Jogos que não são de cassino - Perguntas frequentes

Primeiramente, permita-me responder à pergunta não formulada sobre a probabilidade de um número específico aparecer n vezes em uma nota aleatória. Uma nota possui 8 dígitos, portanto, a probabilidade de um número específico aparecer n vezes é dada por combin(8,n)* ^0,1n *0,9 ^{= 8-n} / 10 = ^8. A seguir, uma tabela mostrando a probabilidade de um número específico aparecer de 0 a 8.

A próxima tabela mostra a probabilidade de cada tipo possível de nota, categorizada pelo número de cada nota de um mesmo tipo (n-of-a-kind). Por exemplo, o número de série 66847680 teria uma nota de três notas do mesmo tipo, um par e três notas individuais, resultando em uma probabilidade de 0,1693440.


carvalho = "de um tipo"

Para mais informações, consulte minha página sobre pôquer de mentirosos .

Seu ganho esperado é o mesmo, independentemente de quantas vezes você divida o total dos seus depósitos. Uma boa estratégia seria depositar e sacar o mesmo valor repetidamente, o máximo de vezes possível. No entanto, suas chances podem ser tão baixas que não valha a pena o esforço.

A probabilidade de três acertos é 1/216. A probabilidade de dois acertos é 3*5/216. A probabilidade de um acerto é 25*5/216. A probabilidade de nenhum acerto é 5*5*5/216. Portanto, o retorno esperado é 3*(1/216)+2*(15/216)+1*(75/216)-1*(125/216)=-17/216=-7,87%. Não existe um número ideal de apostas; você perderá, independentemente da sua estratégia, 7,87% do valor total apostado.

Essas apostas podem ser feitas tanto no sic bo quanto no chuck a luck .

Essa é provavelmente a pergunta que mais me fazem e para a qual não tenho resposta. Nunca foi feito um jogo completo de Paciência Klondike. Talvez, quando os computadores forem milhões de vezes mais rápidos, alguém eventualmente o faça. No entanto, há rumores de que os cassinos de Las Vegas ofereciam o jogo pelo menos na década de 1950. Já pedi a vários veteranos de Las Vegas para confirmarem essa informação, mas nenhum deles conseguiu, até agora.

A cada novo lançamento, a probabilidade de os próximos quatro lançamentos serem todos de dois seis é (1/36) ⁴ = 1 em 1679616.

Comece removendo 2 pérolas da fileira com 3, deixando 1+4+5. Independentemente do que seu oponente fizer na sua próxima jogada, deixe-o com uma das seguintes opções: 1+1+1, 1+2+3 ou 4+4. Com qualquer uma delas, force o oponente a uma situação com duas pilhas de 2 ou mais pérolas cada, ou um número ímpar de pilhas de 1 pérola cada.

Eu prefiro o conjunto laranja. Ele oferece o melhor retorno sobre o investimento. Por exemplo, um hotel custa US$ 500 no conjunto laranja e o aluguel médio é de US$ 966,67, resultando em uma relação aluguel/despesa de 1,93. O único conjunto com uma relação maior é o azul claro, com 2,27. No entanto, o aluguel máximo no azul claro é de apenas US$ 600. Os aluguéis com três casas no conjunto laranja são os mesmos que os dos hotéis no azul claro, mas custam 20% menos, com espaço para construir mais. Além disso, o conjunto laranja é ideal para quem está saindo da prisão. Portanto, siga meu conselho e, ao negociar, tente conseguir o conjunto laranja.

O melhor conselho deste site talvez seja este: na primeira rodada, SEMPRE ESCOLHA PAPEL. Isso porque jogadores amadores tendem a escolher pedra na primeira vez. Simplesmente estenda a mão em cada posição, uma de cada vez, e você verá que pedra é a escolha mais confortável e natural. Se você jogar rodadas repetidas, escolha o que venceria seu oponente na última rodada com probabilidade menor que um terço. Isso porque acredito que amadores repetem menos de um terço das vezes. Se estiver jogando contra um profissional que você teme que possa te desestabilizar, randomize olhando o ponteiro dos segundos do seu relógio, divida o número de segundos por três e pegue o resto. Em seguida, atribua o resto da seguinte forma: 0 = pedra, 1 = tesoura, 2 = papel (ou qualquer outra atribuição, desde que determinada com antecedência). Então, da próxima vez que for a um restaurante no estilo holandês, sugiro jogar uma única rodada para pagar a conta e depois escolher papel. Você me agradecerá depois.

Para quem não conhece o jogo, Risk é o melhor jogo de tabuleiro já criado. Quem nunca jogou não viveu de verdade. Respondendo à sua pergunta sobre uma partida comum de 3 contra 2, os resultados possíveis são os seguintes:

• O defensor perde em ambos os quesitos: 37,17%
• Cada um perde um: 33,58%
• O atacante perde em ambos os aspectos: 29,26%

A tabela a seguir mostra a probabilidade de sucesso na última jogada, de acordo com o número de dados adicionais necessários para formar um Yahtzee.

A próxima tabela mostra as probabilidades de melhoria. A coluna da esquerda mostra quantos dados você precisa antes de qualquer lançamento e a coluna superior mostra quantos você precisa depois do lançamento. O corpo da tabela mostra a probabilidade do grau de melhoria indicado.

A próxima tabela mostra a probabilidade, na jogada inicial, de precisar de 0 a 4 dados adicionais para formar um Yahtzee.

A próxima tabela mostra a probabilidade de melhoria e, consequentemente, de sucesso, de acordo com o número de dados necessários após a primeira jogada. Por exemplo, se o jogador precisar de mais 3 dados para fazer um Yahtzee, a probabilidade de precisar de apenas 2 dados após a segunda jogada e conseguir o Yahtzee na terceira jogada é de 0,010288066.

Para obter a resposta final, calcule o produto escalar do número necessário após a primeira rolagem, duas tabelas acima, e a probabilidade de sucesso final na coluna final, uma tabela acima. Isso resulta em 0,092593*0,012631 + 0,694444*0,029064 + 0,192901*0,093364 + 0,019290*0,305556 + 0,000772*1 = 4,6028643%. Para confirmar esse resultado, realizei uma simulação com 100.000.000 de jogos, e a probabilidade simulada foi de 4,60562%.

Primeiro, podemos descartar completamente a possibilidade de jogar com papel. Independentemente do que a outra pessoa jogar, você se sairá melhor ou até mais rápido jogando dinamite do que com papel. Uma vez eliminado o papel, a dinamite essencialmente se torna o novo papel, vencendo pedra e perdendo para tesoura. Portanto, a estratégia perfeita é escolher aleatoriamente, e com igual probabilidade, entre pedra, tesoura e dinamite.

Fiz essa pergunta a Randy Hill, da Fun Industries Inc. Ele disse que você deve estender os braços, com as palmas das mãos voltadas para baixo, e deixar o dinheiro se acumular contra a parte inferior das mãos e dos braços. Quando tiver acumulado o suficiente, você o coloca na fenda.

Vamos chamar de x o número esperado de lançamentos a partir do ponto inicial.
Vamos chamar de y o número esperado de lançamentos restantes se um lado estiver com um lançamento a mais que o outro.
Vamos chamar de z o número esperado de lançamentos restantes se um dos lados estiver com dois lançamentos a mais que o outro.

E(x) = 1 + E(y)
E(y) = 1 + 0,5*E(x) + 0,5*E(z)
E(z) = 1 + 0,5*E(y)

É fácil perceber, por meio de álgebra matricial, que E(x) = 9, E(y) = 8 e E(z) = 5. Portanto, em média, serão necessárias 9 jogadas para que a diferença entre cara e coroa seja de 3. Assim, com uma aposta de 8 rúpias, é uma boa aposta para quem recebe uma rúpia por jogada, pois receberá em média 9 rúpias, mas terá um retorno de apenas 8. A vantagem da casa para o apostador é de 11,11%. Com 9 rúpias, é uma aposta justa; com 7 rúpias, a vantagem da casa é de 22,22%.

Na coluna de 28/11/2002, explico como jogar quando restam apenas três fileiras. Aqui está minha estratégia para quatro fileiras. Quando for sua vez, consulte a configuração na coluna da esquerda e jogue o que estiver na coluna da direita. Por exemplo, a posição inicial 3456 está listada por último e mostra que você deve remover 4 pérolas da fileira com 5, restando 1346. Se a coluna da esquerda indicar "Perder", não há como vencer se o oponente jogar a estratégia ideal, o que o jogo no Transcience sempre parece fazer.

Um padrão nesta tabela parece ser o de forçar o oponente a uma situação em que a soma das pérolas nas fileiras menor e maior seja igual à soma das duas fileiras do meio. Isso incluiria deixar zero na fileira com o menor número de pérolas.

Brad S. escreveu para acrescentar uma estratégia geral para qualquer número de pérolas e linhas. Primeiro, você decompõe cada linha em seus componentes binários. Por exemplo, a posição inicial do jogo Transcience seria a seguinte.

• 3 = 2+1
• 4 = 4
• 5 = 4+1
• 6 = 4 + 2

Em seguida, você tenta deixar um número par de cada potência de 2. Por exemplo, no exemplo acima, há dois 1, dois 2 e três 4. Portanto, há um 4 extra. Depois, você remove 4 de qualquer uma das linhas que contenham um termo 4. Continue fazendo isso até que seu oponente fique com 2, 2 ou um número ímpar de 1.

Experimente esta estratégia no jogo Pearl 3 , você ganhará sempre. Se você começar com um cenário perdedor, como eu fiz no jogo 10 (4+7+8+11), você pode clicar em "ir" para que ele jogue primeiro.

Você está no caminho certo com os números binários, mas essa não é exatamente a estratégia vencedora. Primeiro, se você puder deixar seu oponente com um número ímpar de linhas com apenas um elemento cada, faça isso. Caso contrário, decomponha cada linha em seus componentes binários. Por exemplo, 99 seria 64 + 32 + 2 + 1. Em seguida, some o número de cada componente em todas as linhas. Depois, procure uma jogada que deixe seu oponente com um número par de todos os componentes binários em todas as linhas.

Vejamos um exemplo. Suponha que seja a sua vez, com o seguinte cenário.

A tabela a seguir detalha cada linha em seus componentes binários.

Turno do Jogador 1

Linha	1	2	4	8	16
6	0	1	1	0	0
9	1	0	0	1	0
4	0	0	1	0	0
5	1	0	1	0	0
25	1	0	0	1	1
Total	3	1	3	2	1

Você pode ver que há um número ímpar de uns, dois, quatros e dezesseis. Claramente, precisamos reduzir a linha de 25 para menos de 16 para eliminar a unidade 16. Para manter o total dos componentes binários par, precisamos remover o 1, adicionar um 2, adicionar um 4, manter o 8 e remover o 16. Isso significa que a melhor jogada é 2+4+8=14 na última linha. Deixando 14 na última linha, temos o seguinte.

Turno do computador 1

Linha	1	2	4	8	16
6	0	1	1	0	0
9	1	0	0	1	0
4	0	0	1	0	0
5	1	0	1	0	0
14	0	1	1	1	0
Total	2	2	4	2	0

O computador faz a sua parte, deixando-nos com isto.

Aqui está a análise binária disso.

Turno do Jogador 2

Linha	1	2	4	8	16
6	0	1	1	0	0
9	1	0	0	1	0
2	0	1	0	0	0
5	1	0	1	0	0
14	0	1	1	1	0
Total	2	3	3	2	0

Aqui precisamos remover um 2 e um 4 para que os totais fiquem iguais. Há apenas uma linha, a 14, que contém ambos os componentes. Portanto, remova 6 dessa linha, restando 8.

Turno do Computador 2

Linha	1	2	4	8	16
6	0	1	1	0	0
9	1	0	0	1	0
2	0	1	0	0	0
5	1	0	1	0	0
8	0	0	0	1	0
Total	2	2	2	2	0

O computador faz a sua parte, deixando-nos com isto.

Agora precisamos alterar as colunas 1, 4 e 8.

Turno do Jogador 3

Linha	1	2	4	8	16
6	0	1	1	0	0
4	0	0	1	0	0
2	0	1	0	0	0
5	1	0	1	0	0
8	0	0	0	1	0
Total	1	2	3	1	0

Isso pode ser feito alterando a linha de 8 para 5, da seguinte forma.

Turno do Computador 3

Linha	1	2	4	8	16
6	0	1	1	0	0
4	0	0	1	0	0
2	0	1	0	0	0
5	1	0	1	0	0
5	1	0	1	0	0
Total	2	2	4	0	0

O computador faz a sua parte, deixando-nos com isto.

Agora precisamos alterar os totais de 2 e 4.

Turno do Jogador 4

Linha	1	2	4	8	16
6	0	1	1	0	0
4	0	0	1	0	0
2	0	1	0	0	0
5	1	0	1	0	0
3	1	1	0	0	0
Total	2	3	3	0	0

Isso pode ser feito alterando o 6 para 0.

Turno 4 do computador

Linha	1	2	4	8	16
0	0	0	0	0	0
4	0	0	1	0	0
2	0	1	0	0	0
5	1	0	1	0	0
3	1	1	0	0	0
Total	2	2	2	0	0

O computador faz a sua parte, deixando-nos com isto.

Agora precisamos trocar os números 2 e 4.

Turno do Jogador 5

Linha	1	2	4	8	16
0	0	0	0	0	0
2	0	1	0	0	0
2	0	1	0	0	0
5	1	0	1	0	0
3	1	1	0	0	0
Total	2	3	1	0	0

Isso pode ser conseguido alterando a linha de 5 para 3. Se você conseguir levar seu oponente a uma situação x,x,y,y, você certamente vencerá, desde que consiga manter essa situação até o final.

Turno do Computador 5

Linha	1	2	4	8	16
0	0	0	0	0	0
2	0	1	0	0	0
2	0	1	0	0	0
3	1	1	0	0	0
3	1	1	0	0	0
Total	2	4	0	0	0

Nas próximas jogadas, mantenho o computador nos padrões x,x,y,y. Aqui, o computador me deixa com 2,2,3,2; então, eu o deixo com 2,2,2,2.

O computador então me dá 2,2,1,2. Eu o deixo com 2,2,1,1.

O computador então me deixa com 2, 2, 1. Eu o deixo com 2, 2. Se você conseguir fazer com que seu oponente fique com duas fileiras iguais, você certamente ganhará; basta manter as fileiras iguais.

O computador então me deixa com uma única pilha de 2, e eu removo 1.

Aqui termina o jogo.

Portanto, existem 30 números pretos, 30 vermelhos e 4 verdes. Isso tornaria a probabilidade de sair um preto 30/64, um vermelho 30/64 e um verde 4/64. Se a probabilidade de um evento é p, então a probabilidade justa é de (1-p)/p para 1. Assim, a probabilidade justa para qualquer vermelho seria (34/64)/(30/64) = 34 para 30 = 17 para 15. O mesmo vale para o preto. A probabilidade justa para o verde é (60/64)/(4/64) = 60 para 4 = 15 para 1. Para um número específico, a probabilidade justa é de (63/64)/(1/64) para 63 para 1.

Sugiro pagar 1 para 1 no vermelho e no preto, 14 para 1 no verde e 60 para 1 em qualquer número individual. Uma fórmula para a vantagem da casa é (ta)/(t+1), onde t é a probabilidade real e a é a probabilidade verdadeira. Nesse caso, a vantagem da casa na aposta em vermelho ou preto é (63-60)/(63+1) = 3/64 = 4,69%. Na aposta em verde, a vantagem da casa é (15-14)/(15+1) = 1/16 = 6,25%. Em números individuais, a vantagem da casa é (63-60)/(63+1) = 3/64 = 4,69%.

As máquinas de videoloteria (VLTs) são jogos de raspadinha sofisticados. Existe um conjunto predeterminado de resultados. Quando você joga, o jogo escolhe um resultado aleatoriamente desse conjunto e exibe o prêmio para o jogador na forma de uma máquina caça-níqueis ou jogo de videopôquer. Como o resultado é predeterminado, qualquer elemento de habilidade é imaginário. Por exemplo, se você receber um royal flush e descartá-lo, receberá outro na próxima rodada. Normalmente, digo que, em jogos de azar, o passado não importa, mas, neste caso, há um efeito de descarte. Se você jogar uma vez e perder, isso aumentará marginalmente as chances dos resultados restantes do jogo, até que o estoque de raspadinhas virtuais se esgote e, presumo, o tambor virtual seja reabastecido. Acredito que suas oscilações entre vitórias e derrotas sejam apenas sorte normal e que qualquer predestinação seja imaginária.

Um leitor acrescentou posteriormente o seguinte a este tópico.

Tenho um comentário sobre sua coluna "Pergunte ao Mágico" de 14 de fevereiro (nº 183). Não tem muita relação com a pergunta que você respondeu. É apenas algo que você talvez ache interessante.

Antes da aprovação da Proposição 1A, que permitiu a implementação completa dos jogos de Classe 3, tínhamos uma pequena instalação de máquinas de videoloteria (VLT) por alguns anos. Em nosso sistema, operado pela SDG (agora parte da Bally), o prêmio inicial era de 4 milhões de sorteios. Quando o prêmio era reduzido para 2 milhões, um novo prêmio de 4 milhões era adicionado, totalizando 6 milhões de sorteios. Quando o prêmio era reduzido novamente para 2 milhões, o processo se repetia.

Supondo que o jogador sempre tenha o número mais representado, a média é 11,09. Aqui está uma tabela mostrando a distribuição do número de lançamentos de dados em uma simulação aleatória de 82,6 milhões de tentativas.

Experimento Yahtzee

Rolls	ocorrências	Probabilidade
1	63908	0,00077371
2	977954	0,0118396
3	2758635	0,0333975
4	4504806	0,0545376
5	5776444	0,0699327
6	6491538	0,0785901
7	6727992	0,0814527
8	6601612	0,0799227
9	6246388	0,0756221
10	5741778	0,0695131
11	5174553	0,0626459
12	4591986	0,0555931
13	4022755	0,0487016
14	3492745	0,042285
15	3008766	0,0364257
16	2577969	0,0312103
17	2193272	0,0265529
18	1864107	0,0225679
19	1575763	0,019077
20	1329971	0,0161013
21	1118788	0,0135446
22	940519	0,0113864
23	791107	0,00957757
24	661672	0,00801056
25	554937	0,00671837
26	463901	0,00561624
27	387339	0,00468933
28	324079	0,00392347
29	271321	0,00328476
30	225978	0,00273581
31	189012	0,00228828
32	157709	0,00190931
33	131845	0,00159619
34	109592	0,00132678
35	91327	0,00110565
36	76216	0,00092271
37	63433	0,00076795
38	52786	0,00063906
39	44122	0,00053417
40	36785	0,00044534
41	30834	0,00037329
42	25494	0,00030864
43	21170	0,0002563
44	17767	0,0002151
45	14657	0,00017745
46	12410	0,00015024
47	10299	0,00012469
48	8666	0,00010492
49	7355	0,00008904
50	5901	0,00007144
51	5017	0,00006074
52	4227	0,00005117
53	3452	0,00004179
54	2888	0,00003496
55	2470	0,0000299
56	2012	0,00002436
57	1626	0,00001969
58	1391	0,00001684
59	1135	0,00001374
60	924	0,00001119
61	840	0,00001017
62	694	0,0000084
63	534	0,00000646
64	498	0,00000603
65	372	0,0000045
66	316	0,00000383
67	286	0,00000346
68	224	0,00000271
69	197	0,00000238
70	160	0,00000194
71	125	0,00000151
72	86	0,00000104
73	79	0,00000096
74	94	0.00000114
75	70	0,00000085
76	64	0,00000077
77	38	0,00000046
78	42	0,00000051
79	27	0,00000033
80	33	0,0000004
81	16	0,00000019
82	18	0,00000022
83	19	0,00000023
84	14	0,00000017
85	6	0,00000007
86	4	0,00000005
87	9	0,00000011
88	4	0,00000005
89	5	0,00000006
90	5	0,00000006
91	1	0,00000001
92	6	0,00000007
93	1	0,00000001
94	3	0,00000004
95	1	0,00000001
96	1	0,00000001
97	2	0,00000002
102	1	0,00000001
Total	82600000	1

Gamão é um dos meus jogos de azar favoritos. Não costumo escrever sobre ele porque partidas jogador contra jogador são extremamente difíceis de analisar. Além disso, não consigo encontrar nenhuma novidade interessante para explorar no jogo. Portanto, deixarei as dicas para outros. Aqui estão os recursos que sugiro:

Gamão, de Paul Magriel: Se existisse uma Bíblia do gamão, seria este livro. Sou um orgulhoso proprietário de uma antiga edição de capa dura. Este livro seria um ótimo ponto de partida. Embora tenha sido escrito em 1976, os conselhos ainda são válidos.

501 Problemas Essenciais de Gamão, de Bill Robertie: Há anos tento terminar este livro e ainda estou apenas na metade. É desanimador errar metade dos problemas, o suficiente para me fazer pensar que sou tão ruim em gamão quanto em golfe. No entanto, a cada problema errado, há uma lição valiosa a ser aprendida. Para jogadores de nível intermediário a avançado, este livro é uma ferramenta de aprendizado valiosa e, ao mesmo tempo, inspiradora.

Software de gamão Snowie : Jogo cerca de 1000 partidas por ano contra este jogo. O Snowie não só simula uma partida quase perfeita, como também indica exatamente o custo dos seus erros, assim que você os comete. Há muitas outras funcionalidades que eu nunca explorei. Se há uma coisa que aprendi com o Snowie, é que o maior problema no meu jogo são os erros crassos de não enxergar jogadas perfeitamente óbvias. Assim como no xadrez, um movimento ruim pode anular 100 bons movimentos.

Site da Motif : Antes de comprar o Snowie, joguei inúmeras partidas contra a Motif. A estratégia usada pela Motif é muito sólida, na minha opinião. Não há nada como jogar contra um oponente mais forte para aprimorar o seu próprio jogo.

A tabela a seguir mostra a probabilidade de cada jogador ganhar, de acordo com a primeira rodada do primeiro jogador, onde o jogador 1 joga primeiro, seguido pelo jogador 2 e, por último, o jogador 3. A última linha mostra as probabilidades gerais de vitória, antes da primeira rodada.

Probabilidades no Confronto do Showcase do The Price is Right

Giro 1	Estratégia	Jogador 1	Jogador 2	Jogador 3
0,05	rodar	20,59%	37,55%	41,85%
0,10	rodar	20,59%	37,55%	41,86%
0,15	rodar	20,57%	37,55%	41,87%
0,20	rodar	20,55%	37,55%	41,9%
0,25	rodar	20,5%	37,56%	41,94%
0,30	rodar	20,43%	37,56%	42,01%
0,35	rodar	20,33%	37,58%	42,10%
0,40	rodar	20,18%	37,60%	42,22%
0,45	rodar	19,97%	37,64%	42,39%
0,50	rodar	19,68%	37,71%	42,61%
0,55	rodar	19,26%	37,81%	42,93%
0,60	rodar	18,67%	37,96%	43,36%
0,65	rodar	17,86%	38,21%	43,93%
0,70	ficar	21,56%	38,28%	40,16%
0,75	ficar	28,42%	35,21%	36,38%
0,80	ficar	36,82%	31,26%	31,92%
0,85	ficar	46,99%	26,35%	26,66%
0,90	ficar	59,17%	20,36%	20,47%
0,95	ficar	73,61%	13,19%	13,21%
1,00	ficar	90,57%	4,72%	4,72%
Média		30,82%	32,96%	36,22%

Aqui está o número de combinações vencedoras dentre as 6 possíveis no ^{jogo 6x20} .

Jogador 1: 118.331.250
Jogador 2: 126.566.457
Jogador 3: 139.102.293

Na forma como você joga, onde uma combinação na terceira carta resulta em empate, as probabilidades ficam a seu favor quando há pelo menos seis valores diferentes entre as duas primeiras cartas (uma diferença de seis cartas). No meu caso, em Orange County, uma combinação na terceira carta resultava em uma dupla derrota. Nessa regra, as probabilidades ficam equilibradas com uma diferença de oito cartas. Se uma combinação na terceira carta resultar em uma derrota simples (1x), então você precisa de uma diferença de sete cartas para que as probabilidades estejam a seu favor.

Espero que esteja feliz; passei o dia todo nisso. A resposta e a solução podem ser encontradas no meu outro site mathproblems.info , problema 203, ou no artigo acadêmico "Game Theory and Poker" de Jason Swanson.

Para o benefício de outros leitores, um ponto é uma comissão cobrada pelo empréstimo. Por exemplo, em um empréstimo de US$ 250.000, um ponto seria de US$ 2.500. Vou presumir que o mutuário adicionaria o ponto ao saldo principal e nunca amortizaria o principal antecipadamente.

A tabela a seguir mostra a taxa de juros equivalente sem o ponto, de acordo com a taxa de juros com um ponto e o prazo.

Taxa de juros equivalente sem pontos

Taxa de juros com um ponto	10 anos	15 anos	20 anos	30 anos	40 anos
4,00%	4,212%	4,147%	4,115%	4,083%	4,067%
4,25%	4,463%	4,398%	4,366%	4,334%	4,318%
4,50%	4,714%	4,649%	4,617%	4,585%	4,570%
4,75%	4,965%	4,900%	4,868%	4,836%	4,821%
5,00%	5,216%	5,151%	5,119%	5,088%	5,073%
5,25%	5,467%	5,402%	5,370%	5,339%	5,324%
5,50%	5,718%	5,654%	5,621%	5,590%	5,576%
5,75%	5,969%	5,905%	5,873%	5,842%	5,827%
6,00%	6,220%	6,156%	6,124%	6,093%	6,079%
6,25%	6,471%	6,407%	6,375%	6,344%	6,330%
6,50%	6,723%	6,658%	6,626%	6,596%	6,582%
6,75%	6,974%	6,909%	6,878%	6,847%	6,834%
7,00%	7,225%	7,160%	7,129%	7,099%	7,085%
7,25%	7,476%	7,412%	7,380%	7,350%	7,337%
7,50%	7,727%	7,663%	7,631%	7,602%	7,589%
7,75%	7,978%	7,914%	7,883%	7,853%	7,841%
8,00%	8,229%	8,165%	8,134%	8,105%	8,093%
8,25%	8,480%	8,416%	8,385%	8,357%	8,344%
8,50%	8,731%	8,668%	8,637%	8,608%	8,596%
8,75%	8,982%	8,919%	8,888%	8,860%	8,848%
9,00%	9,233%	9,170%	9,140%	9,112%	9,100%
9,25%	9,485%	9,421%	9,391%	9,363%	9,352%
9,50%	9,736%	9,673%	9,642%	9,615%	9,604%
9,75%	9,987%	9,924%	9,894%	9,867%	9,856%
10,00%	10,238%	10,175%	10,145%	10,119%	10,108%

Isso demonstra que uma taxa de juros de 5,75% com um ponto é equivalente a 5,842% sem pontos. Em outras palavras, o pagamento seria o mesmo em ambos os casos, considerando que o ponto cobrado seja adicionado ao saldo principal. Sua outra oferta era de 5,875% sem pontos, que é superior a 5,842%, portanto, eu optaria pelos 5,75% com o ponto.

PS: Para quem estiver curioso sobre como resolvi o problema do "i", usei a função de taxa do Excel.

Segundo o livro "Life: the Odds (and How to Improve Them)" de Gregory Baer, a probabilidade de um hole-in-one em um buraco par 3 no PGA Tour é de 1 em 2491. Acredito que essas distâncias se enquadram na categoria de par 3.

Um handicap de 1 é muito bom, então não vou dar muito desconto em comparação com os jogadores do PGA Tour. Digamos que a probabilidade do seu filho acertar um buraco par 3 seja de 1 em 3.000. Um campo de golfe típico tem cerca de quatro buracos par 3. Digamos que seu filho jogue todos os dias. Isso daria 28 buracos par 3 por semana. A probabilidade de fazer exatamente dois hole-in-ones seria combin (28,2)×(1/3000) ² ×(2999/3000) ²⁶ = 1 em 24.017.

Para simplificar, vamos ignorar o fato de que, quanto mais bilhetes você compra, menor se torna o valor de cada bilhete, pois você está competindo consigo mesmo. Dito isso, a probabilidade de perder todos os cinco bilhetes é (12/13) ⁵ = 67,02%. Portanto, a probabilidade de ganhar pelo menos um prêmio é de 32,98%. Há um total de 7033 × 13 = 91.429 bilhetes no tambor antes de você comprar qualquer um. 91.429 - 40 = 91.389 não são prêmios grandes. A probabilidade de não ganhar nenhum prêmio grande com cinco bilhetes é (91.389/91.429) ⁵ = 99,78%. Portanto, a probabilidade de ganhar pelo menos um prêmio grande é de 0,22%, ou 1 em 458.

Probabilidades para o naipe longo em Copas

Cartões	Combinações	Probabilidade
4	222766089260	0,35080524800183
5	281562853572	0,44339660045899
6	105080049360	0,16547685914958
7	22394644272	0,03526640326564
8	2963997036	0,00466761219692
9	235237860	0,00037044541245
10	10455016	0,00001646424055
11	231192	0,00000036407412
12	2028	0,00000000319363
13	4	0,00000000000630
Total	635013559600	1

O número médio de cartas no naipe longo é 4,9.

Primeiramente, a "regra dos 72" é uma aproximação do tempo necessário para dobrar seu dinheiro, não uma resposta exata. A tabela a seguir mostra os valores da "regra dos 72" e o número exato de anos para diversas taxas de juros anuais.

Por que 72? Não precisa ser exatamente 72. Esse é apenas o número que funciona bem para taxas de juros realistas que você provavelmente encontrará em um investimento. Ele funciona quase exatamente para uma taxa de juros de 7,8469%. Não há nada de especial em 72, como há em π ou e. Por que qualquer número funciona? Se a taxa de juros for i, então vamos calcular o número de anos (y) necessários para dobrar um investimento.

2 = (1+i) ^y
ln(2) = ln(1+i) ^y
ln(2)= y×ln(1+i)
y = ln(2)/ln(1+i)

Esta pode não ser a minha melhor resposta de sempre, mas tente seguir esta lógica: seja y=ln(x).
dy/dx=1/x.
1/x ≈ x para valores de x próximos de 1.
Assim, dy/dx ≈ 1 para valores de x próximos de 1.
Portanto, a inclinação de ln(x) será próxima de 1 para valores de x próximos de 1.
Portanto, a inclinação de ln(1+x) será próxima de 1 para valores de x próximos de 0.
A "regra de 72" diz que 0,72/i =~ 0,6931/ln(1+i).
Estabelecemos que i e ln(1+i) são semelhantes para valores de i próximos de 0.
Assim, 1/i e 1/ln(1+i) são semelhantes para valores de i próximos de 0.
Usar 72 em vez de 69,31 ajusta as diferenças entre i e ln(1+i) para valores de i em torno de 8%.

Espero que isso faça algum sentido. Meus conhecimentos de cálculo estão bem enferrujados; levei horas para explicar isso para mim mesmo.

Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .

O nome que a indústria dá a esse jogo é Razzle Dazzle. Lembro-me de tê-lo visto no sul da Califórnia quando criança e, no ano passado, em San Felipe, no México. Geralmente, ele é adaptado para se parecer com um jogo de futebol. Na minha opinião, esse jogo é o pior dos golpes em parques de diversões. O estado de Nova York deveria ter vergonha de permiti-lo. Segundo algumas pesquisas, as regras variam de lugar para lugar, mas a essência do golpe é sempre a mesma.

Baseia-se na mesma ilusão da aposta de campo no craps. Para aqueles que não estão familiarizados com a aposta de campo, o jogador ganha se a soma do lançamento de dois dados for 2, 3, 4, 9, 10, 11 ou 12. Os números perdedores são 5, 6, 7 e 8. As vitórias pagam o mesmo valor apostado, exceto o 2, que paga 2 para 1, e o 12, que paga 3 para 1 (exceto nos cassinos Harrah's, onde o pagamento é de 2 para 1 apenas no 12). O jogador com dificuldades em matemática pode erroneamente concluir que é uma boa aposta porque existem 7 totais vencedores e apenas 4 perdedores. A razão pela qual as probabilidades favorecem a casa é que os números perdedores têm a maior probabilidade de serem lançados.

Aqui estão as regras específicas do Razzle Dazzle, conforme extraídas do artigo "Probabilidades de Ganhar um Determinado Jogo de Parque de Diversões" , de Donald A. Berry e Ronald R. Regal, publicado na edição de novembro de 1978 da revista The American Statistician.

1. O objetivo do jogo é avançar 100 jardas pelo campo de futebol. O jogador receberá algum tipo de prêmio ao conseguir.
2. O jogador começa a pagar uma taxa específica por partida, como por exemplo, 1 dólar.
3. O jogador irá espalhar 8 bolinhas de gude em uma grade de 11 por 13. Cada bolinha cairá em um dos 143 buracos.
4. Cada buraco possui uma pontuação de 1 a 6. A tabela a seguir mostra a frequência de cada pontuação.
   
   

   Distribuição de Pontos Razzle Dazzle

   Pontos	Número a bordo	Probabilidade
   1	11	0,076923
   2	19	0,132867
   3	39	0,272727
   4	44	0,307692
   5	19	0,132867
   6	11	0,076923
   Total	143	1.000000

5. O total de pontos será somado. O funcionário do parque de diversões consultará a tabela de conversão para verificar quantos metros o jogador avança. A tabela de conversão é mostrada abaixo.
   
   

   Gráfico de Conversão Razzle Dazzle

   Pontos	Quintais Ganho
   8	100
   9	100
   10	50
   11	30
   12	50
   13	50
   14	20
   15	15
   16	10
   17	5
   18 a 38	0
   39	5
   40	5
   41	15
   42	20
   43	50
   44	50
   45	30
   46	50
   47	100
   48	100

6. Se o jogador rolar um total de 29, a taxa para todas as rolagens subsequentes será dobrada, e o jogador receberá um prêmio extra se e quando chegar ao outro lado do campo de futebol.

A média de pontos por bolinha de gude é 3,52, e o desvio padrão é 1,31. Observe como 3 e 4 pontos têm a maior probabilidade. Isso mantém o desvio padrão baixo e a soma de muitas bolinhas de gude próxima do esperado. Em comparação, o desvio padrão do lançamento de um único dado é 1,71.

Em seguida, observe como há 20 totais vencedores e 21 totais perdedores na tabela de conversão de jardas. O tipo de apostador que aposta em jogos de parque de diversões pode concluir erroneamente que sua probabilidade de avançar é de 20/41 ou 48,8%. Não me surpreenderia se os operadores do parque de diversões afirmassem falsamente que essas eram as probabilidades de avançar. No entanto, assim como na aposta no campo, os resultados mais prováveis não rendem nenhum prêmio.

A próxima tabela mostra a probabilidade de cada número de pontos por turno, jardas ganhas e jardas esperadas ganhas. A célula inferior direita mostra que a média de jardas ganhas por turno é de 0,0196.

Jardas esperadas por turno

Pontos	Probabilidade	Quintais Ganho	Esperado Quintais Ganho
8	0,00000000005	100	0,00000000464
9	0,00000000176	100	0,00000017647
10	0,00000002586	50	0,00000129285
11	0,00000022643	30	0,00000679305
12	0,00000143397	50	0,00007169849
13	0,00000713000	50	0,00035650022
14	0,00002926510	20	0,00058530196
15	0,00010234709	15	0,00153520642
16	0,00031168305	10	0,00311683054
17	0,00083981462	5	0,00419907311
18	0,00202563214	0	0,00000000000
19	0,00441368617	0	0,00000000000
20	0,00874847408	0	0,00000000000
21	0,01586193216	0	0,00000000000
22	0,02642117465	0	0,00000000000
23	0,04056887936	0	0,00000000000
24	0,05757346716	0	0,00000000000
25	0,07566411880	0	0,00000000000
26	0,09221675088	0	0,00000000000
27	0,10431970222	0	0,00000000000
28	0,10958441738	0	0,00000000000
29	0,10689316272	0	0,00000000000
30	0,09677806051	0	0,00000000000
31	0,08125426057	0	0,00000000000
32	0,06317871335	0	0,00000000000
33	0,04540984887	0	0,00000000000
34	0,03009743061	0	0,00000000000
35	0,01833921711	0	0,00000000000
36	0,01023355162	0	0,00000000000
37	0,00520465303	0	0,00000000000
38	0,00239815734	0	0,00000000000
39	0,00099365741	5	0,00496828705
40	0,00036673565	5	0,00183367827
41	0,00011909673	15	0,00178645089
42	0,00003349036	20	0,00066980729
43	0,00000797528	50	0,00039876403
44	0,00000155945	50	0,00007797235
45	0,00000023832	30	0,00000714969
46	0,00000002632	50	0,00000131607
47	0,00000000176	100	0,00000017647
48	0.00000000005	100	0,00000000464
Totais	1,00000000000	0	0,01961648451

Aqui estão alguns resultados de uma simulação aleatória de 17,5 milhões de jogos.

Resultados da Simulação Razzle Dazzle

Pergunta	Responder
Probabilidade de avanço por turno	0,0028
Jardas esperadas por turno	0,0196
Jardas esperadas por avanço	6,9698
Número esperado de turnos por partida	5238,7950
Média de duplas por jogo	559,9874
Prêmios médios por jogo	560,9874

Eu gostaria de ter indicado a aposta total média por jogo, mas meu computador não consegue processar números tão grandes. Em média, o jogador dobrou sua aposta 560 vezes ao longo de 5.239 rodadas por jogo. Em um dos jogos da simulação, o jogador dobrou sua aposta 1.800 vezes. Mesmo com uma média de 560 dobradas, a aposta por rodada seria de US$ 3,77 × ^10¹⁶⁸ , considerando uma aposta inicial de US$ 1. Isso é muitas ordens de magnitude maior que o número de átomos no universo conhecido ( fonte ).

Até o jogador mais ingênuo não jogará por muito tempo se estiver avançando apenas uma vez a cada 355 jogadas. O que os operadores de cassino farão é trapacear a favor do jogador no início. Eles podem perceber que o jogador está jogando de graça ou mentir na soma dos pontos, dando ao jogador totais vencedores para aumentar sua confiança. Nunca joguei, mas imagino que, quando o jogador se aproxima da zona vermelha (20 jardas ou menos de um touchdown), o operador começará a jogar limpo. O jogador pode se perguntar por que de repente não está progredindo, mas com o dinheiro já investido e estando tão perto da linha de gol, ele hesitará em desistir e entregar as jardas pelas quais já pagou.

Ligações

• Razzle Dazzle , trecho do livro On the Midway.
• Fraude no jogo de tabuleiro Razzle Dazzle Carny em fliperama .
• Probabilidades de Ganhar um Determinado Jogo de Parque de Diversões por Donald A. Berry e Ronald R. Regal

Existem oito maneiras de ganhar: três linhas, três colunas e duas diagonais. Existem combin (9,3)=84 maneiras de escolher 3 quadrados de 9. Portanto, a probabilidade de ganhar é 8/84 = 9,52%.

Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .

Eis a estratégia básica do meu mago para o Monopoly:

• Compre tudo. Jogadores experientes podem abrir exceções se a propriedade não ajudar a criar um monopólio, bloquear outro jogador ou tiver pouco valor como moeda de troca. Serviços públicos também podem ser recusados em situações de falta de dinheiro.
• Negocie da melhor forma possível. É aqui que a habilidade entra em jogo. Tente negociar para obter o melhor conjunto que puder. Aqui está a minha classificação geral: Laranja, Amarelo, Azul Claro, Azul Escuro, Roxo Claro, Vermelho, Verde, Roxo Escuro. Essa classificação pode variar dependendo das circunstâncias. Em um jogo com pouco dinheiro, priorize os conjuntos mais baratos para desenvolver, como os azuis claros. Em um jogo com muito dinheiro, opte por aqueles em que há maior potencial de investimento, como os amarelos ou azuis escuros.
• Assim que você conseguir um conjunto de casas, seja por meios naturais ou comerciais, expanda rapidamente. Tente chegar a três casas em cada propriedade o mais rápido possível. O retorno marginal por casa cai depois de três. Hipoteque a maioria das suas outras propriedades e gaste seu dinheiro. Você precisa manter um pouco de patrimônio para pequenas despesas. Não gastar seu dinheiro é como um soldado em batalha que não usa suas balas.
• Rejeite todas as regras da casa absurdas. Isso vale especialmente para o prêmio em dinheiro do Estacionamento Gratuito (eu detesto isso!). Se você for mais habilidoso que seus oponentes, é importante minimizar o fator aleatório do jogo.

Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .

As seis faces centrais do cubo são fixas. Girando as faces, tudo o que você pode fazer é reorganizar os vértices e as arestas. Se você desmontasse o cubo, haveria 8! = 40.320 maneiras de organizar os oito vértices, sem levar em consideração a orientação de cada peça. Da mesma forma, existem 12! = 479.001.600 maneiras de organizar as 12 arestas, também sem levar em consideração a orientação.

Existem 3 maneiras de orientar cada canto, totalizando ^3⁸ = 6.561 orientações de canto. Da mesma forma, existem duas maneiras de orientar cada peça da aresta, totalizando ^2¹² = 4.096 orientações de aresta.

Portanto, se pudéssemos desmontar o cubo e reorganizar os grupos de arestas e vértices, haveria 8! × 12! × 3 ⁸ × 2 ¹² = 519.024.039.293.878.000.000 permutações possíveis. No entanto, nem todas essas permutações podem ser obtidas a partir da posição inicial pela rotação das faces.

Primeiro, é impossível girar apenas um canto e deixar todo o resto igual. Nenhuma combinação de giros conseguirá isso. Basicamente, toda ação tem uma reação. Se você quiser girar um canto, isso afetará as outras peças de alguma forma. Da mesma forma, é impossível inverter apenas uma peça da borda. Por esses motivos, temos que dividir o número de permutações por 3 × 2 = 6.

Em segundo lugar, é impossível trocar duas peças de aresta sem perturbar o resto do cubo. Esta é a parte mais difícil de explicar desta resposta. Tudo o que você pode fazer com um Cubo de Rubik é girar uma face de cada vez. Cada movimento gira quatro peças de aresta e quatro peças de canto, totalizando oito peças movidas. Uma sequência de rotações pode ser representada por um número de movimentos de peças divisível por 8. Frequentemente, uma sequência de movimentos resultará em dois movimentos que se cancelam. No entanto, sempre haverá um número par de peças movidas em qualquer sequência de rotações. Trocar duas peças de aresta seria um movimento, um número ímpar, o que não pode ser alcançado com a soma de nenhum conjunto de números pares. Os matemáticos chamariam isso de problema de paridade. Portanto, temos que dividir por 2 novamente, porque duas peças de aresta não podem ser trocadas sem que outras peças sejam perturbadas.

Existem, portanto, 3 × 2 × 2 = 12 grupos possíveis de permutações do Cubo de Rubik. Se você desmontasse um Cubo de Rubik e o remontasse aleatoriamente, haveria uma chance de 1 em 12 de que ele fosse solucionável. Assim, o número total de permutações em um Cubo de Rubik é 8! × 12! × 3 = ¹² × 2 = ¹² / 12 = 43.252.003.274.489.900.000. Se você tivesse sete bilhões de macacos, aproximadamente a população mundial da humanidade, brincando aleatoriamente com o Cubo de Rubik, a uma taxa de uma rotação por segundo, um cubo passaria pela posição resolvida em média uma vez a cada 196 anos.

Ligações

• Teoria dos Grupos através do Cubo de Rubik por Tom Davis (PDF)
• Entrada do Cubo de Rubik na Wikipédia

Para quem não conhece as regras de Copas, o jogo começa com a distribuição de 13 cartas para cada um dos quatro jogadores. O naipe de copas é importante para o jogo, portanto, a quantidade de cartas de copas que você recebe é crucial. A tabela a seguir mostra as probabilidades de receber de 0 a 13 cartas de copas.

Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .

Espero que você esteja feliz. Para responder a essa pergunta, comprei um rolo grande de bilhetes na Office Depot. Depois, coloquei 500 deles em um saco de papel, metade dobrado ao meio, em um ângulo de aproximadamente 90 graus, e a outra metade desdobrada. Em seguida, pedi a seis voluntários que sorteassem de 40 a 60 bilhetes cada, com reposição, enquanto eu anotava os resultados. Aqui estão os resultados.

Portanto, 58,3% dos bilhetes sorteados foram dobrados!

Se assumirmos que a desistência não teve efeito, então esses resultados estariam a 2,89 desvios padrão das expectativas. A probabilidade de obter essa quantidade de bilhetes desviados, ou mais, assumindo que a desistência não afetou as probabilidades, é de 0,19%, ou 1 em 514.

Eu acrescentaria que os participantes que sortearam os bilhetes às pressas tiveram muito mais probabilidade de tirar bilhetes dobrados. Já aqueles que dedicaram tempo a cada sorteio tiveram uma proporção de acerto próxima a 50/50.

Portanto, minha conclusão é definitivamente dobrá-las.

Para discutir este assunto, visite meu fórum no Wizard of Vegas .