Dados Sicherman

Esta semana, daremos uma pausa à minha aventura no Caminho do Norte. Em vez disso, o enigma que apresento merece, na minha opinião, um boletim informativo à parte. Eis o enigma:

Como numerar dois dados de forma que a probabilidade de qualquer total seja a mesma que a de dois dados convencionais de seis lados? Um dos dados deve ter de um a quatro pontos em cada face. O outro dado pode ter qualquer número de pontos por face.

Primeiro, vamos revisar o número de combinações de cada total com dois dados convencionais.

Aqui estão os totais de acordo com o resultado do lançamento de ambos os dados.

Morra 1	Morra 2
	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Segue abaixo a frequência com que cada total de 2 a 12 é observado.

Total	Combinações
2	1
3	2
4	3
5	4
6	5
7	6
8	5
9	4
10	3
11	2
12	1

Vamos supor que o dado 1 seja aquele que se limita aos números de 1 a 4. É seguro assumir que existe pelo menos um número 1 e pelo menos um número 4. Caso contrário, o intervalo fornecido provavelmente seria mais estreito.

Para se obter uma combinação com um total de 2, deve haver exatamente um 1 no dado 2.

Para se obter uma combinação de 12, deve haver exatamente um 8 no dado 2.

Não podemos ter mais de um 1 e um 4 no primeiro dado, caso contrário teríamos mais de um total de 2 ou 12. Eis a situação atual:

Morra 1	Morra 2
	1	?	?	?	?	8
1	2	?	?	?	?	9
2 ou 3	?	?	?	?	?	?
2 ou 3	?	?	?	?	?	?
2 ou 3	?	?	?	?	?	?
2 ou 3	?	?	?	?	?	?
4	5	?	?	?	?	12

Se o dado 1 tivesse quatro 2, então haveria pelo menos 4 maneiras de rolar um total de 3. Precisamos de exatamente duas maneiras. Portanto, pelo menos uma face deve ter um 3.

Se o dado 2 fosse 1-2-2-2-3-4, então haveria pelo menos 3 maneiras de rolar um total de 3. Novamente, precisamos exatamente de duas maneiras.

Portanto, o segundo dado deve ser 1-2-2-3-3-4. Isso nos dá 3 maneiras de tirar um 3 até agora.

Considerando a configuração do dado 1, o dado 2 não pode conter nenhum número 2. Caso contrário, haveria muitas maneiras de obter um total de 3. Vamos tentar o 3 como o próximo número no dado 2. Isso nos dá os seguintes totais entre os dois dados:

Morra 1	Morra 2
	1	3	?	?	?	8
1	2	4	?	?	?	9
2	3	5	?	?	?	10
2	3	5	?	?	?	10
3	4	6	?	?	?	11
3	4	6	?	?	?	11
4	5	7	?	?	?	12

Observe que existem três maneiras de obter um total de 5 nos dados. Precisamos de quatro maneiras no total. Lembre-se que com dois dados podemos obter um total de 5 com 1+4, 4+1, 2+3 ou 3+2.

Se adicionarmos mais um 3 ao dado 2, teremos cinco maneiras de rolar um total de 5, o que é demais. Portanto, o próximo número do dado 2 deve ser um 4 para combinar com o 1 do dado 1 e completar mais um total de 5. Assim, chegamos a:

Morra 1	Morra 2
	1	3	4	?	?	8
1	2	4	5	?	?	9
2	3	5	6	?	?	10
2	3	5	6	?	?	10
3	4	6	7	?	?	11
3	4	6	7	?	?	11
4	5	7	8	?	?	12

Observe que temos quatro maneiras de chegar a um total de seis. Precisamos de cinco maneiras. Se adicionássemos outro 4 ao dado 2, teríamos maneiras demais de chegar a um total de 5. Portanto, a outra maneira de chegar a um total de 5 deve vir de um 5 no dado 2, combinado com o 1 no dado 1. Isso nos dá:

Morra 1	Morra 2
	1	3	4	5	?	8
1	2	4	5	6	?	9
2	3	5	6	7	?	10
2	3	5	6	7	?	10
3	4	6	7	8	?	11
3	4	6	7	8	?	11
4	5	7	8	9	?	12

O próximo total a ser analisado é 7. Até agora, temos cinco possibilidades e precisamos de seis. Isso só pode ser obtido adicionando um 6 ao dado 2. Esse resultado, combinado com o 1 do dado 1, nos dará mais um total de 7. Isso nos dará:

Morra 1	Morra 2
	1	3	4	5	6	8
1	2	4	5	6	7	9
2	3	5	6	7	8	10
2	3	5	6	7	8	10
3	4	6	7	8	9	11
3	4	6	7	8	9	11
4	5	7	8	9	10	12

O total de combinações para cada resultado corresponde ao obtido com dois dados convencionais. Portanto, concluímos. Aliás, estes são chamados de Dados de Sichermann.

Crédito

Já vi esse problema várias vezes ao longo das décadas. Acho que fica muito difícil se não houver a dica de que um dos dados tem um intervalo de 1 a 4.

Um bom vídeo de onde tirei a lógica para essa solução se chama “ Você consegue resolver o enigma dos dados amaldiçoados? - Dan Finkel ”, no canal Ted-Ed do YouTube.