Em 180 lançamentos consecutivos de dados, quantas vezes posso esperar ver o seguinte resultado:<p> Dois setes em sequência?<br> Três setes em sequência?<br> Quatro setes em sequência?<p> Obrigado pelo seu tempo :-).

Não consigo pensar em nenhum motivo útil para saber essa informação, mas me fazem esse tipo de pergunta com frequência, então vou te dar a resposta.</p><p> É um pouco mais fácil obter uma sequência específica de setes começando com o primeiro lançamento ou terminando com o último, porque a sequência é limitada de um lado. Especificamente, a probabilidade de obter uma sequência de s setes, começando com o primeiro lançamento ou terminando com o último, é (1/6) <sup>s</sup> × (5/6). O termo 5/6 se deve ao fato de que você precisa obter um número diferente de 7 na extremidade aberta da sequência.</p><p> A probabilidade de iniciar uma sequência de s setes em qualquer ponto no meio da sequência é (1/6) <sup>s</sup> × (5/6) <sup>2</sup> . Elevamos o termo 5/6 ao quadrado, porque o jogador deve obter um número diferente de 7 em ambas as extremidades da sequência.</p><p><p> Se houver r lançamentos, haverá 2 posições para uma sequência interna e rn-1 posições para uma sequência de n setes. Colocando essas equações em uma tabela, temos o número esperado de sequências de setes, de 1 a 10. A coluna "interna" é 2*(5/6)*(1/6) <sup>r</sup> , e a coluna "externa" é (179-r)*(5/6) <sup>2</sup> *(1/6) <sup>r</sup> , onde r é o número de setes na sequência. Portanto, podemos esperar 3,46 sequências de dois setes, 0,57 sequências de três setes e 0,10 sequências de quatro setes.</p><p><center><div class="box"><h3 class="box-title"> Sequências esperadas de setes em 180 lançamentos </h3><div class="box-content has-data"><table class="data" cellspacing="0" cellpadding="0" border="0"><tr><td> Correr</td><td> Dentro</td><td> Fora</td><td> Total</td></tr><tr><td> 1</td><td> 0,277778</td><td> 20,601852</td><td> 20,87963</td></tr><tr><td> 2</td><td> 0,046296</td><td> 3,414352</td><td> 3,460648</td></tr><tr><td> 3</td><td> 0,007716</td><td> 0,565844</td><td> 0,57356</td></tr><tr><td> 4</td><td> 0,001286</td><td> 0,093771</td><td> 0,095057</td></tr><tr><td> 5</td><td> 0,000214</td><td> 0,015539</td><td> 0,015754</td></tr><tr><td> 6</td><td> 0,000036</td><td> 0,002575</td><td> 0,002611</td></tr><tr><td> 7</td><td> 0,000006</td><td> 0,000427</td><td> 0,000433</td></tr><tr><td> 8</td><td> 0,000001</td><td> 0,000071</td><td> 0,000072</td></tr><tr><td> 9</td><td> 0</td><td> 0,000012</td><td> 0,000012</td></tr><tr><td> 10</td><td> 0</td><td> 0,000002</td><td> 0,000002</td></tr></table></div></div></center>

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Pergunte ao Mago #216

Pergunte ao Mago #216

Neste vídeo do YouTube , Matt Damon diz que John McCain tem uma chance em três de não sobreviver ao seu primeiro mandato. Ele está certo?

Lisa de San Antonio, TX

Não. Usando esta tabela atuarial do CDC (Centros de Controle e Prevenção de Doenças), a probabilidade de um homem branco de 72 anos chegar aos 76 anos é de 85,63%. Isso equivale a cerca de 1 chance em 7 de morte. A taxa de sobrevivência pode ser encontrada dividindo-se a coorte de nascimento aos 76 anos (57.985) pela coorte de nascimento aos 72 anos (67.719), conforme a tabela para homens brancos na página 14. A tabela utilizada é chamada de "tabela de vida de período", que pressupõe que as taxas de mortalidade de 2003 não mudarão no futuro, e é o tipo de tabela atuarial mais comumente usado. Um perfeccionista poderia preferir usar uma tabela de vida de coorte de 1936, mas não creio que faria muita diferença.

P.S.: Depois de publicar esta resposta, recebi vários comentários dizendo que minha resposta não levou em consideração a situação de saúde individual de John McCain. O fato de ele ser um sobrevivente de câncer pesa contra ele. Por outro lado, ele tem acesso aos melhores cuidados médicos disponíveis, está obviamente em boa forma física e mental para um homem de 72 anos e tem uma longa expectativa de vida, como evidenciado pelo fato de sua mãe ainda estar viva. No entanto, eu nunca tive a intenção de levar essa informação em consideração. Foi Matt Damon quem citou as tabelas atuariais, e era a isso que eu me referia. O que estou dizendo é que, para um homem branco de 72 anos, a probabilidade média de sobreviver mais quatro anos é de 86%. Se fosse obrigado a escolher, eu diria que as chances de John McCain são ainda melhores.

Um leitor perguntou sobre um torneio de caça-níqueis no Wynn . O custo de inscrição era de US$ 25.000 e o prêmio médio era de US$ 30.000. Você disse que é necessário um capital inicial de cerca de três milhões de dólares para participar, de acordo com o Critério de Kelly . Tenho duas perguntas:

1. Isso leva em consideração a vantagem desconhecida da casa nas máquinas caça-níqueis?

2. Qual seria a estratégia de jogo para obter o melhor retorno geral? Você poderia simplesmente ficar de fora, sem apostar, e torcer para que os outros 49 jogadores fiquem em desvantagem, enquanto você recupera o investimento e leva o grande prêmio de US$ 1.000.000?

Gray C. de Silicon Valley, CA

Os torneios de slots são sempre realizados em máquinas dedicadas a torneios. Normalmente, essas máquinas não aceitam apostas, então seu saldo permanecerá estável ou aumentará após cada jogada. Portanto, não importa qual seja o retorno; quanto mais você joga, mais seu saldo pode aumentar. Mesmo se você tivesse que jogar em máquinas caça-níqueis convencionais, eu ainda apostaria o mais rápido possível, parando apenas se conseguisse um jackpot grande o suficiente para provavelmente ganhar o torneio. O motivo é que é muito improvável que 49 de 49 jogadores fiquem com saldo negativo.

Curiosamente, houve uma vez um torneio de caça-níqueis no Caesars Palace em que o último colocado recebia um prêmio. No entanto, essa regra só foi anunciada na cerimônia de premiação. Se você por acaso souber de uma regra assim, talvez seja melhor não apostar.

Por que os crupiês nas mesas de craps são tão relutantes em trocar suas fichas, a menos que você esteja saindo da mesa? Embora eu nunca tenha visto um crupiê se recusar explicitamente a fazer isso, eles frequentemente concordam a contragosto, acompanhados de um comentário sarcástico ou irônico, como se eu estivesse pedindo demais.

Ron de State College

Isso vale para todos os jogos de mesa, não apenas para o craps. A política contra o acúmulo de fichas, exceto na saída, vem da gerência, então não culpe os crupiês. Um bom crupiê deve manter o jogador bem abastecido com fichas no valor da sua aposta. Acumular fichas vai contra esse propósito. Isso leva à falta de fichas, fazendo com que o jogador peça para trocar as fichas maiores, o que desperdiça tempo. Pode haver também um propósito não declarado de que o jogador provavelmente não apostará com a ficha maior.

Em jogos de slots ou vídeo poker, ao jogar com a funcionalidade "dobrar ou nada", quantas vezes devo tentar dobrar?

Joseph R. de Manila, Philippines

Depende do seu objetivo ao jogar. Se você está tentando alcançar uma meta de ganho, como dobrar seu saldo, então você deve continuar dobrando até atingir seu objetivo ou o número máximo de dobras permitidas. Se você está tentando jogar o máximo possível com um saldo determinado, então eu dobraria apenas em pequenas vitórias, e apenas uma vez. Se você tem uma combinação de ambos os objetivos, então eu teria uma estratégia mista. Quanto mais importante for ganhar para você, mais agressivo você deve ser ao dobrar. Quanto mais importante for o "tempo no dispositivo", menos você deve dobrar.

No bacará , a carta de corte é colocada à frente das últimas 13 cartas do baralho, e uma mão é distribuída após a mão em que a carta de corte saiu. Se a carta de corte saiu depois da primeira carta do jogador ser distribuída, e tanto o jogador quanto o banqueiro compraram uma carta, restarão apenas 8 cartas no baralho para a última mão. Se você estiver acompanhando as cartas e souber que as últimas 8 cartas são todas de valor 0, uma aposta máxima na mesa no empate lhe renderia um lucro enorme. Minha pergunta é: quais são as probabilidades de que as últimas 8, 9 ou 10 cartas em um baralho de 8 baralhos sejam todas de valor 10? Além disso, se você soubesse exatamente quais são as últimas 8 cartas, seria possível usar uma fórmula ou programa para calcular as probabilidades de a próxima mão ser de vitória do banqueiro, do jogador ou de empate?

Mike S. de Michigan City

Para responder à sua primeira pergunta, a probabilidade de as últimas 8 cartas em um sapato de 8 baralhos serem todas de valor 0 é combin (128,8)/combin(416,8) = 0,0000687746. Portanto, não é algo para se esperar. Não conheço nenhuma fórmula fácil para calcular as apostas em outras situações. Se você encontrasse um cassino que permitisse o uso de computador, as vantagens seriam enormes no final do jogo, especialmente em caso de empate.

Em 180 lançamentos consecutivos de dados, quantas vezes posso esperar ver o seguinte resultado:

Dois setes em sequência?
Três setes em sequência?
Quatro setes em sequência?

Obrigado pelo seu tempo :-).

Melanie D. de Elizabeth City, NC

Não consigo pensar em nenhum motivo útil para saber essa informação, mas me fazem esse tipo de pergunta com frequência, então vou te dar a resposta.

É um pouco mais fácil obter uma sequência específica de setes começando com o primeiro lançamento ou terminando com o último, porque a sequência é limitada de um lado. Especificamente, a probabilidade de obter uma sequência de s setes, começando com o primeiro lançamento ou terminando com o último, é (1/6) ^s × (5/6). O termo 5/6 se deve ao fato de que você precisa obter um número diferente de 7 na extremidade aberta da sequência.

A probabilidade de iniciar uma sequência de s setes em qualquer ponto no meio da sequência é (1/6) ^s × (5/6) ² . Elevamos o termo 5/6 ao quadrado, porque o jogador deve obter um número diferente de 7 em ambas as extremidades da sequência.

Se houver r lançamentos, haverá 2 posições para uma sequência interna e rn-1 posições para uma sequência de n setes. Colocando essas equações em uma tabela, temos o número esperado de sequências de setes, de 1 a 10. A coluna "interna" é 2*(5/6)*(1/6) ^r , e a coluna "externa" é (179-r)*(5/6) ² *(1/6) ^r , onde r é o número de setes na sequência. Portanto, podemos esperar 3,46 sequências de dois setes, 0,57 sequências de três setes e 0,10 sequências de quatro setes.

Sequências esperadas de setes em 180 lançamentos

Correr	Dentro	Fora	Total
1	0,277778	20,601852	20,87963
2	0,046296	3,414352	3,460648
3	0,007716	0,565844	0,57356
4	0,001286	0,093771	0,095057
5	0,000214	0,015539	0,015754
6	0,000036	0,002575	0,002611
7	0,000006	0,000427	0,000433
8	0,000001	0,000071	0,000072
9	0	0,000012	0,000012
10	0	0,000002	0,000002