Sequência de Fibonacci parte 1

Esta semana, iniciamos uma série de três partes sobre a Sequência de Fibonacci, que aparece em diversos lugares tanto na matemática quanto na natureza. No entanto, antes de chegarmos a isso, apresento o nosso habitual enigma lógico semanal.

Quebra-cabeça lógico

Você está com um unicórnio e um Pégaso. O unicórnio mente às segundas, terças e quartas-feiras, e nos outros dias diz a verdade. Pégaso mente às quintas, sextas e sábados, e nos outros dias diz a verdade.

Sem saber que dia é, você ouve as seguintes afirmações.

Unicórnio: "Ontem foi um daqueles dias em que eu mentia."

Pégaso: "Ontem também foi um daqueles dias em que eu mentia."

Que dia é hoje?

Sequência de Fibonacci parte 1

Permitam-me iniciar a discussão com um problema de matemática.

Se você lançar uma moeda honesta 20 vezes, qual é a probabilidade de nunca obter duas caras seguidas?

Lançamento 1 – Há duas combinações bem-sucedidas e duas combinações totais para uma probabilidade de 2/2 = 100%, o que significa que nunca vemos duas caras seguidas. Em outras palavras, é impossível ver duas caras em um único lançamento.

Lançamento 2 – Existem três combinações bem-sucedidas (HT, TH, TT) e 2 ² = 4 combinações totais para uma probabilidade de ¾ = 75%, nunca vemos duas caras seguidas em dois lançamentos.

Lançamento 3 – Existem cinco combinações bem-sucedidas (HTT, HTH, THT, TTH, TTT) e 2³ = 8 combinações totais para uma probabilidade de 5/8 = 62,5%. Nunca vemos duas caras seguidas em três lançamentos.

No entanto, contar as combinações vencedoras está começando a ficar tedioso neste ponto. Vamos tentar de outra forma. Se o terceiro lançamento der coroa, todas as combinações vencedoras após dois lançamentos ainda serão válidas. Em outras palavras, podemos simplesmente adicionar um "coroa" a todas as combinações de dois lançamentos: CCC, CCC, CCC.Se o terceiro lançamento der cara, qualquer combinação após um lançamento será válida adicionando um "TH" em seguida: HTH, TTH. Portanto, o total de combinações válidas é 3 se o terceiro lançamento der coroa e 2 se der cara, totalizando 5.

Lançamento 4 – Se sair coroa, podemos usar todas as combinações do lançamento 3, que eram 5, e adicionar um T a cada uma. Se sair cara, voltamos ao lançamento 2 e adicionamos um TH a cada uma. O total de combinações é 5 + 3 = 8.

Você está percebendo um padrão? O padrão que começa com dois uns e cada elemento subsequente é a soma dos dois anteriores é assim: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … e é conhecido como Sequência de Fibonacci. É exatamente isso que estamos fazendo aqui, voltando um se o último lançamento deu coroa e dois se deu cara.

A tabela a seguir mostra o número de combinações bem-sucedidas, o total de combinações e a probabilidade de não haver duas caras consecutivas para 1 a 20 lançamentos. A probabilidade é o número de combinações bem-sucedidas dividido pelo total de combinações, que é 2^n, onde n é o número de lançamentos. A última linha mostra que a probabilidade de não haver duas caras consecutivas é 17711/1048576 ≈ 1,69%.

Isso demonstra apenas um uso prático da sequência de Fibonacci. Na próxima semana, vamos aprofundar esse assunto, analisando a razão entre dois termos consecutivos na sequência.

Resposta do quebra-cabeça lógico

Quinta-feira

Solução de quebra-cabeça lógico

Vamos analisar primeiro a declaração do unicórnio. Ela é consistente com a veracidade do unicórnio apenas às segundas e quintas-feiras.

Vamos analisar em seguida a declaração de Pégaso. Ela é consistente com a veracidade do unicórnio apenas às quintas e domingos.