Mega Millions

Introdução

A Mega Millions é uma loteria interestadual conhecida por seus prêmios acumulados altíssimos. Ela começou em 1996 com o nome de "The Big Game". Desde então, mudou de nome para "The Big Game Mega Millions" e, finalmente, para apenas "Mega Millions". Ao longo do tempo, também passou por diversas mudanças em suas regras. Esta página aborda as regras vigentes após a mudança de 5 de abril de 2025.

Regras de 2025

Em 5 de abril de 2025, as regras foram alteradas novamente, conforme segue.

• O preço do ingresso aumentou de US$ 2 para US$ 5.
• O número de bolas de ouro diminuiu de 25 para 24.
• Multiplicador de 10x adicionado ao Megaplier.
• O Megaplier agora está incluído, em vez de ser uma opção pela qual os jogadores tinham que pagar US$ 1 a mais.
• O prêmio inicial aumentou de 20 milhões de dólares para 50 milhões de dólares.

Segue abaixo o novo regulamento completo, em vigor a partir de 05/04/2025.

1. O preço do ingresso é de 5 dólares.
2. O jogador deverá escolher cinco números diferentes de 1 a 70, além de uma "Mega Bola" de 1 a 24.
3. A Loteria escolherá um Megaplier aleatoriamente, de acordo com a tabela abaixo. O Megaplier é um multiplicador que se aplicará a todos os prêmios, exceto ao prêmio principal.
4. Todas as terças e sextas-feiras, às 23h (horário do leste dos EUA), a loteria sorteará cinco bolas brancas numeradas de 1 a 70 e uma Mega Bola dourada numerada de 1 a 24.
5. O jogador ganhará de acordo com o número de bolas escolhidas que corresponderem ao sorteio da Loteria, conforme a tabela de pagamentos abaixo.
6. O prêmio acumulado será reiniciado em 50 milhões de dólares.

A tabela a seguir mostra o que o jogador ganha de acordo com a quantidade de bolas brancas e douradas que correspondem ao sorteio da Loteria. Os ganhos são antes da aplicação do Megaplier.

Bolas brancas	Bolas de Ouro	Paga
5	1	Prêmio principal
5	0	US$ 1.000.000
4	1	US$ 10.000
4	0	$ 500
3	1	$ 200
3	0	$ 10
2	1	$ 10
1	1	$7
0	1	$ 5

A tabela a seguir mostra a ponderação e a probabilidade de cada Megaplier possível.

Megaplier	Peso	Probabilidade
10	1	0,03125
5	2	0,06250
4	4	0,12500
3	10	0,31250
2	15	0,46875
Total	32	1.00000

Análise de 2025

A tabela a seguir mostra minha análise do Megaplier. A célula inferior direita mostra um Megaplier médio de 3,0.

Megaplier	Peso	Probabilidade	Esperado
10	1	0,03125	0,31250
5	2	0,06250	0,31250
4	4	0,12500	0,50000
3	10	0,31250	0,93750
2	15	0,46875	0,93750
Total	32	1.00000	3.00000

A tabela a seguir mostra a probabilidade e a contribuição para o retorno de todos os ganhos fixos. O ganho pressupõe um multiplicador Megaplier médio de 3x. O retorno esperado é a proporção entre o ganho e o preço do bilhete de $5. A célula inferior direita mostra que os ganhos fixos contribuem com 22,37% para o retorno.

Bolas brancas	Bolas de Ouro	Combinações	Probabilidade	Paga	Esperado Retornar
5	1	1	0,0000000034	Prêmio principal	?
5	0	23	0,0000000792	1000000	0,047509
4	1	325	0,0000011189	10000	0,006713
4	0	7.475	0,0000257339	500	0,007720
3	1	20.800	0,0000716075	200	0,008593
3	0	478.400	0,0016469727	10	0,009882
2	1	436.800	0,0015037577	10	0,009023
1	1	3.385.200	0,0116541219	7	0,048947
0	1	8.259.888	0,0284360573	5	0,085308
2 ou menos	0	277.883.424	0,9566605475	0	0,000000
Total	0	290.472.336	1,0000000000		0,223695

Antes de considerar a anuidade, os impostos e a divisão do prêmio, o valor por cada 100 milhões de dólares no prêmio representa um retorno adicional de 6,89%.

Ignorando os efeitos da anuidade, dos impostos e da divisão do prêmio, o valor de equilíbrio seria de US$ 1.127.475.660. Supondo que o prêmio seja reduzido pela metade para a opção de pagamento único e a alíquota máxima de imposto de renda seja de 37%, o valor de equilíbrio sobe para US$ 3.579.287.810. Se considerarmos a divisão do prêmio, o jogo nunca se torna lucrativo, devido ao aumento da demanda por bilhetes e ao número esperado de vencedores quando o prêmio acumula valores altos.

Regras de 2017

As regras foram alteradas em 28 de outubro de 2017, aumentando o custo de US$ 1 para US$ 2, tornando o prêmio principal mais difícil de ser ganho, com a intenção de aumentar os valores dos prêmios. Suspeito que as mudanças nas regras tenham sido uma resposta à concorrência da loteria Powerball . As regras de ambas as loterias agora são muito semelhantes.

1. O preço do ingresso é de 2 dólares.
2. O jogador deverá escolher cinco números diferentes de 1 a 70, além de uma "Mega Bola" de 1 a 25.
3. Todas as terças e sextas-feiras, às 23h (horário do leste dos EUA), a loteria sorteará cinco bolas brancas numeradas de 1 a 70 e uma Mega Bola dourada numerada de 1 a 25.
4. O jogador ganhará de acordo com o número de suas escolhas que corresponderem ao sorteio das bolas, conforme mostrado na tabela abaixo.

   Tabela de Pagamento

   Branco Bolas Corresponder	Mega Bola Partidas	Ganhar
   5	Sim	Prêmio principal
   5	Não	US$ 1.000.000
   4	Sim	US$ 10.000
   4	Não	$ 500
   3	Sim	$ 200
   3	Não	$ 10
   2	Sim	$ 10
   1	Sim	$4
   0	Sim	$ 2
   0 a 2	Não	$0

5. O jogador também pode pagar US$ 1 adicional para ativar o multiplicador Megaplier, exceto na Califórnia. Se o jogador ativar a opção Megaplier, quaisquer prêmios que não sejam o jackpot serão multiplicados por um fator de 2 a 5, de acordo com as probabilidades na tabela abaixo.

   Megaplier

   Multiplicador	Peso	Probabilidade
   5	1	0,066667
   4	3	0,200000
   3	6	0,400000
   2	5	0,333333
   Total	15	1.000000

6. Outra opção permite ao jogador comprar dois bilhetes por US$ 3, mas ambos só concorrerão ao prêmio principal.
7. Os valores anunciados dos prêmios principais são pagos como uma anuidade de 30 anos, com o primeiro pagamento imediato correspondente a 1,5051435% do valor total a ser pago. Os pagamentos subsequentes aumentarão 5% ao ano, com capitalização anual.
8. Em vez da anuidade, o jogador pode optar por um pagamento único, que corresponderá a cerca de 62,5% do valor nominal.
9. A tabela de pagamentos é diferente na Califórnia, porque todos os prêmios devem ser pagos em regime de igualdade de condições nesse estado.
10. Como em qualquer loteria com um grande prêmio acumulado, se mais de um jogador ganhar, o prêmio será dividido igualmente entre todos os vencedores.
11. Como em qualquer loteria com prêmios grandes, se uma combinação de números escolhida com muita frequência for sorteada, como os números perdidos 4-8-15-16-23-42, os prêmios, incluindo os fixos, podem ter que ser reduzidos.
12. O prêmio principal é pago em parcelas anuais ao longo de 30 anos, com pagamentos que começam imediatamente. Cada pagamento é 5% maior que o anterior. Para que o total dos pagamentos seja igual ao valor ganho, o primeiro pagamento corresponderá a 1,50514% do valor total. O jogador também pode optar pelo pagamento à vista. Na data desta publicação (16 de outubro de 2018), o valor da opção de pagamento à vista para um prêmio de US$ 654 era de US$ 372 milhões, ou 56,88% do valor total. Acredito que essa proporção varie.

Análise

A tabela a seguir mostra a probabilidade e o retorno esperado para todos os resultados possíveis, assumindo que o jogador não utilizou a opção Megaplier e que o prêmio acumulado é de US$ 40 milhões. A coluna de retorno é o produto do ganho, da probabilidade e de 0,5. A razão para dividir por 2 é que o custo de um bilhete é de US$ 2. Esta tabela não considera os fatores de impostos, anuidade do prêmio acumulado e compartilhamento do prêmio. Algumas análises seguem a tabela.

A célula inferior direita da tabela acima mostra que o jogador pode esperar recuperar 18,96% do seu dinheiro com um prêmio acumulado de US$ 40 milhões. A taxa de retorno aumenta 16,52% para cada US$ 100 milhões adicionais no prêmio. O ponto de equilíbrio, onde o retorno esperado seria de 100%, é de US$ 530.420.124*. A probabilidade de qualquer vitória é de 4,17%.

* Não considera a anuidade, os impostos ou a divisão do prêmio acumulado.

Análise Megaplier

A tabela a seguir mostra a probabilidade para cada multiplicador. A célula inferior direita mostra que o multiplicador médio para o Megaplier é 3,00.

A tabela a seguir mostra a probabilidade e o retorno esperado para todos os resultados possíveis, assumindo que o jogador acionou a opção Megaplier e um prêmio acumulado de US$ 40 milhões. A coluna "ganho" representa o ganho base, antes da aplicação do Megaplier. A coluna "retorno" representa o produto do ganho, da probabilidade, do Megaplier médio e de 1/3. A razão para dividir por 3 é que o custo de um bilhete é de US$ 3 com o Megaplier. Esta tabela não considera os fatores de impostos, anuidade do prêmio acumulado e divisão do prêmio. Algumas análises seguem a tabela.

A célula inferior direita da tabela acima mostra que o jogador pode esperar receber de volta 29,10% do seu dinheiro em um prêmio acumulado de US$ 40 milhões. A taxa de retorno aumenta 11,02% para cada US$ 100 milhões adicionais no prêmio acumulado com a opção Megaplier. Antes de considerar a anuidade, os impostos e a divisão do prêmio acumulado, o ponto de equilíbrio, onde o retorno esperado seria de 100%, é de US$ 224.191.728.

Análise do prêmio principal

Se o jogador escolher a opção "Apenas o Jackpot", o retorno esperado, antes de considerar impostos, a anuidade ou a divisão do jackpot, com o valor inicial de $40 milhões, é de 8,81%. Para cada $100 milhões adicionais no jackpot, o retorno esperado aumenta em 22,03%.

Competição Jackpot

Quanto maior o prêmio acumulado, maior a competição entre os jogadores. Na verdade, é mais vantajoso comprar bilhetes para um prêmio de 400 milhões do que para um de um bilhão, porque é mais provável que o prêmio seja dividido entre vários ganhadores quando atinge valores tão altos.

Para ser mais específico, encontrei uma relação exponencial entre o valor do prêmio acumulado e o número de bilhetes vendidos quando o prêmio é de 400 milhões ou menos. O gráfico a seguir mostra a venda de bilhetes (eixo vertical) em função do valor do prêmio acumulado (eixo horizontal).

Para prêmios acima de 400 milhões, não há muitos dados disponíveis, especialmente para prêmios próximos a um bilhão, como mostra o gráfico a seguir. A linha preta representa o ajuste logarítmico entre os pontos de dados.

Inseri essas curvas de regressão de mínimos quadrados na minha Calculadora de Vendas de Bilhetes de Loteria . Isso pode ser útil para ver com quantas outras pessoas você provavelmente dividirá um prêmio, de acordo com o valor do prêmio. Também existem casas de apostas esportivas online que aceitam apostas sobre se um prêmio principal será ganho ou não.

Outros fatores

Até agora, toda a minha análise foi feita antes de quaisquer ajustes referentes à anuidade, impostos e divisão do prêmio. No entanto, vamos considerar esses fatores.

A parte mais complexa dessa diluição de valor é a divisão do prêmio principal. A tabela a seguir mostra, por tamanho do prêmio (em milhões), o número estimado de bilhetes vendidos, a probabilidade de haver pelo menos um vencedor, a parcela esperada do prêmio por vencedor e o valor esperado do prêmio após qualquer divisão.

Observe que a coluna da direita na tabela acima atinge o valor máximo de US$ 732 milhões para um prêmio acumulado de US$ 1,3 bilhão. A estimativa mais precisa do valor máximo do prêmio acumulado após a divisão é de US$ 1,255 bilhão. Acima desse valor, o montante diminui devido à demanda induzida por bilhetes e, consequentemente, à divisão do prêmio com mais vencedores. Caso alguém esteja se perguntando, utilizo regressão parabólica para estimar a venda de bilhetes para prêmios acumulados acima de US$ 300 milhões.

O fator da anuidade é simples. O vencedor pode optar pela anuidade (conforme explicado na seção de regras acima) ou por um pagamento único equivalente a uma porcentagem do valor do prêmio. Em 16 de outubro de 2018, essa porcentagem era de 56,88%. Todos parecem escolher a opção do pagamento único. Aliás, ignorando todos os fatores além da taxa de juros, o valor temporal do prêmio é maior optando pelo pagamento único com uma taxa de juros acima de 3,40%; caso contrário, opte pelo pagamento único. Na data desta publicação (16 de outubro de 2018), a taxa dos títulos do Tesouro de 20 anos era de 3,27%. Para simplificar os cálculos, vamos supor que o vencedor escolha o pagamento único.

Os impostos também são relativamente fáceis de calcular. No momento em que este texto foi escrito, a alíquota máxima do imposto de renda federal era de 37%. Os impostos estaduais variam bastante, mas vamos considerar 8% para impostos estaduais e locais. Isso significa que o vencedor perderá 45% em impostos.

Vamos usar um prêmio acumulado de um bilhão de dólares, por exemplo. Após a divisão do prêmio, o pagamento à vista e os impostos, você ficaria com US$ 220,6 milhões. A probabilidade de ganhar é de 1 em 302.575.350. Com prêmios acumulados desse valor, o jogador deve optar pela opção "Apenas Prêmio Acumulado", ao custo de US$ 1,50 por bilhete. Isso torna o valor de um bilhete US$ 220,6 milhões / 302.575.350 = 72,9 centavos. Considerando que o custo de um bilhete é de US$ 1,50, o retorno esperado é de US$ 0,729 / US$ 1,50 = 48,6%. Isso significa uma vantagem da casa de 51,4%. No valor máximo do prêmio acumulado de US$ 1,255 bilhão, o retorno esperado é de 52,7%. Esse é o melhor retorno possível. Portanto, não, a Mega Millions nunca dá lucro. Na verdade, nunca chega nem perto disso.

Estratégia

Existem três maneiras de jogar, como segue:

• Ingressos normais a US$ 2 cada.
• Ingressos com o Megaplier a US$ 3 cada
• Bilhetes "Just the Jackpot" a dois por 3 dólares.

Novamente, ignorando impostos, a anuidade e a divisão do prêmio, a estratégia ideal é acionar a opção Megaplier para prêmios abaixo de US$ 224.191.728. Para prêmios acima desse valor, o jogador deve comprar bilhetes "somente para o prêmio principal". Curiosamente, para um prêmio de exatamente US$ 224.191.728, o retorno esperado é o mesmo para todas as três opções: 49,40%.

Lamento ter que dizer isso, mas me perguntaram sobre a possibilidade de comprar o Megaplier com bilhetes "somente jackpot". A resposta é NÃO! Não há ganhos fixos para multiplicar com bilhetes "somente jackpot", então você estaria multiplicando nada. Espero que nem permitam essa opção, pois seria uma verdadeira exploração.

Considerando os efeitos dos impostos, da partilha do jackpot e da anuidade, meu conselho é comprar o Megaplier independentemente do valor do jackpot e nunca acionar a opção "Somente Jackpot". Os três fatores mencionados reduzem significativamente o valor do jackpot.

Conclusão

Matematicamente falando, a Mega Millions é uma aposta péssima. Considerando a parte da loteria, a divisão do prêmio, a anuidade e os impostos, o retorno esperado nunca ultrapassa os 40%. Considero a decisão de comprar bilhetes de loteria totalmente irracional e ainda não entendi por que as pessoas fazem fila para jogar dinheiro fora.

Loterias

• Loteria da Califórnia
• Loteria do Texas
• Loteria da Flórida
• Loteria Fácil

Jogos

• Powerball

Leituras relacionadas

• Loteria — Página geral.
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• A Loteria é Péssima - Um Relatório Abrangente sobre a Loteria
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• Perguntas anteriores do "Pergunte ao Mágico" sobre a loteria

Calculadoras

• Calculadora Powerball — Calcule as probabilidades para o Powerball ou qualquer loteria com cinco "bolas brancas" e uma "Power Ball".
• Calculadora da Mega Millions (regras de 2017) — Calcula as probabilidades para a Mega Millions ou qualquer loteria com cinco bolas brancas e uma Mega Ball. Usa as regras de 2017 como padrão.
• Calculadora da Mega Millions (regras de 2025) — Calcule as probabilidades para a Mega Millions ou qualquer loteria com cinco bolas brancas e uma Mega Ball. O padrão é as regras de 2025.
• Calculadora Pick Six — Calcule as probabilidades para qualquer jogo "Pick Six".
• SuperLotto Plus — Jogo da Loteria da Califórnia.
• Calculadora de Vendas de Bilhetes de Loteria — Estime as vendas de bilhetes e a probabilidade de um vencedor para qualquer valor de prêmio acumulado na Power Ball e na MegaMillions.

Links externos

• Grande semana para as loterias: 29 de outubro de 2018, com 2 prêmios enormes ganhos.
• Mega Millions - Site oficial.
• Wikipédia .
• LottoReport.com - Informações sobre o histórico de vendas de bilhetes e valores dos prêmios acumulados.

Escrito por: Michael Shackleford