Loteria - Perguntas frequentes

Vamos tentar reformular a pergunta. Supondo que a loteria tenha 10 milhões de combinações e que todos os jogadores escolham seus números aleatoriamente (permitindo números repetidos), quantos bilhetes a loteria precisaria vender para que a probabilidade de pelo menos uma pessoa ganhar seja de 90%? Seja p a probabilidade de ganhar e n o número de bilhetes vendidos. A probabilidade de uma pessoa perder é 1 - p. A probabilidade de todas as n pessoas perderem é (1 - p) ⁿ . A probabilidade de haver pelo menos um vencedor é 1 - (1 - p) ⁿ . Portanto, precisamos igualar isso a 0,9 e resolver para n.

0,9 = 1 - (1-p) ⁿ
.1 = (1-p) ⁿ
ln(0,1) = ln((1-p) ⁿ )
ln(0,1) = n*ln(1-p)
n = ln(.1)/ln(1-p)
n = ln(0,1)/ln(0,9999999)
n = 23.025.850.

Portanto, a loteria precisaria vender 23.025.850 bilhetes para que a probabilidade de haver pelo menos um vencedor fosse de 90%. Caso você esteja se perguntando, se a loteria vendesse exatamente dez milhões de bilhetes, a probabilidade de haver pelo menos um vencedor seria de 63,2%, o que é muito próximo de 1-(1/e).

Um fator na resposta é o número total de bilhetes vendidos a outros jogadores. Caso mais de um jogador ganhe o prêmio principal, ele terá que ser dividido. Vamos chamar o número de combinações possíveis de n, o número total de outros bilhetes vendidos de t, a taxa de retorno dos prêmios menores de r (no caso do Big Game, r = 0,179612) e j o valor do prêmio principal. Para que este empreendimento seja economicamente viável, j*n/(n+t) + r*n - n = 0. Isso resulta em j = (1 - r)*(n+t).

A resposta curta é não, você nunca vai ganhar. A probabilidade de ganhar na loteria tradicional 6/49 é de 1 em 13.983.816. Você teria que jogar ln(0,5)/ln(1-1/combin(49,6)) = 9.692.842 vezes para ter 50% de chance de ganhar pelo menos uma vez. Supondo que você comprasse 100 bilhetes de loteria por dia, levaria 265,6 anos para ter 50% de chance de ganhar. Para ter 90% de chance de ganhar, levaria 882,2 anos.

Vamos definir f(x,y) como a probabilidade de obter x de um naipe e y de outro. Essa função não se limita a dois termos.

Com dois argumentos f(x,y)= combin(13,x)*combin(13,y)*12/combin(52,5).

Com três argumentos f(x,y,z)= combin(13,x)*combin(13,y)*combin(13,z)*12/combin(52,5).

Com quatro argumentos f(w,x,y,z)=combin(13,w)*combin(13,x)*combin(13,y)*combin(13,z)*4/combin(52,5).

A probabilidade de todos os quatro naipes é COMBIN(13,1) ³ *COMBIN(13,2)*4/combin(52,5) = 26,37%.

A probabilidade de três naipes é COMBIN(13,3)*COMBIN(13,1)^ ² *12 + COMBIN(13,1)*COMBIN(13,2)^2*12/combin(52,5) = 58,84%

A probabilidade de dois naipes é COMBIN(13,3)*COMBIN(13,2)*12 + COMBIN(13,4)*COMBIN(13,1)*12/combin(52,5) = 14,59%

A probabilidade de um naipe (incluindo sequências e royal flushes) é 4*combin(13,5)/combin(52,5) = 0,20%.

Assim, três naipes são o resultado mais frequente.

Não, eu não levei em conta a divisão do prêmio principal. Isso definitivamente diminui o valor, pois quanto mais pessoas jogam, menor é o retorno esperado. Eu não tinha informações suficientes sobre o número de jogadores quando escrevi aquele artigo para considerar isso adequadamente.

Imagino que você queira números da loteria. Sinto muito, mas não posso fazer melhor do que você. No entanto, recomendo que você não jogue de jeito nenhum, principalmente se for muito pobre. Parece haver muitos ex-generais e ditadores por lá tentando me transferir 17 milhões de dólares; talvez um deles lhe ofereça uma bolsa de estudos.

Outro Mike S., quais são as chances? Muitos hipódromos permitem o que é chamado de jogos de "classe 2", que devem ser baseados em loteria ou bingo. A maneira de oferecer caça-níqueis sob essa regra é ter um jogo de loteria ou bingo acontecendo nos bastidores e o resultado é exibido na forma de um prêmio da máquina caça-níqueis. Por exemplo, se o jogo de loteria determinar que você ganhou 20 vezes o valor da sua aposta, ele exibirá os símbolos da máquina caça-níqueis que pagam 20. Portanto, é uma ilusão inteligente.

A probabilidade de acertar 6 números entre 49 é 1 em combin (49,6) = 1 em 13.983.816. Esta é também a probabilidade de os seus dois bilhetes coincidirem.

Fiz uma pesquisa e descobri que seis números são escolhidos em cada sorteio. Em qualquer sorteio, a probabilidade de o número 53 não aparecer é combin (89,6)/combin(90,6) = 93,333%. Em dois anos, haveria 208 sorteios. Portanto, a probabilidade de o número 53 não ocorrer em um período específico de dois anos seria de 0,93333 ^/208 = 0,000000585665, ou 1 em 1.707.460.

A probabilidade de um determinado número não ser sorteado em um período de dois anos pode ser aproximada por 90*(1/1.707.460) = 1 em 18.972. A probabilidade real seria ligeiramente menor, pois contei duas vezes os números que não foram sorteados, o que é insignificante. É claro que o histórico de números sorteados não importa na loteria e cada sorteio tem a mesma probabilidade de acertar o número 53.

Primeiro, vamos confirmar essa probabilidade. O jogador deve acertar 5 números regulares de um conjunto de 55 e um Power Ball de um conjunto de 42. A probabilidade de ganhar seria 1 em combin (55,5)*42 = 1 em 146.107.962. Portanto, concordo com a sua probabilidade. Gosto de usar a distribuição de Poisson para questões como a sua. O número médio de ganhos seria 105.000.000/146.107.962 = 0,71865. A fórmula geral para a probabilidade de n vencedores, com uma média de m, é e^ ^(- m * m ⁾ / n!. Neste caso, a média é 0,71865, então a probabilidade de zero é e^ ^(-0,71865 * ^0,71865 ) / 0! = 0,48741. Portanto, a probabilidade de haver pelo menos um vencedor é 1 - 0,48741 = 0,51259. Assim, 0,71865 vencedores terão que dividir 0,51259 do prêmio principal. Isso equivale a 0,51259/0,71865 = 0,71327 prêmios principais por vencedor. Portanto, a divisão do prêmio principal reduz o ganho esperado para 71,327% do valor do prêmio principal, ou uma redução de 28,673%.

A loteria é sempre uma aposta furada! Resumindo, o retorno da opção Powerplay é de 49,28%. O retorno de um bilhete da Powerball sozinho é tão pior que seria melhor comprar bilhetes x/2 com a opção Powerplay do que bilhetes x sem ela. Adicionei detalhes sobre essa opção à minha seção de loteria, caso queira mais informações.

Seja n a sua resposta. A probabilidade de rolar um 7 ou um 11 é 8/36. Para calcular n:

(8/36) ⁿ = 1/41.400.000

log((8/36) ⁿ ) = log(1/41.400.000)

n × log(8/36) = log(1/41.400.000)

n = log(1/41.400.000)/log(8/36)

n = -7,617 / -0,65321

n = 11,6608

Então, pronto, a probabilidade de ganhar na SuperLotto é a mesma que tirar um sete ou um onze 11,66 vezes seguidas. Para quem não entende o conceito de lançamento parcial, eu reformularia dizendo que a probabilidade fica entre 11 e 12 lançamentos consecutivos.

De acordo com o site da Loteria de Indiana, um total de US$ 3.270.000 em prêmios foi distribuído para 325.000 portadores de bilhetes. Isso significa que cada bilhete valeria, em média, US$ 10,615, considerando que todos os bilhetes da série se esgotassem. Com um custo de US$ 20 por bilhete, o retorno seria de 50,31%. Se apenas 60.000 bilhetes fossem vendidos, cada um valeria US$ 54,50, resultando em um retorno de 272,50%. O ponto de equilíbrio seria a venda de 163.500 bilhetes. Se você acredita que menos do que isso será vendido, comprar bilhetes se torna uma boa aposta, desconsiderando impostos e a utilidade do dinheiro.

Consultei os sites das loterias de Nova York e da Califórnia. Ambos indicavam que, se o ganhador falecer antes que todos os pagamentos sejam efetuados, o restante será pago ao herdeiro ou espólio designado pelo ganhador.

É verdade, mas não é tão suspeito quanto você pensa. De acordo com o livro "Understanding Probability: Chance Rules in Everyday Life " de H.C. Tijms, o mesmo conjunto de números foi sorteado em 21 de junho de 1995 e 20 de dezembro de 1986, em sorteios quinzenais. O sorteio de 20 de dezembro de 1986 foi o 3.016º sorteio. O número de combinações em uma loteria 6/49 é combin(49,6) = 13.983.816. A probabilidade de os números do segundo sorteio não corresponderem aos do primeiro é (c-1)/c, onde c é o número de combinações, ou 13.983.816. A probabilidade de o terceiro sorteio produzir um conjunto único de números é (c-2)/c. Assim, a probabilidade de que cada sorteio do 2º ao 3.016º produza números únicos é (c-1)/c × (c-2)/c × ... (c-3.015)/c = 0,722413. Portanto, a probabilidade de haver pelo menos um conjunto de números iguais é 1 - 0,722413 = 0,277587, ou 27,8%. A tabela a seguir mostra a probabilidade de haver pelo menos um par de números iguais sorteado em função do número de anos, considerando dois sorteios por semana.

Probabilidade de acerto de números na loteria 6/49

Anos	Probabilidade
5	0,009640
10	0,038115
15	0,083800
20	0,144158
25	0,215822
30	0,295459
35	0,379225
40	0,463590
45	0,545437
50	0,622090
55	0,691985
60	0,753800
65	0,807008
70	0,851638
75	0,888086
80	0,917254
85	0,940000
90	0,957334
95	0,970225
100	0,971954

Caso você esteja se perguntando, o número de sorteios necessários para que a probabilidade de um sorteio correspondente ultrapasse 50% pela primeira vez é 4.404.

Para benefício de outros leitores, a loteria esportiva da Nova Escócia é como as apostas combinadas fora do tabuleiro em um cassino de Nevada, só que com probabilidades piores. Para que o apostador aleatório obtenha o retorno esperado para uma determinada escolha, ele deve somar o inverso do que cada resultado paga. Em seguida, deve calcular o inverso dessa soma.

Por exemplo, no jogo de futebol americano de segunda-feira à noite, em 9 de novembro de 2009, eles tinham as seguintes opções:

Steelers vencem por 3,5 pontos ou mais: paga 1,9 para cada 1 ponto.
Vitória dos Broncos por 3,5 pontos ou mais: paga 3,25 para 1.
Margem de vitória de 3 ou menos: 3,65 para 1

A soma dos inversos é (1/1,9) + (1/3,25) + (1/3,65) = 1,107981. O inverso desse número é 1/1,107981 = 0,902543. Portanto, o retorno esperado é de 90,25. Para uma aposta combinada, multiplique o retorno de todas as apostas feitas.

Analisei diversos eventos e o retorno por evento variou de 75,4% a 90,3% (conforme o exemplo acima). A média foi de 82,6%. Com base nessa média, aqui está o retorno esperado de acordo com o número de palpites:

2: 68,2%
3: 56,3%
4: 46,5%
5: 38,4%
6: 31,7%

De fato, acredito que esse seja um fator que deva ser considerado, embora seja um tanto secundário, na decisão de comprar um bilhete de loteria. Para responder à sua pergunta, utilizei o valor do prêmio acumulado e os números de vendas encontrados no site lottoreport.com . Analisei os dados da Powerball desde janeiro de 2008, pois esse é o período mais antigo disponível no site. Também consultei os dados da Mega Millions desde junho de 2005, data em que houve uma mudança nas regras. A tabela a seguir resume meus resultados.

Prêmios divididos na Powerball e na Mega Millions

Item	Powerball	Mega Millions
Probabilidade de ganhar o prêmio principal	1 em 195.249.054	1 em 175.711.536
Prêmio médio oferecido	$ 73.569.853	$ 65.792.976
Vendas médias por sorteio	$ 23.051.548	$ 25.933.833
Número médio esperado de vencedores por sorteio	0,118	0,148
Probabilidade média de divisão do prêmio principal por sorteio	0,74%	1,29%
Perda em retorno devido a prêmios compartilhados (sem ajustes)	4,01%	6,59%
Perda em retorno devido a prêmios compartilhados (ajustada)	1,41%	2,31%

Assim, a probabilidade média de um prêmio principal ser dividido é de 0,74% na Powerball e de 1,29% na Mega Millions. À medida que o prêmio principal aumenta e as vendas crescem, a probabilidade de divisão do prêmio também aumenta. A razão pela qual a probabilidade de divisão do prêmio principal é maior na Mega Millions é porque a probabilidade de ganhar é maior e há mais concorrência de outros jogadores.

Considerando todos os fatores, mostro que há uma perda de 4,01% no retorno devido ao compartilhamento do prêmio principal na Powerball e de 6,59% na Mega Millions. No entanto, esses valores não consideram impostos, nem o fato de que os prêmios principais são pagos na forma de anuidades. Para ajustar isso, assumi que o jogador recebe apenas metade do prêmio, seja optando pelo pagamento à vista ou pela perda de valor decorrente da escolha da anuidade. Também assumi que 30% do restante são perdidos em impostos, portanto, o ganhador pode esperar receber 35% após esses dois fatores. Após esse ajuste, mostro uma perda de 1,20% no retorno devido ao compartilhamento do prêmio principal na Powerball e de 1,98% na Mega Millions.

Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .

Você deve estar se referindo ao jogo Ca$h WinFall. Eu fiquei sabendo dele pela primeira vez através do artigo "Um jogo com um ganho inesperado para poucos conhecedores" no site boston.com.

Não é incomum que o prêmio principal em jogos de loteria progressiva fique tão grande que o retorno ultrapasse 100%, antes de considerar impostos, pagamentos em forma de anuidades, as pequenas probabilidades de ganhar e a utilidade decrescente do dinheiro para prêmios enormes. Levando tudo isso em conta, a loteria quase nunca é um bom investimento.

O que diferencia o jogo Ca$h WinFall é que, quando o prêmio acumulado ultrapassa dois milhões de dólares e ninguém o ganha, todo o valor, exceto US$ 500.000, é distribuído entre os prêmios menores. Isso praticamente garante um lucro considerável para grupos com bancas de seis dígitos.

Vamos analisar o sorteio recente de 18 de julho de 2011 como exemplo. Trata-se de um jogo simples de 6 a 46, no qual o jogador escolhe seis números de 1 a 46 e a loteria faz o mesmo. Quanto mais números seus coincidirem com os da loteria, maior será o prêmio. A tabela a seguir mostra a probabilidade e o retorno para cada evento. O prêmio por acertar dois números é um bilhete grátis, que mostro separadamente com o valor de 26 centavos. Cada bilhete custa US$ 2, portanto, a coluna de retorno é o produto da probabilidade e do prêmio, dividido pelo preço do bilhete. A célula inferior direita mostra um retorno esperado de 117%, ou uma vantagem para o jogador de 17%.

Desde que escrevi minha resposta inicial, a Loteria de Massachusetts restringiu o número de bilhetes que cada loja pode vender por dia para 2.500, ou o valor de US$ 5.000, de acordo com o artigo "Loteria restringe jogadores de alto nível" no boston.com. Isso obviamente dificultaria a obtenção de grandes quantias de dinheiro, mas pode ser bom para jogadores com menos recursos, pois deve minimizar a concorrência. Há um limite de dinheiro no "roll down", então quanto menos concorrência, melhor. Eu certamente tentaria jogar se morasse perto de Massachusetts.

Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .

Para quem não conhece a história, a Loteria de Quebec oferece um jogo chamado Extra . A máquina sorteia aleatoriamente um número de 7 dígitos, e o jogador precisa acertar o máximo de dígitos possível, na ordem correta, a partir de um sorteio aleatório. Os dígitos correspondentes podem estar alinhados em qualquer direção. O menor prêmio é de $2 para quem acertar apenas o dígito mais à direita. O maior prêmio é de $1.000.000 para quem acertar todos os sete dígitos.

O que os autores da ação judicial perceberam foi que, ao comprar dez Extras, o jogo escolhia um número de cada numeral para o primeiro e o último dígito. Em outras palavras, se você olhasse apenas para a primeira ou a última posição, veria todos os dez números de 0 a 9. Os autores da ação alegam que isso lhes dá apenas duas chances de ganhar e não é aleatório.

Entendo o ponto de vista deles. Quase toda a variação nesse jogo vem do prêmio de 1.000.000 de dólares. O desvio padrão de dez bilhetes aleatórios completamente independentes seria de 1002,845. No método usado pela Loteria de Quebec, o desvio padrão de dez bilhetes comprados ao mesmo tempo é quase o mesmo, em torno de 1002,833.

Na minha opinião, se o jogador compra vários bilhetes de loteria de escolha aleatória, cada bilhete deve ser independente dos outros. No entanto, considero o processo de 20 milhões de dólares quase totalmente frívolo. Se eu fosse o juiz, concederia aos demandantes apenas 1 dólar.

Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .

A tabela a seguir mostra os três conjuntos de números mais frequentes escolhidos pela Loteria de Quebec . O número de bilhetes corresponde a um total de 366.518 vendidos para o sorteio de 30 de janeiro de 2010. Para quem não reconhece o padrão do terceiro conjunto, esses são os números da série "Lost", que teve um papel importante na trama.

Por extrapolação, se os números 7-14-21-28-35-42 fossem sorteados no jogo Lotto 6/49, o prêmio principal seria dividido entre milhares de jogadores, cada um recebendo apenas 0,03% do prêmio.

Meu conselho, se você insistir em jogar na loteria, é optar pela escolha aleatória.

Não, eu discordo. Trata-se de uma reportagem péssima e o Business Insider deveria se envergonhar disso.

Para começar, o artigo foi publicado em 17 de dezembro de 2013, antes do sorteio de US$ 636 milhões naquela noite. Vamos analisar os cálculos para avaliar o valor de um bilhete de US$ 1. A tabela a seguir mostra a probabilidade e o retorno esperado de todos os resultados possíveis para o prêmio de US$ 636 milhões, antes de considerar fatores como a multa por pagamento único, impostos e a divisão do prêmio. As três maiores probabilidades estão em notação científica porque os números são muito pequenos.


Isso mostra que um ingresso de US$ 1 renderá US$ 2,630864. Após deduzir o dólar que custou o ingresso, o lucro esperado é de US$ 1,630864. O Business Insider recebe US$ 1,632029. Uma diferença de 0,001164, mas nada significativo.

No entanto, existem três fatores que reduzem significativamente o valor:

1. A multa em parcela única.
2. Impostos.
3. Partilha do jackpot.

Vamos analisá-los um de cada vez.

Os grandes prêmios progressivos de loteria geralmente são pagos na forma de uma anuidade de cerca de 30 anos, incluindo a Mega Millions. Se o ganhador quiser o dinheiro todo de uma vez, o que a maioria deseja, ele terá que aceitar uma redução significativa. Isso é justo, pois um dólar hoje vale mais do que um dólar no futuro. No caso do sorteio de 17 de dezembro de 2013, o valor total do prêmio foi reduzido para US$ 347,6 milhões, ou 54,65% do prêmio anunciado.

Em seguida, vamos analisar os impostos. A alíquota máxima do imposto de renda federal é de 39,6%. Os impostos estaduais variam de 0% a 12,3%, então vamos considerar uma média de 6%. Após deduzir 45,6% em impostos, restam US$ 189,1 milhões.

Agora vem a parte mais complicada: a divisão do prêmio principal. Vale ressaltar que, a partir do sorteio de 22 de outubro de 2013, a Mega Millions mudou as regras para um formato 75-15, no qual são sorteados cinco números de 1 a 75 e, em seguida, um número de um conjunto separado de 1 a 15. Isso reduziu as chances de ganhar para 1 em 258.890.850, evidentemente em um esforço para aumentar os prêmios principais. Analisando apenas os 17 sorteios desde então, usando dados de prêmios e vendas do LottoReport.com , constatei uma relação exponencial entre o tamanho do prêmio principal e a demanda. Descobri o mesmo para a loteria Powerball , aliás. Usando regressão exponencial, minha fórmula para o total de bilhetes vendidos (em milhões) é 12,422 × exp(0,0052 × j), onde j é o tamanho do prêmio principal (em milhões). Por exemplo, para um prêmio de US$ 636 milhões, as vendas esperadas seriam de 12,422 * exp(0,0052*636) = 339,2 (milhões). As vendas reais foram de US$ 337 milhões, então bem próximas.

Com base na venda real de 336.545.306 bilhetes, podemos esperar 336.545.306/258.890.850 = 1.300 vencedores. A questão pertinente é: se você ganhar, com quantas outras pessoas você pode esperar dividir o prêmio? Isso é facilmente respondido observando a distribuição de Poisson. Dada uma média de 1,3 vencedores, a probabilidade de haver exatamente x vencedores é exp(1,3)×1,3 ^x /fact(x). A tabela a seguir mostra a probabilidade de haver de 0 a 10 outros vencedores, sua parte do prêmio em cada caso e a parte esperada, supondo que você ganhe.



A célula inferior direita mostra que você pode esperar ficar com 55,96% do dinheiro, e os outros 44,04% irão para aqueles outros vencedores com quem você terá que dividir.

Agora, nosso prêmio acumulado de US$ 636 milhões caiu para US$ 189,1 × 55,96% = US$ 105,8 milhões. Vejamos como fica a tabela de retorno com esse valor como prêmio acumulado.



A célula inferior direita mostra um retorno esperado de 58,29%. Em outras palavras, seu investimento de US$ 1 pode render cerca de 58 centavos, resultando em uma perda esperada, ou vantagem da casa, de aproximadamente 42%. Isso soa como um bom argumento para comprar um bilhete?

Segundo o artigo, "Portanto, desde que sejam vendidos menos de 730 milhões de bilhetes, uma situação bastante provável neste momento, o valor esperado de um bilhete deverá ser positivo, e por isso você deve considerar comprar um bilhete da Mega Millions hoje."

As vendas foram bem inferiores a 730 milhões e, mesmo assim, o produto representou um péssimo negócio. No entanto, para sermos justos, o artigo prosseguiu dizendo o seguinte:

"Tenha em mente que existem muitas ressalvas a esta análise. Os impostos provavelmente afetarão seus ganhos esperados de forma bastante severa — o governo federal ficará com cerca de 40%, e seu estado de residência poderá cobrar de 0% a cerca de 13%."

Muita gente tem comprado bilhetes, e como discutido acima, isso aumentará consideravelmente as chances de empate e a consequente redução do prêmio." — Business Insider

Essas são ressalvas muito importantes! Elas não deveriam ser mencionadas apenas de passagem no final, mas sim levadas em consideração na análise desde o início.

Embora você não tenha perguntado, a matemática me diz que você nunca deveria jogar na Mega Millions. Dada a demanda exponencial por bilhetes, baseada no tamanho do prêmio, acredito que o momento ideal para jogar seja quando o prêmio chega a US$ 545 milhões. Com prêmios maiores que isso, você terá que dividi-lo com muitos outros vencedores. Nesse valor, o jogador pode esperar um retorno de 60,2%, ou uma perda de 39,8%. É o melhor que se pode esperar.

Para concluir, não, eu discordo da Business Insider por enganar os leitores com um título sensacionalista e não fazer uma análise adequada sobre impostos e a divisão de prêmios da loteria.

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

Se ignorarmos os efeitos dos impostos, da anuidade sobre o prêmio acumulado e da divisão do prêmio, então, se o prêmio for superior a US$ 224.191.728, você deve selecionar a opção "Somente Prêmio Acumulado". Se considerarmos esses fatores, você nunca deve selecionar a opção "Somente Prêmio Acumulado", mas sim a opção "Megaplier".

Para obter mais informações, consulte minha página sobre a loteria Mega Millions .

Sim. A vantagem da casa na maioria dos jogos de loteria do tipo loteria é próxima de 50%. Portanto, um jogo hipotético de $2 com um prêmio acumulado de $1.000.000, sem prêmios menores, precisaria ter uma probabilidade de ganho de 0,5*(2/1000000) = 1 em um milhão para manter uma vantagem da casa de 50%.

Eis a minha estratégia para transformar US$ 2 em US$ 1.000.000 com probabilidades melhores do que essa.

• Comece apostando $2 em qualquer número na roleta de duplo zero. Você pode encontrar apostas mínimas de $2 em alguns cassinos de Las Vegas, como o El Cortez e o South Point. Se você ganhar, seu prêmio pode chegar a $72.
• Em seguida, use seus $72 em outra aposta de um único número. Se você ganhar, ficará com $2.592.
• Em seguida, leve esses US$ 2.592 para um dos cassinos de luxo da Strip, como o Wynn, o Venetian ou o Bellagio. Aposte seus US$ 2.592 da roleta na aposta "Banker" no bacará. Faça isso um total de nove vezes, deixando tudo correr a cada aposta. Após a sua nona vitória, você terá acumulado US$ 1.056.687. Sua nona aposta seria de US$ 541.891, que tenho certeza que qualquer um desses cassinos aceitaria se visse você ganhar bem na frente deles.

A probabilidade de ganhar uma aposta em um único número na roleta com duplo zero é de 1/38. A probabilidade de ganhar a aposta no Banqueiro no bacará é de 50,6825%, sem contar os empates. Portanto, a probabilidade de duas vitórias na roleta e nove vitórias no Banqueiro é (1/38)^2 × 0,506825^9 = 1 em 654.404. Essas são probabilidades melhores do que a probabilidade de 1 em um milhão que você teria na loteria, e você ainda ganharia um pouco mais de um milhão de dólares.

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de que um determinado número de jogo tenha exatamente 3 dias iguais em 5. A resposta é COMBIN(5,3)*(1/80)^2*(79/80)^2 = 0,001523682. Isso representa o número de maneiras de escolher os 3 dias iguais em 5, multiplicado pela probabilidade de o segundo e o terceiro dia coincidirem com o primeiro, multiplicado pela probabilidade de os outros dois dias não coincidirem.

Portanto, a probabilidade de não haver uma partida em 3 de 5 dias para qualquer número de jogo dado é 1 - 0,001523682 = 0,9984763.

A probabilidade de isso não acontecer em 300 dias é de 0,9984763 / ³⁰⁰ = 63,29%.

Assim, a probabilidade da alternativa, de haver pelo menos um número de sorteio com 3 em 5 dias correspondendo ao mesmo número do Bulls Eye, é de 36,71%.

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

Não vou entrar em detalhes matemáticos, mas aqui estão os pontos do jackpot onde a probabilidade de haver vários vencedores é a mesma que a de haver apenas um:

• PowerBall: US$ 975 milhões
• Mega Millions: US$ 1,65 bilhão

Embora você não tenha perguntado, aqui estão os prêmios principais onde a probabilidade de haver pelo menos um vencedor é igual à probabilidade de não haver nenhum (50%).

• PowerBall: US$ 704 milhões
• Mega Millions: US$ 867 milhões

Essa questão foi levantada e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

Primeiro, vamos revisar as regras. O valor da aposta é de $2. O jogo consiste em sortear cinco bolas dentre 43. Aqui está a tabela de pagamentos:

• Acerto 5 = Prêmio máximo
• Matemática 4 = $200
• Combine 3 e ganhe $10
• Acerto 2 = $2

Além disso, o jogador recebe o que presumo ser um cartão raspadinha. Este cartão tem 1/80 de chance de pagar $6 e 1/5 de chance de pagar $2.

A tabela a seguir mostra minha análise do jogo base. Ela demonstra que o valor de acertar de 2 a 4 números é de $0,287784.

A tabela a seguir mostra minha análise do recurso de prêmio instantâneo Quick Cash. A célula inferior direita mostra um valor de $0,475.

Assim, o valor dos prêmios não progressivos é de $0,287784 + $0,475000 = $0,762784.

Seja j o valor do prêmio acumulado de equilíbrio. Então:

2 = 0,762784 + j × (1/962598)
1,237216 = j × (1/962598)
j = 1,237216 × 962598
j = $ 1.190.941,95.

A taxa de retorno total é de 0,381392 mais 0,051943 para cada US$ 100.000 no prêmio acumulado.

Conforme mencionado na pergunta, tudo isso ignora impostos e a divisão do prêmio principal.

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

Meu conselho para todas as formas de jogos de azar se baseia em maximizar o retorno que o jogador pode esperar obter com sua aposta. Em meus 25 anos analisando jogos de azar, essa política tem funcionado bem para mim, e você é o primeiro a me criticar por isso.

No entanto, estou sempre aberto a considerar outros pontos de vista. Nesse sentido, vamos considerar um jogador que se importa igualmente com emoção e valor. Esse jogador não ficará satisfeito com jogos de baixa volatilidade, mas sim desejará ganhar tudo ou perder tentando. Para quantificar qualquer aposta desse jogador, criei uma estatística que chamo de Quociente de Emoção. Defino-a como a razão entre o desvio padrão e o elemento de risco. Relembrando, o elemento de risco é a razão entre a perda esperada do jogador e o valor médio apostado ao final da mão (incluindo apostas subsequentes, como dobrar no blackjack e aumentar em variantes de pôquer).

A tabela a seguir mostra o Quociente de Emoção para uma variedade de jogos de cassino e apostas, em ordem decrescente. De fato, ela demonstra que, para um jogador que busca emoção, a Mega Millions oferece a maior emoção pelo dinheiro investido.

*: O cálculo para o prêmio Mega Millions não leva em consideração a anuidade nem os impostos.
**: No Blackjack, são utilizados seis baralhos, o pagamento é de 3 para 2, o dealer pede carta com 17 suave, é permitido dobrar após dividir, desistir é permitido e dividir ases novamente é permitido.

Obrigado pelo comentário e pelo insulto.

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