Pergunte ao Mago #242

Suponha que haja dois jogos de futebol em que eu acredito que um dos jogadores tenha vantagem. Digamos que cada um tenha 55% de chance de vitória, e eu precise apostar contra 110. O que é mais lucrativo: apostar diretamente nos jogos ou fazer uma aposta combinada simples?

Rob de Las Vegas

Boa pergunta. Resumindo, a vantagem por aposta é 0,55 × (10/11) - 0,45 = 0,05. Como uma aposta combinada, a vantagem é (0,55) ^² × ((21/11) ^² - 1) - (1 - (0,55) ^² ) = 10,25%. Portanto, parece que a aposta combinada é a melhor maneira de maximizar a vantagem.

No entanto, a variância é maior em uma aposta combinada. Se você estiver seguindo o Critério de Kelly , precisará proteger seu saldo para a aposta combinada com uma aposta menor. Neste exemplo, a aposta ideal de Kelly para uma aposta simples é de 5,48% do saldo se os dois jogos coincidirem, 5,50% se o primeiro jogo terminar antes de você apostar no segundo e 3,88% para a aposta combinada. Multiplicando a aposta pela vantagem, obtemos 0,00275 para a aposta simples (com base em uma vantagem de 5,50%) e 0,00397 para a aposta combinada. Portanto, a aposta combinada resulta em um lucro maior.

Considerei o caso geral para esse tipo de pergunta, analisando também apostas combinadas de 3 e 4 equipes e apostas na linha de dinheiro. Assumindo uma pequena vantagem para todas as apostas, como regra geral, se a probabilidade de cada evento vencer for menor que 33%, você deve apostar diretamente. Se cada probabilidade estiver entre 33% e 52%, você deve fazer uma aposta combinada de 2 equipes. Se cada probabilidade estiver entre 52% e 64%, você deve fazer uma aposta combinada de 3 equipes. Se cada probabilidade for maior que 64%, você deve fazer uma aposta combinada de 4 equipes. Se você estiver fazendo apostas diretas, você terá praticamente o mesmo resultado fazendo apostas combinadas de 2 ou 3 equipes, assumindo novamente que você tenha uma vantagem inicial.

Devo ressaltar que, se você é um apostador recreativo que joga contra a vantagem da casa (qual apostador esportivo admitiria isso?), apostar diretamente minimiza a vantagem da casa.

Em Londres, existe uma aposta paralela chamada "Royal Match" no bacará. Ela paga se o Banqueiro ou o Jogador receber um rei e uma dama nas duas primeiras cartas. Você tem alguma cotação para essa aposta?

anônimo

Considerando oito baralhos, a vantagem da casa é de 4,5%. Para mais informações, visite minha página sobre apostas paralelas no bacará .

Eu estava no cassino Four Queens, que oferece tanto o bônus duplo 10/7 quanto o Jacks or Better 9/6. Eu só conhecia a estratégia do 9/6, então joguei com ela. Mais tarde, outro jogador de vídeo pôquer me repreendeu, dizendo que eu teria me saído melhor jogando com a estratégia do 9/6 na máquina 10/7. Discordo. Há uma aposta de 5 dólares em jogo. Quem está certo?

James de Las Vegas

O outro jogador de vídeo pôquer está certo. Aqui está a tabela de retorno para 9/6 Jacks or Better, detalhando as quadras, considerando a estratégia ideal.

Tabela de retorno para 9/6 Jacks or Better com estratégia ideal para 9/6

Mão	Paga	Combinações	Probabilidade	Retornar
Rubor Real	800	493512264	0,000025	0,019807
Straight Flush	50	2178883296	0,000109	0,005465
Quatro A	25	3900253596	0,000196	0,004892
Quatro 2-4	25	10509511320	0,000527	0,013181
Quatro 5-K	25	32683402848	0,00164	0,040991
Casa cheia	9	229475482596	0,011512	0,10361
Descarga	6	219554786160	0,011015	0,066087
Direto	4	223837565784	0,011229	0,044917
Três de um tipo	3	1484003070324	0,074449	0,223346
Dois pares	2	2576946164148	0,129279	0,258558
Par	1	4277372890968	0,214585	0,214585
mão não paga	0	10872274993896	0,545435	0
Total		19933230517200	1	0,995439

Utilizando as probabilidades acima, mas aplicando-as à tabela de pagamento do Bônus Duplo 10/7, obtemos a seguinte tabela de retornos.

Tabela de retorno de bônus duplo 10/7 com estratégia 9/6

Mão	Paga	Combinações	Probabilidade	Retornar
Rubor Real	800	493512264	0,000025	0,019807
Straight Flush	50	2178883296	0,000109	0,005465
Quatro A	160	3900253596	0,000196	0,031307
Quatro 2-4	80	10509511320	0,000527	0,042179
Quatro 5-K	50	32683402848	0,00164	0,081982
Casa cheia	10	229475482596	0,011512	0,115122
Descarga	7	219554786160	0,011015	0,077102
Direto	5	223837565784	0,011229	0,056147
Três de um tipo	3	1484003070324	0,074449	0,223346
Dois pares	1	2576946164148	0,129279	0,129279
Par	1	4277372890968	0,214585	0,214585
mão não paga	0	10872274993896	0,545435	0
Total		19933230517200	1	0,99632

É possível observar que o retorno é de 99,63% jogando com a estratégia 9/6 em uma máquina 10/7. Você ganha 0,63% devido à melhor tabela de pagamentos, mas perde 0,54% com erros, resultando em um ganho líquido de 0,09%.

Um cassino em Las Vegas está anunciando uma promoção: faça um flush com as quatro cartas do mesmo naipe e ganhe US$ 400. Você precisa usar as duas cartas da sua mão e o jogo tem um limite de tempo de cinco horas. Considerando 35 mãos por hora e que o cronômetro começa a contar a partir do primeiro flush, qual é a probabilidade de conseguir os outros três flushes dentro de cinco horas? Obrigado.

Annie

Vamos supor que seu primeiro flush seja de espadas. Com 35 mãos por hora, em cinco horas você poderia jogar 175 mãos. Você teria então 175 mãos para formar um flush de copas, ouros e paus. Vou assumir que o jogador nunca desiste de uma mão que tenha a possibilidade de formar um flush em um dos naipes que ele precisa.

A probabilidade de um flush de um naipe específico, digamos copas, usando ambas as cartas fechadas é combin(13,2)×[combin(11,3)×combin(39,2) + combin(11,4)×39 + combin(11,5)]/(combin(52,2)×combin(50,5)) = 10576566/2809475760=0,003764605. Nas próximas 175 mãos, a probabilidade de não conseguir um flush de copas seria (1-0,003764605) ¹⁷⁵ =0,51682599.

Seria incorreto dizer que a probabilidade de não formar os outros três naipes seria pr(sem flush de copas) + pr(sem flush de ouros) + pr(sem flush de paus), porque você estaria contabilizando duas vezes a probabilidade de não formar dois deles. Portanto, você deveria adicionar pr(sem flush de copas ou ouros) + pr(sem flush de copas ou paus) + pr(sem flush de paus ou ouros). No entanto, isso subtrairia incorretamente a probabilidade de não formar os três flushes. Então, você deveria adicionar pr(sem flush de paus, ouros ou copas).

A probabilidade de jogar 175 mãos e nunca conseguir nenhum dos dois naipes específicos é (1-2×0,003764605) ¹⁷⁵ =0,266442448.

A probabilidade de jogar 175 mãos e nunca conseguir nenhum dos três naipes restantes é (1-3×0,003764605) ¹⁷⁵ =0,137015266.

Portanto, a resposta é 1-3×0,51682599 + 3×0,266442448 - 0,137015266 = 0,111834108.

Gostaria de agradecer a dwheatley pela ajuda com este problema. Ele foi discutido no meu fórum no Wizard of Vegas .

Em cassinos que oferecem odds de 5x, se você apostar um múltiplo de $15, eles geralmente permitem apostar $75 em pontos de 4 ou 10, $100 em pontos de 5 ou 9 e $125 em pontos de 6 ou 8. Isso equivale a 5x nos números 4 e 10, 6,67x nos números 5 e 9 e 8,33x nos números 6 e 8. Gostaria de saber qual é a vantagem da casa nesse caso? Presumo que seja ligeiramente melhor do que a vantagem da casa com odds de 5x que você lista em sua página, que assume um multiplicador de 5x para todos os números.

Zach de New York

Comparado com odds de 5x, isso reduz a vantagem da casa de 0,326% para 0,269%. Não entendo por que permitiriam a aposta com odds extras no 6 e no 8, já que uma aposta de 5x de $75 pagaria $90. No entanto, enquanto permitirem, eu aproveitaria as odds extras, contanto que você se sinta confortável com o risco adicional.