual é a probabilidade de que duas delas façam aniversário no mesmo dia? Por favor, explique a fórmula em sua resposta.
Imagine 30 pessoas enfileiradas. A probabilidade de a segunda pessoa não ser compatível com a primeira é de 364/365. Supondo que não haja compatibilidade, a probabilidade de a próxima pessoa não ser compatível com nenhuma das duas primeiras é de 363/365. Continue assim, uma pessoa de cada vez. A probabilidade total de não haver compatibilidade entre duas pessoas é (364/365)*(363/365)*...*(346/365) = 29,3684%. Frequentemente se pergunta qual o número mínimo de pessoas necessário para que a probabilidade de haver pelo menos uma correspondência seja de 50%. A resposta é que, com 23 pessoas, a probabilidade de haver pelo menos uma correspondência é de 50,7297%.
Há uma prova com 75 questões de múltipla escolha. Cada questão contém 4 alternativas, sendo apenas 1 correta. A nota mínima para aprovação é 50%. Qual a probabilidade de ser aprovado na prova chutando todas as respostas?
1 em 635.241.
A expectativa de vida para pessoas de várias idades foi calculada e resumida com dados disponíveis no site da Previdência Social . No entanto, eu gostaria de saber a expectativa de vida de duas pessoas. Digamos que eu tenha duas pessoas: um homem de 30 anos (eu) e uma mulher de 28 anos (minha namorada). De acordo com a tabela, eu viverei mais 46,89 anos e ela mais 53,22 anos. Mas, quanto tempo se espera que vivamos até falecermos? Como posso calcular isso?
Primeiramente, seria mais apropriado usar tabelas de mortalidade por coorte, em vez da tabela de mortalidade por período que você mencionou. Tentei encontrar tabelas de mortalidade por coorte online, mas não consegui. No entanto, ainda podemos usar a tabela fornecida. Ela pode subestimar ligeiramente a sua expectativa de vida, pois não leva em consideração os futuros aumentos na expectativa de vida.
Responder à sua pergunta envolveu a criação de uma grande matriz com a probabilidade de cada combinação de ano de falecimento para você e para a mulher de 28 anos. Peço desculpas se não entrar em detalhes. Em resumo, mostrei que o primeiro de vocês falecerá em 41,8 anos, e o segundo, em 57,3 anos. Ambos os valores são arredondados para baixo; em outras palavras, você não recebe crédito por anos fracionários.
Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .
O que é i^i?
Não quero simplesmente lhe dar a resposta sem lhe dar a oportunidade de resolvê-la por si mesmo.
Primeiro, aqui vai uma dica para ajudar. Se você ainda não conhece essa equação, é improvável que consiga resolvê-la.
Caso contrário, admito que sou ruim nisso. Apenas me mostre a solução.
Para discutir a equação na dica, visite meu fórum no Wizard of Vegas .
Primeiro, aqui vai uma dica para ajudar. Se você ainda não conhece essa equação, é improvável que consiga resolvê-la.
Caso contrário, admito que sou ruim nisso. Apenas me mostre a solução.
Para discutir a equação na dica, visite meu fórum no Wizard of Vegas .
Ouvi dizer que houve uma mulher no Reino Unido que deu à luz seu primeiro e segundo filhos exatamente nas mesmas datas que o Príncipe George e a Princesa Kate. Qual a probabilidade disso?
Para responder a esta pergunta, terei que fazer algumas suposições aproximadas.
Recapitulando, o Príncipe George nasceu em 22 de julho de 2013 e a Princesa Charlotte em 2 de maio de 2015. Isso representa uma diferença de 649 dias. Considerando uma gestação de nove meses, o intervalo entre o nascimento de George e a concepção de Charlotte é de 379 dias.
Baseando-me apenas em observações pessoais, vamos assumir que o intervalo médio entre irmãos seja de três anos. Isso significaria 825 dias entre o nascimento e a concepção do próximo filho. Usando a distribuição exponencial, encontro que a probabilidade de uma diferença de exatamente 379 dias é de 0,0442%.
Em seguida, vamos supor que qualquer mulher entre 20 e 39 anos seja uma candidata em potencial. De acordo com a Wikipédia , a população do Reino Unido nessa faixa etária é de 16.924.000. Dividindo esse número por dois, excluindo os homens, chegamos a 8.462.000 mulheres em idade fértil no Reino Unido.
A taxa de fertilidade no Reino Unido, que é o número médio de filhos nascidos de cada mulher em idade fértil, é de 1,92. Usando a distribuição de Poisson, encontrei que a probabilidade de ter dois ou mais filhos é de 69,83%. Portanto, o número de mulheres no Reino Unido em idade fértil que terão dois ou mais filhos é de 8.462.000 × 69,83% = 5.909.015.
Como as mulheres geralmente têm filhos mais perto dos 20 anos do que dos 40, digamos aproximadamente que a idade da mãe na época do primeiro filho estará distribuída uniformemente entre as idades de 20 e 37 anos. Portanto, o número de mulheres que terão seu primeiro filho no Reino Unido exatamente no aniversário do Príncipe George é 5.909.015/(17×365) = 952,32.
Já estabelecemos que a probabilidade de uma diferença exata de idade entre o primeiro e o segundo filho de 379 dias é de 0,0442%. Assim, o número esperado de mulheres que tiveram seu segundo filho exatamente no mesmo dia em que a Princesa Charlotte nasceu, e que já haviam tido seu primeiro filho exatamente no mesmo dia em que o Príncipe George nasceu, é 952,32 × 0,000442 = 0,421.
Utilizando a distribuição exponencial, com uma média de 0,421, a probabilidade de pelo menos uma mulher ter seu primeiro e segundo filhos exatamente no mesmo dia em que o Príncipe George e a Princesa Charlotte nasceram é de 34,36%.
Aliás, descobri que a probabilidade de o mesmo acontecer nos Estados Unidos é de 86,32%.
Recapitulando, o Príncipe George nasceu em 22 de julho de 2013 e a Princesa Charlotte em 2 de maio de 2015. Isso representa uma diferença de 649 dias. Considerando uma gestação de nove meses, o intervalo entre o nascimento de George e a concepção de Charlotte é de 379 dias.
Baseando-me apenas em observações pessoais, vamos assumir que o intervalo médio entre irmãos seja de três anos. Isso significaria 825 dias entre o nascimento e a concepção do próximo filho. Usando a distribuição exponencial, encontro que a probabilidade de uma diferença de exatamente 379 dias é de 0,0442%.
Em seguida, vamos supor que qualquer mulher entre 20 e 39 anos seja uma candidata em potencial. De acordo com a Wikipédia , a população do Reino Unido nessa faixa etária é de 16.924.000. Dividindo esse número por dois, excluindo os homens, chegamos a 8.462.000 mulheres em idade fértil no Reino Unido.
A taxa de fertilidade no Reino Unido, que é o número médio de filhos nascidos de cada mulher em idade fértil, é de 1,92. Usando a distribuição de Poisson, encontrei que a probabilidade de ter dois ou mais filhos é de 69,83%. Portanto, o número de mulheres no Reino Unido em idade fértil que terão dois ou mais filhos é de 8.462.000 × 69,83% = 5.909.015.
Como as mulheres geralmente têm filhos mais perto dos 20 anos do que dos 40, digamos aproximadamente que a idade da mãe na época do primeiro filho estará distribuída uniformemente entre as idades de 20 e 37 anos. Portanto, o número de mulheres que terão seu primeiro filho no Reino Unido exatamente no aniversário do Príncipe George é 5.909.015/(17×365) = 952,32.
Já estabelecemos que a probabilidade de uma diferença exata de idade entre o primeiro e o segundo filho de 379 dias é de 0,0442%. Assim, o número esperado de mulheres que tiveram seu segundo filho exatamente no mesmo dia em que a Princesa Charlotte nasceu, e que já haviam tido seu primeiro filho exatamente no mesmo dia em que o Príncipe George nasceu, é 952,32 × 0,000442 = 0,421.
Utilizando a distribuição exponencial, com uma média de 0,421, a probabilidade de pelo menos uma mulher ter seu primeiro e segundo filhos exatamente no mesmo dia em que o Príncipe George e a Princesa Charlotte nasceram é de 34,36%.
Aliás, descobri que a probabilidade de o mesmo acontecer nos Estados Unidos é de 86,32%.
Qual é o número médio de amostras necessárias de uma distribuição uniforme de 0 a 1 para que a soma seja igual a 1?
Qual é o número esperado de números aleatórios extraídos de uma distribuição uniforme entre 0 e 1 para que a soma seja maior que 1?
Resposta: Solução:
e=2,718281828...
Aqui está a solução .
Dois jogadores, Sam e Dan, possuem cinco moedas cada. Ambos devem escolher entre colocar de uma a cinco moedas em suas mãos. Ao mesmo tempo, cada um deve revelar o número de moedas jogadas. Se ambos escolherem o mesmo número de moedas, Sam ganhará e coletará todas as moedas jogadas. Se ambos escolherem números diferentes de moedas, Dan coletará todas as moedas jogadas. Supondo que ambos os jogadores sejam lógicos perfeitos, qual é a estratégia ótima para Dan?
Dan deve randomizar sua estratégia da seguinte forma:
- Probabilidade de escolher uma moeda = 77/548.
- Probabilidade de escolher uma moeda = 107/548.
- Probabilidade de escolher uma moeda = 117/548.
- Probabilidade de escolher uma moeda = 122/548.
- Probabilidade de escolher uma moeda = 125/548.
Com essa estratégia, Dan pode esperar ganhar 3,640510949 moedas a cada rodada, independentemente de quantas moedas Sam escolher.
A solução pode ser encontrada no meu site de Problemas de Matemática , problema 230.
Uma pergunta relacionada, que levou a esta, pode ser encontrada no meu fórum no Wizard of Vegas .