Vídeo pôquer - Probabilidade

De acordo com a minha página sobre video poker royal sequencial , as probabilidades são de aproximadamente uma em quatro milhões.

O número de maneiras de comprar 3 cartas das 47 restantes no baralho é combin (47,3)=16.215. Uma dessas será as três necessárias para um royal, então a probabilidade é de 1 em 16.215.

O retorno esperado é o mesmo em uma máquina de jogo triplo e em uma máquina de jogo único, considerando a mesma tabela de pagamentos.

Supondo que você jogasse com a estratégia convencional 8/5, o retorno no seu exemplo seria de 99,68%. No entanto, se você jogasse com a estratégia ideal para esse jackpot, o retorno seria de 100,08%. Portanto, Wong não estava errado.

Pelo que entendi, as 47 cartas restantes são embaralhadas continuamente até que o jogador decida quais cartas comprar. Portanto, as cartas compradas não são predeterminadas. Matematicamente falando, isso não faz diferença alguma.

O retorno é de 99,9367%.

De nada, obrigado pelas palavras gentis!

A fórmula geral é combin(X,Z) × p ^Z × (1-p) ^XZ , onde p = 1/combin(47,5-Y).

COMBINAR é uma fórmula do Excel, que é igual a X!/[Z! × (XZ)!].

Vejamos um exemplo de video poker de 10 jogadas onde o jogador tem quatro cartas para um royal poker.

Obrigado pelas palavras gentis. Sim, a probabilidade de uma trinca depende da tabela de pagamentos, o que afeta a estratégia do jogador. Meu programa de vídeo pôquer sempre faz a jogada ideal para cada mão, analisando todas as cartas possíveis no descarte. No entanto, criar uma estratégia por escrito consome muito tempo.

A probabilidade de receber um royal flush natural é de 1 em 649.740 em qualquer jogo de video poker de 52 cartas.

Espero que esteja satisfeito(a), passei o dia todo respondendo a esta pergunta. Consulte meu novo apêndice 1 sobre vídeo pôquer para obter a resposta. Não há uma maneira fácil de calcular o risco de ruína apenas com base na variância. Depende exatamente dos retornos de cada mão e de sua probabilidade.

Não, não significa isso. Ao contrário do que se pensa, não existe ciclo. Cada mão é independente. Seriam necessárias infinitas mãos, jogadas perfeitamente, para garantir o retorno teórico de 99,54%.

Aqui estão alguns números para você. Os Royals contribuem com 1,98% para o retorno em mãos de 9 a 6 valetes ou melhor. Isso significa que você pode esperar um retorno de 97,56% entre Royals. O desvio padrão de uma mão é 4,42. O desvio padrão do retorno de 40.391 mãos, o número médio entre Royals, é 2,20%. Portanto, mesmo após um ciclo completo de Royals, você ainda pode estar longe de um retorno de 99,54%. Há 95% de chance de você estar em algum lugar entre 95,24% e 103,85%.

Sobre os pop-ups, eu também os detesto. No entanto, precisamos de alguma coisa para garantir o sustento. Considere-os o preço a se pagar pela informação que você está recebendo.

Existem combin(52,5) = 2.598.960 combinações possíveis das cinco primeiras cartas. Você não precisa analisar todas elas. Pessoalmente, eu as divido em 191.659 tipos diferentes e pondero cada um com o número de mãos semelhantes. Por exemplo, as probabilidades são as mesmas com quatro ases e um rei isolado, independentemente do naipe do rei. Você não precisa analisar quatro mãos para cada naipe possível do rei, apenas uma delas e multiplicar por quatro. Uma vez que você tenha uma mão, existem ^2⁵ = 32 maneiras de jogá-la. Eu analiso cada maneira e escolho a jogada com o maior valor esperado. Para determinar o valor esperado de uma jogada, você precisa analisar todas as maneiras pelas quais as cartas de reposição podem cair e pontuar cada mão. No caso de descartar todas as cinco cartas, existem combin(47,5) = 1.533.939 mãos de reposição possíveis. O número total de mãos que devem ser analisadas para determinar a melhor jogada de uma mão específica é combin(47,5)+5*combin(47,4)+10*combin(47,3)+10*combin(47,2)+5*47+ ¹ , que coincidentemente também é igual a 2.598.960. Portanto, se não usássemos nenhum atalho, teríamos que analisar 2.598.960² = 6.754.593.081.600 mãos. Reduzindo as mãos iniciais para 191.659, ainda teríamos 498.114.074.640 mãos para analisar. Claramente, mais atalhos são necessários. Um computador de mesa levaria pelo menos várias horas para processar essa quantidade de mãos. Pessoalmente, eu não pontuo nenhuma mão, mas uso fórmulas cuidadosamente escolhidas para determinar a probabilidade de melhorar uma mão. Por exemplo, com qualquer par e três cartas isoladas, a probabilidade de melhorar a mão para um par duplo é sempre a mesma. As coisas ficam mais complicadas com sequências e flushes, mas ainda assim administráveis. Meu programa consegue calcular o retorno esperado para um jogo de valetes ou melhor em cerca de um minuto. Considerando que antes eu levava mais de um dia para fazer isso, estou bastante orgulhoso. Espero que isso responda à sua pergunta.

Vamos supor que você tenha o ás de espadas e descarte quatro cartas isoladas que não sejam ases. Existem 44 maneiras de se obter uma quadra de ases. O número 44 representa a quantidade de cartas isoladas possíveis que você poderia receber na distribuição, juntamente com os outros três ases (52 cartas menos os 4 ases e as 4 cartas isoladas descartadas). Você também pode obter uma quadra em uma das outras 8 cartas, além dos ases e das quatro descartadas. Portanto, o total de maneiras de se obter uma quadra na distribuição é 44 + 8 = 52. O número total de combinações na distribuição é combin(47, 4) = 178365. Assim, a probabilidade de se obter uma quadra é 52/178365 = 1 em 3430.

1. 1/47
2. 1/combin(47,2) = 1/1081
3. 1/combin(47,3) = 1/16215
4. 1/combin(47,4) = 1/178365
5. 4/combin(52,5) = 1/2598960

Existem combin(47,4) = 178365 maneiras de escolher 4 cartas dentre as 47 restantes. Apenas uma maneira resultará nas três cartas que você precisa. Portanto, a probabilidade é de 1 em 178365.

A probabilidade de obter x cartas da sorte em uma máquina de n jogadas ao comprar uma carta da sorte de 4 cartas é dada por combin(n,x) * (1/47) ^x * (46/47) ^nx . Para uma explicação da função combin(n,x), visite minha seção sobre probabilidades no pôquer . No caso de 3 jogadas, as probabilidades são as seguintes:

0 membros da realeza: 0,937519
1 real: 0,061143
2 membros da realeza: 0,001329
3 membros da realeza: 0,000010

Para responder à sua primeira pergunta, existem 2.598.960 maneiras de escolher 5 cartas dentre 52 para a mão inicial. No descarte, existem 1, 47, 1.081, 16.215, 178.365 ou 1.533.939 maneiras de comprar as cartas de reposição, dependendo de quantas cartas o jogador possui. O mínimo múltiplo comum desses números é 7.669.695. As combinações reais são ponderadas para obter um total de 7.669.695. Portanto, o número total de combinações é 2.596.960 * 7.669.695 = 19.933.230.517.200. Para responder à sua segunda pergunta, as máquinas de videopôquer simplesmente escolhem números aleatórios de 1 a 52 e os atribuem a uma carta. Os geradores de números aleatórios em si são muito complexos, mas o objetivo é simples.

A regulamentação 14.040.1(a) do Conselho de Controle de Jogos de Nevada estabelece que os dispositivos de jogo devem retornar pelo menos 75%, assumindo uma estratégia ideal do jogador. Para responder à sua segunda pergunta, modifiquei meu programa de vídeo pôquer para sempre fazer a pior jogada possível. Por exemplo, manter todas as cinco cartas em uma mão sem pagamento e descartar parte ou todas as mãos iniciais. Com base no Jacks or Better 9/6, essa estratégia resulta em um retorno de 2,72%, ou uma vantagem da casa de 97,28%. A seguir, está a tabela completa de retorno. Um jogador assim não poderia processar o cassino, pois a culpa seria dele por jogar tão mal.

A probabilidade é 1/combin(47,2) = 1 em 1081. Em todos os jogos que estudei, um par alto é uma mão mais forte do que 3 para um Royal Flush, exceto no jogo Chase the Royal.

Se você tiver três dois na mão, existem 46 maneiras de obter o outro dois e outra carta. Existem combinações de 47 (combin(47,2)) = 1081 para escolher duas cartas dentre as 47 restantes no baralho. Portanto, a probabilidade de obter quatro dois na compra, tendo três na mão, é de 46/1081 = 4,26% = 1 em 23,5. Se você tiver dois dois na mão, existem 45 maneiras de obter mais dois dois e outra carta. Existem combinações de 47 (combin(47,3)) = 16215 para escolher 3 cartas dentre as 47 restantes. Portanto, a probabilidade de obter quatro dois na compra, tendo dois na mão, é de 45/16215 = 0,28% = 1 em 360,33.

Se sua estratégia fosse maximizar o número de Royal Flush a todo custo, você conseguiria um Royal Flush uma vez a cada 23.081 mãos. Presumi que, dadas duas jogadas com probabilidade igual de Royal Flush, o jogador escolherá a jogada que maximiza o retorno nas outras mãos. A vantagem da casa dessa estratégia em um jogo de Jacks or Better 9/6 é de 51,98%. Abaixo está uma tabela mostrando a probabilidade e o retorno de cada mão.

Obrigado! Sim, eu disse antes que se eu tivesse um sistema de apostas com uma vantagem de apenas 1%, eu poderia transformar US$ 1.000 em US$ 1.000.000 simplesmente explorando essa vantagem. Isso também seria possível no vídeo pôquer, mas levaria muito mais tempo, porque o jogo com vantagem de 0,77% (dois curingas com pagamento integral) só pode ser encontrado no nível de 25 centavos. Supondo que você consiga jogar 1.000 mãos por hora (uma velocidade que poucos conseguem atingir) e jogue perfeitamente, isso resultaria em uma renda média de US$ 9,63 por hora. Para chegar a US$ 1.000.000, seria necessário trabalhar 11,86 anos sem parar. US$ 1.000 também seria um capital muito baixo para jogar vídeo pôquer de 25 centavos, então o risco de ruína seria bastante alto. Seria mais rápido chegar a US$ 1.000.000 com a mesma vantagem em um jogo de mesa, porque o jogador pode apostar mais.

Existe uma fórmula simples para essa resposta. É o investimento inicial dividido pela vantagem da casa. Nesse caso, a resposta é $100/0,02 = $5000. No entanto, devido à volatilidade do videopôquer, na maioria das vezes os $100 não durarão tanto tempo.

A probabilidade de qualquer trinca ou full house, com base em "9/6" valetes ou melhor, é de 0,085961. Para simplificar, vou dividir por 13 para obter a probabilidade de a trinca ser de valor 3. Obviamente, isso superestima a probabilidade, pois você verá mais trincas de valetes a ases, já que a estratégia correta é segurar essas cartas com mais frequência. 0,085961/13 = 0,006612. Triplicar as vitórias em 9 jogos é como ganhar 18 jogos grátis. 18 * 0,006612 = 0,119023. A isso, eu aplicaria algum tipo de fator de correção para levar em conta a proporção desproporcionalmente menor de trincas de valor 3, talvez 75%. 0,119023 * 0,75 = 0,089267. Portanto, qualquer que seja o seu retorno normal, multiplique-o por 1,089.

Podemos ver na minha seção sobre o "deuces wild" que a probabilidade de quatro dois em qualquer mão é de 0,000204. Portanto, a probabilidade de não obter quatro dois em qualquer mão é 1 - 0,000204 = 0,999796. A probabilidade de passar 14.000 mãos sem obter quatro dois é 0,999796 ^{/ 14.000} = 5,75%.

Não é tão incomum. Às vezes, os cassinos de Las Vegas têm uma promoção em que o segundo Royal Flush em um período de 24 horas paga o dobro. Vamos supor que você jogue por 8 horas a uma velocidade de 400 mãos por hora, ou 3200 mãos no total. A probabilidade de uma mão ser um Royal Flush é de 0,00002476. A probabilidade de não obter nenhum Royal Flush em 3200 mãos é (1 - 0,00002476) ^{/ 3200} = 0,923825. A probabilidade de obter um Royal Flush é 3200 * 0,923825 * (1 - 0,923825) ^{/ 3199} = 0,073198. Portanto, a probabilidade de obter dois ou mais Royal Flush é 1 - 0,923825 - 0,073198 = 0,002977, ou cerca de 1 em 336.

Esta é uma boa questão para a distribuição de Poisson. Se um evento tem a mesma probabilidade em qualquer instante e é independente de outros eventos, e o número médio que se pode esperar é m, então a probabilidade de n eventos é e^( ^-m * m) ⁿ / n!. Portanto, nesta situação, a probabilidade é e^( ^-17,76 * 17,76 ⁾ / 3! = 0,00001808, ou 1 em 55321.

Aqui está a probabilidade de ganhar zero por jogo, de acordo com o número de jogadas.

A tabela é baseada em uma simulação aleatória. Sei que é teoricamente possível obter uma vitória com zero pontos em 100 partidas, mas em 15.820.000 partidas isso simplesmente nunca aconteceu. Portanto, por favor, não escreva sobre isso. A tabela mostra que a probabilidade de obter zero pontos em 10 partidas é de 0,025914, ou 2,59%. A probabilidade de isso acontecer dez vezes seguidas é de 0,025914 ^{× 10} = 1 em 7.323.073.295.177.980.

Experimentei o software em questão no modo gratuito e os resultados pareceram bons. Em particular, em 10 jogos, ganhei alguma coisa em todas as vezes. No entanto, até onde sei, nenhum cassino oferece este software e aceita jogadores dos EUA que apostam com dinheiro real . Pretendo investigar mais a fundo, mas não quero explicar como neste fórum.

Uma estratégia de buscar um Royal Flush a todo custo, como se todas as outras mãos não pagassem nada, resultaria em um retorno de 47,85% em um jogo de Jacks or Better 9/6. A frequência esperada de um Royal Flush aumentaria de uma vez a cada 40.388 mãos para uma vez a cada 23.081 mãos.

Quase. Se mais de uma carta da realeza por mão em uma partida de 5 cartas contar como apenas uma aparição, então você terá aparições um pouco menos de 5 vezes mais frequentes. Isso ocorre porque o número total de cartas da realeza será cinco vezes maior, mas às vezes elas estarão agrupadas na mesma partida, geralmente quando você recebe uma carta da realeza na distribuição, e, portanto, 5 na compra.

A tabela a seguir mostra a probabilidade de formar uma Royal Flush em uma jogada, de acordo com o número de cartas na mão que compõem a Royal Flush, considerando a estratégia ótima de pagamento total.

Esta tabela mostra que em 22,37% das vezes você terá a possibilidade de formar um Royal Flush. No restante das vezes, um Royal Flush será impossível, por motivos como ter um curinga ou um par. A célula inferior direita mostra que a probabilidade geral de um Royal Flush é de 0,00002208, ou 1 em 45282.

A próxima tabela mostra a mesma coisa, mas para 5 jogadas, e a probabilidade de pelo menos uma sequência real.

Note que a probabilidade de se obter pelo menos um Royal Flush é de 0,00010268. Isso é 4,65 vezes maior que a probabilidade em uma jogada única. A razão é que a probabilidade de se obter pelo menos um Royal Flush é sempre menor que cinco vezes a probabilidade em uma jogada única. Por exemplo, a probabilidade de se obter um Royal Flush com um par de f é de 1/47 em uma jogada única. No entanto, em uma jogada de 5 cartas, a probabilidade de se obter pelo menos um Royal Flush é de 1 - (1 - (1/47)) ^⁵ = 0,101951341, que é cerca de 4,79 vezes maior.

Em jogos como Bonus Poker e Double Bonus, presumo que paguem mais por certas quadras para dar ao jogador uma chance maior de uma grande vitória, em detrimento de pequenas vitórias menores, é claro. Faz sentido que uma quadra de ases seja a quadra mais valiosa, já que o ás é a carta mais alta no pôquer tradicional. Acredito que uma quadra de dois paga mais do que uma quadra de reis porque os jogadores não costumam ter cartas baixas com tanta frequência, e, portanto, uma quadra de dois aparece com menos frequência do que uma quadra de reis. Assim, embora a probabilidade de cada carta seja a mesma, o comportamento do jogador resulta em menos quadras baixas, o que facilita para o criador do jogo pagar mais por elas.

Vamos examinar primeiro o caso geral.

Defina p como a probabilidade de que a próxima quadra seja uma das cartas necessárias para a promoção.

Defina q como 1 - p.

Defina m como o número esperado de quatro cartas do mesmo tipo para obter a carta desejada.

A soma das probabilidades é 1. Portanto,

(1) p + p×q ¹ + p×q ² + p×q ³ + p×q ⁴ + ... = 1

A seguir, apresenta-se a fórmula para m em função de p e q.

(2) m = 1×p + 2×q×p ¹ + 3×q ² ×p + 4×q ³ ×p + 5×q ⁴ ×p + ...

Multiplique ambos os lados de (2) por q.

(3) mq = 1×pq + 2×p×q ² + 3×p×q ³ + 4×p×q ⁴ + 5×p×q ⁵

Subtraia (3) de (2)

(4) m - mq = p + pq + pq ² + pq ³ + pq ⁴ + ...

O lado direito de (4) é igual a 1 de (1).

(5) m - mq = 1

(6) m×(1-q) = 1

(7) m = 1/(1-q) = 1/p.

Assim, se a probabilidade de um evento for p, então, em média, serão necessárias 1/p tentativas para que ele ocorra.

Voltando ao problema em questão, obviamente bastará uma quadra para eliminar a primeira da lista. A probabilidade de a próxima quadra ser a que você precisa é de 12/13. Portanto, em média, serão necessárias 13/12 = 1,0833 tentativas para obtê-la. Depois de eliminar duas da lista, a probabilidade de a próxima ser a que você precisa é de 11/13, então serão necessárias mais 13/11 = 1,1818 tentativas para obter a terceira.

Seguindo esse padrão, o número total esperado de quatro cartas do mesmo tipo para se obter pelo menos uma de cada tipo é

1 + (13/12) + (13/11) + (13/10) + ... + (13/1) = 41,34173882.

Sim. Vamos supor que você esteja jogando Jacks or Better 9/6. A variância por mão final é n*1,966391 + 17,548285, onde n é o número de jogadas. Portanto, a variância por mão em 10 jogadas é 10*1,966391 + 17,548285 = 37,2122, e em 1 jogada é 1*1,966391 + 17,548285 = 19,51468. A variância de 1.000 mãos iniciais ou 10.000 mãos totais em 10 jogadas é 10.000*37,2122 = 372.122. A variância de 10.000 mãos em 1 jogada é 10.000*19,51468 = 195.149. No entanto, o que eu acho que deveríamos estar discutindo é o desvio padrão, que é a raiz quadrada da variância. O desvio padrão de 10.000 mãos de 10 jogadores é 372.122 ^{* 0,5} = 610,02. O desvio padrão de 10.000 mãos de 1 jogador é 195.149 ^{* 0,5} = 441,75. Contanto que o número total de mãos finais seja o mesmo, o jogo de 10 jogadores será sempre 38,1% mais volátil, no Jacks or Better 9/6. Para mais informações, visite minha seção sobre o desvio padrão no vídeo poker n-play .

Em Jacks or Better 9/6 com estratégia perfeita, você verá um Royal Flush no draw uma vez a cada 40.601 mãos, mas quatro cartas para um Royal Flush uma vez a cada 460 mãos. Para cada Royal Flush que você vir, estará a uma carta de completar um Royal Flush 88,33 vezes. Das quatro cartas para um Royal Flush, 50,37% não pagarão nada, 24,89% pagarão como um par, 7,89% como uma sequência, 16,16% como um flush e 0,69% como uma sequência de flush. Aqui estão os números exatos.

O número esperado de figuras reais para 170 figuras reais é 170/88,33 = 1,92. A probabilidade de se ver zero com uma média de 1,92 é e ^-1,92 = 14,59%.

A distribuição de Poisson pode ser usada para responder a esse tipo de pergunta. A fórmula geral é e ^{^(-} m * m ^x / x!), onde x é o número do evento observado e m é o número esperado. Nesse caso, x é 3. A probabilidade de um royal flush em " Not so Ugly Ducks deuces wild " é 0,000023. Portanto, o número esperado em 10.000 mãos seria 0,23. Assim, a probabilidade de acertar exatamente três royal flushes em 10.000 mãos é e^( ^-0,23 * 0,23 ⁾ / 3! = 0,161%. A fórmula no Excel para isso é poisson(3, 0,23, 0).

Suponho que você considere a probabilidade de um Royal Flush como 1 em 40.000. Jogando 4.000 mãos por sessão, o número esperado de Royal Flush por sessão é 0,1. Uma aproximação bastante precisa para a probabilidade de zero Royal Flush por sessão é e ^{^(-0,1)} = 90,48%. O motivo de não ser 90% é que, às vezes, você obterá mais de um Royal Flush por sessão. O número esperado de Royal Flush em 50 sessões é 0,1 × 50 = 5. A probabilidade de zero Royal Flush em 50 sessões pode ser aproximada por e^( ^-5 ) = 0,67%. A probabilidade exata também é (39.999/40.000)^(200.000) = 0,67%.

Se você estivesse jogando em uma única linha, seria fácil. US$ 800.000 são 160.000 mãos de US$ 5. Isso equivale a 3,9616 ciclos de Royal Flush. A probabilidade de não haver Royal Flush pode ser aproximada por e^( ^-3,9616) = 1,9%.

A matemática fica mais complexa em jogos com múltiplas linhas de pagamento. Acredito que a maneira mais fácil de responder à pergunta seja por meio de simulação aleatória. Meu apêndice 6 sobre vídeo pôquer mostra que a probabilidade de obter pelo menos um Royal Flush por mão em uma mesa de 50 jogadores de Jacks or Better 9/6 é de 0,00099893. Cada mão de $1 em uma mesa de 50 jogadores custa $250. Portanto, você teria jogado 3.200 mãos iniciais. O número esperado de mãos com um Royal Flush em 3.200 mãos é 3,1966. Pelo mesmo método de aproximação, a probabilidade de não obter nenhum Royal Flush é e^( ^-3,1966 ) = 4,09%. A resposta exata, com base nos resultados da simulação, é (1-0,00099893)^3200 = 0,04083732, ou 4,08%.

De nada. Fiz algumas simulações aleatórias no jogo Jacks or Better 9/6 para chegar à resposta da sua pergunta. A tabela a seguir mostra a covariância para 2 a 9 linhas jogadas no Jacks or Better 9/6. A variância seria a mesma do jogo base.

Vejamos um exemplo de Jacks or Better de 9 linhas e 9/6 . A variância do jogo base é 19,52. A covariância é 33,46. Portanto, a variância total é 19,52 + 33,46 = 52,98. O desvio padrão é 52,98 ^{÷ 1/2} = 7,28.

Enquanto ela estiver apostando de forma constante, sim, aceite a aposta sem hesitar. Ou ela está usando algum tipo de progressão inútil, ou isso é um exagero de segunda mão. Isso me fez pensar: qual seria o número ideal de mãos para o lado do seu amigo? Considerando 9/6 Valetes ou Melhor e a estratégia ideal, a probabilidade de estar na frente é maximizada em 136 mãos, com uma probabilidade de 39,2782%.

O retorno do bônus duplo duplo 6/5 é de 0,946569, para ser exato. Minha tabela indica que a probabilidade de um Royal Flush é de 0,000025. No entanto, prefiro usar mais dígitos significativos, então vamos dividir o retorno pelo prêmio, que é 0,020297/800 = 0,00002537. O retorno de todos os prêmios, exceto o Royal Flush, é de 0,926273. Vamos chamar j de valor do jackpot de equilíbrio. Resolvendo para j:

1 = 0,926273 + 0,00002537*j
j = (1-0,926273)/ 0,00002537 = 2.906.

O valor de 2.906 é medido em unidades de aposta. Para uma máquina de $1 (aposta total de $5), o ponto de equilíbrio seria $5 * 2.906 = $14.530. Portanto, $12.000 ainda está longe do ponto de equilíbrio. Antes que algum perfeccionista me escreva, à medida que o prêmio progressivo aumenta, a estratégia ideal muda, tornando-se mais agressiva na busca por combinações vencedoras (royalties). Minha resposta pressupõe que o jogador siga a mesma estratégia ideal de 6/5 durante todo o tempo.

Uma aproximação simples para qualquer jogo de video poker de 52 cartas é adicionar 0,5% para cada 1.000 moedas extras no medidor. No caso de um medidor de $10.100, isso representa $6.100 a mais do que um medidor não progressivo. Como se trata de um jogo de dólar, são 6.100 moedas, então adicionamos 0,5% × (6.100/1.000) = 3,05% ao retorno base. O retorno base é de 92,63%, portanto o retorno total pode ser aproximado como 94,66% + 3,05% = 97,71%. O retorno real para um medidor de $10.100 é de 97,75%, portanto, bastante próximo.

Existem 4 naipes para escolher para formar um 3 de um rei. Existem combinações (5,3) = 10 maneiras de escolher 3 cartas dentre os 5 valores. Existem combinações (47,2) = 1.081 maneiras de escolher as outras duas cartas. Existem combinações (52,5) = 2.598.960 maneiras de escolher 5 cartas dentre 52. Portanto, a probabilidade de obter um 3 de um rei é 4 × 10 × 1.081 / 2.598.960 = 1,66%.

Para benefício de outros leitores, o coeficiente de assimetria (ou assimetria) de qualquer variável aleatória é uma medida de qual direção possui a cauda mais longa. Uma assimetria negativa significa que os resultados mais prováveis estão no lado superior da distribuição, compensados pelos extremos que tendem a estar no lado inferior. Uma assimetria positiva é o oposto, onde os resultados mais prováveis estão no lado inferior, mas com os extremos tendendo a estar no lado superior. A média é menor que a mediana com uma assimetria negativa e maior com uma assimetria positiva. Uma fórmula exata pode ser encontrada na Wikipédia ou em diversos livros de estatística.

Em termos gerais, a assimetria está relacionada à frequência com que você ganha em uma sessão. Em Jacks or Better, na maioria das vezes, você não terá uma sessão vencedora em algumas horas se não conseguir um Royal Flush. Já no Double Double Bonus, você pode ganhar com mais frequência depois de algumas horas devido aos grandes pagamentos de quadra. Como a maioria das pessoas está sujeita a vieses cognitivos, a dor de uma perda é duas vezes maior que o prazer de uma vitória. As pessoas não jogam Double Double Bonus porque gostam da variância, mas sim porque têm uma chance maior de ganhar. A tabela a seguir mostra algumas estatísticas importantes para quatro jogos de vídeo pôquer comuns. É interessante notar que a assimetria é maior em Jacks or Better.

Vaga — 9/6 = Salário integral ou melhor
BP — 8/5 = Bônus de pagamento padrão no Poker
DDB — 9/6 = Pagamento padrão Double Double Bonus Poker
DW — NSUD = "Not so Ugly Ducks" Deuces Wild

Como saber isso pode realmente ajudar o jogador de vídeo pôquer? Suponho que se possa dizer que um jogo com uma grande assimetria tem uma probabilidade maior de resultar em perda ao longo de uma sessão de algumas horas. Por exemplo, em Jacks or Better, se você não conseguir nenhuma combinação Royal Flush, a vantagem da casa provavelmente acabará corroendo seu saldo. No entanto, em um jogo como Deuces Wild ou Double Double Bonus, as segundas maiores vitórias podem te tirar do prejuízo ao longo de uma sessão. Em outras palavras, a assimetria impede que você ganhe quando não consegue combinações Royal Flush. Conhecer a assimetria não aumentará suas chances de ganhar, mas é mentalmente útil saber o que esperar. Então, da próxima vez que você perder no Jacks or Better 9/6, atribua isso à assimetria.

Meus agradecimentos a Jeff B. pela ajuda com esta questão.

Ótima descoberta! Você não mencionou a denominação da moeda que está usando, o que é importante, então vou assumir que seja em dólares. Para uma aposta máxima de cinco moedas, o número de duplicatas necessárias para uma vitória de w (onde w < 1200) é 1 + int(log(1200) - log(w))/log(2).

A tabela a seguir mostra, para cada mão inicial, o ganho antes da duplicação, a probabilidade antes da duplicação, o número de duplicações necessárias, o ganho após a duplicação e a probabilidade de alcançar o ganho após a duplicação, incluindo o bônus de $250. A célula inferior direita mostra um retorno de 115,5%. Você ganhará um jackpot a cada 297 mãos, em média, com um jackpot médio de $1.717,46.

A tabela a seguir mostra a probabilidade de cada tipo de realeza, de acordo com o número de cartas na mão, dado que houve uma realeza. Ela mostra que 3,4% das realezas são formadas por quem tem apenas uma carta. A probabilidade de se obter uma realeza inicialmente é de 1 em 40.391, portanto, a probabilidade incondicional de uma realeza ter apenas uma carta na mão é de 1 em 1.186.106.

Existem combin(52,5) = 2.598.960 combinações possíveis na distribuição das cartas. O motivo pelo qual minhas tabelas de retorno de vídeo pôquer têm quase 20 trilhões de combinações é que você também precisa considerar o que pode acontecer no descarte. Aqui está o número de combinações de acordo com quantas cartas o jogador descarta.

O mínimo múltiplo comum de todas essas combinações é 5 × combin(47,5) = 7.669.695. Independentemente de quantas cartas o jogador descartar, as combinações de retorno devem ser ponderadas de forma que o total seja 7.669.695. Por exemplo, se o jogador descartar 3, haverá 16.215 combinações possíveis na compra, e cada uma delas deverá ter um peso de 7.669.695/16.215 = 473.

Assim, o número total de combinações no vídeo pôquer é 2.598.960 × 7.669.695 = 19.933.230.517.200. Para mais informações sobre como programar os retornos do vídeo pôquer, consulte minha página sobre Metodologia para análise de vídeo pôquer .

Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .

Meu palpite é que seja Royal Aces Bonus Poker. Só vi esse jogo uma vez em Mesquite, anos atrás. Ele paga 800 por uma quadra de ases, mas compensa com um par de ases como mão de menor valor, em vez dos tradicionais valetes. Aqui está a tabela de retorno.

O desvio padrão é de 13,58! Isso é mais de três vezes maior que o do jogo 9-6 Jacks or Better, que tem um desvio padrão de 4,42.

No entanto, se me limitarem a jogos fáceis de encontrar, minha escolha é o Triple Double Bonus, com um desvio padrão de 9,91. Aqui está a tabela de pagamentos.

Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .

7.281,8 moedas. É interessante notar que, se você jogasse apenas uma vez exatamente nesse ponto, o retorno seria de apenas 98,5%. O motivo para jogar nesse ponto é a suposição de que você é capaz de jogar até ganhar o jackpot. É como ter um programa de cashback de 2% em caça-níqueis. 98,5% + 2% = 100,5%.

Gostaria de acrescentar que, se você começar a jogar a estratégia de jackpot de 4000 moedas exatamente quando o jackpot atingir 7281,8, poderá esperar um lucro de 201,18 apostas. No entanto, se você dedicar um tempo para aprender as mudanças na estratégia para um jackpot de 7281,8 moedas, seu lucro esperado será de 234,31 moedas.

Aproveitando o assunto, acabei de ler "The Secret World of Video Poker Progressives" de Frank Kneeland. Este livro contém muitas fórmulas para situações progressivas bem mais complexas, além de conselhos práticos e histórias baseadas em seus anos à frente de uma equipe de caçadores de prêmios progressivos. Recomendo a leitura para jogadores de video poker progressivo com foco em vantagem competitiva.

Para uma resposta quase exata a perguntas sobre sequências de acertos como esta, precisamos usar álgebra matricial. Respondi a uma pergunta semelhante, porém mais fácil, na minha coluna de 4 de junho de 2010. Se você não tem muita experiência com álgebra matricial, recomendo que revise essa coluna primeiro.

Passo 1: Determine a probabilidade de 0 a 6+ cartas da realeza nas primeiras 5.000 mãos. Vamos assumir que a probabilidade de uma carta da realeza é de 1 em 40.000. O número esperado em 5.000 mãos é 5.000/40.000 = 0,125. Usando a estimativa de Poisson, a probabilidade de exatamente r cartas da realeza é e^( ^-0,125 × 0,125) / ^r !. Aqui estão essas probabilidades:

Passo 2: Considere que existem sete estados para as 24.995.000 mãos restantes. Para cada um deles, as 5.000 mãos anteriores podem ter 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 cartas da realeza, ou o jogador pode já ter conseguido seis cartas da realeza em 5.000 mãos, caso em que o sucesso é alcançado e não pode ser retirado. A cada nova mão, uma de três coisas pode acontecer com o estado do jogador:

1. Descer um nível. Isso acontece se a mão jogada há 5.000 jogos era um Royal Flush e agora está sendo descartada, e a nova mão não era um Royal Flush.
2. Permanecer no mesmo nível. Isso geralmente acontece se a mão jogada 5.000 partidas atrás não era um Royal Flush, e a nova mão também não é. Também pode acontecer se uma mão jogada 5.000 partidas atrás era um Royal Flush, mas a nova mão também é um Royal Flush.
3. Suba de nível. Isso acontecerá se a mão jogada há 5.000 jogos não era um Royal Flush e a nova mão for.

Etapa 3: Desenvolva a matriz de transição para as probabilidades de cada mudança de estado em um jogo adicional.

A primeira linha corresponderá ao nível 0 antes da próxima mão ser jogada. A probabilidade de avançar para o nível 1 na próxima mão é de 1 em 40.000. A probabilidade de permanecer no nível 0 é de 39.999/40.000.

A segunda linha corresponderá ao nível 1 antes da nova mão ser jogada. A probabilidade de avançar para o nível 2 na próxima mão é o produto da probabilidade de não perder um Royal Flush na mão anterior e obter um Royal Flush na nova mão = (4999/5000)×(1/40000) = 0,0000250. A probabilidade de voltar ao nível 0 é o produto de perder um Royal Flush e não obter um Royal Flush no jogo atual = (1/5000)×(39999/40000) = 0,0002000. A probabilidade de permanecer a mesma é pr(nenhum membro da realeza saindo) × pr(nenhum novo membro da realeza) + pr(membro da realeza saindo) × pr(novo membro da realeza) = (4999/5000)×(39999/40000) + (1/5000)×(1/40000) = 0,9997750.

As probabilidades para as linhas 2 a 6 dependerão de quantas cartas da realeza (Royal Tales) estiveram presentes no histórico das últimas 5.000 mãos. Quanto mais cartas da realeza, maior a probabilidade de uma delas desaparecer quando uma nova mão for jogada. Seja r o número de cartas da realeza nas últimas 5.000 mãos e p a probabilidade de se obter uma nova carta da realeza.

Pr(promover um nível) = Pr(nenhum real caindo) × Pr(novo real) = (1-(r/5000))× p.

Pr(permanecer no mesmo nível) = Pr(nenhum real saindo) × Pr(nenhum novo real) + Pr(real saindo) × Pr(novo real) = (1-(r/5000))× (1-p) + (r/5000)×p.

Pr(rebaixar um nível) = Pr(real saindo) × Pr(nenhum novo real) = (r/5000)× (1-p).

A linha 7 corresponde a ter alcançado o sucesso de obter seis cartas da realeza em 5.000 mãos. Uma vez alcançada essa conquista, ela é irrevogável, portanto, a probabilidade de permanecer nesse estado de sucesso é de 100%.

As linhas da matriz de transição corresponderão aos níveis anteriores à nova mão, começando com o nível 0 na linha superior. As colunas corresponderão aos níveis posteriores à nova mão, começando com o nível 0 na coluna da esquerda. O corpo da matriz corresponderá às probabilidades de transição de cada estado anterior para cada novo estado em uma partida. Vamos chamar isso de T1 =

Se multiplicarmos essa matriz de transição por si mesma, obtemos as probabilidades de cada mudança de estado em dois jogos consecutivos. Vamos chamar isso de T2, para a matriz de transição em dois jogos:

Aliás, no Excel, para multiplicar duas matrizes de mesmo tamanho, primeiro selecione a região onde deseja que a nova matriz seja inserida. Em seguida, use esta fórmula: =MMULT(intervalo da matriz 1, intervalo da matriz 2). Depois, pressione Ctrl+Shift+Enter.

Se multiplicarmos T2 por si mesmo, obtemos as probabilidades de cada mudança de estado em quatro jogos consecutivos, ou T4:

Então, continue repetindo esse processo de duplicação 24 vezes até chegarmos a T-16.777.216:

Se dobrássemos novamente, ultrapassaríamos nossa meta de T-24.995.500. Portanto, agora precisamos multiplicar cuidadosamente por matrizes de transição menores, que já calculamos. É possível chegar a qualquer número usando potências de dois (as maravilhas da aritmética binária!). Neste caso, T-24.995.500 = T-16.777.216 × T-2 ²² × T-2 ²¹ × T-2 ²⁰ × T-2 ¹⁹ × T-2 ¹⁸ × T-2 ¹⁶ × T-2 ¹⁴ × T-2 ¹³ × T-2 ¹⁰ × T-2 ⁷ × T-2 ⁵ × T-2 ⁴ × T-2 ³ =

Sinceramente, para simplificar e economizar tempo, você não precisa se preocupar com essas últimas quatro multiplicações. Elas correspondem apenas às últimas 56 mãos, e a probabilidade de essas 56 fazerem diferença no resultado final é insignificante. Tenho certeza de que meus muitos leitores perfeccionistas me criticariam duramente por dizer isso, se pudessem.

Passo 4: Multiplique o estado inicial após 5.000 mãos por T-24.995.500. Seja S-0, do passo 1, o seguinte:

Então S-0 × T-24.995.500 =

O número na célula inferior representa a probabilidade de ter conseguido seis Royal Flush em pelo menos uma das 25.000.000 mãos, dentro de um período de 5.000 mãos. Ou seja, uma chance de 1 em 7.336.

Meus agradecimentos a CrystalMath pela ajuda com esta questão.

Antes de responder, gostaria de lembrar a todos que o número de maneiras de escolher k itens de n, com reposição, é combin(n+k-1,k) = (n+k-1)!/((n-1)!×k!).

Dito isso, aqui estão os seguintes tipos de mãos de sete cartas e o número de maneiras distintas de formar cada uma delas:

• 7 cartas de um mesmo naipe: combin(13,7)=1.176.
• 6 cartas de um naipe e 1 de outro: COMBIN(13,6)×13 = 22.308.
• 5 cartas de um naipe e 2 de outro: COMBIN(13,5)×combin(13,2) = 100.386.
• 5 cartas de um naipe e 1 de cada um dos outros dois: COMBIN(13,5)×combin(13+2-1,2) = 117,117.
• 4 cartas de um naipe e 3 de outro: COMBIN(13,4)×combin(13,3) = 204.490.
• 4 cartas de um naipe, 2 de um segundo e 1 de um terceiro: COMBIN(13,4)×combin(13,2)×13 = 725.010.
• 4 cartas de um naipe e uma de cada um de outro 3: COMBIN(13,4)×combin(13+3-1,3)×13 = 325,325.
• 3 cartas de dois naipes diferentes e uma carta de um terceiro naipe: 13×((COMBIN(13,3)×(COMBIN(13,3)-1)/2+COMBIN(13,3))) = 533.533.
• 3 cartas de um naipe e duas cartas de cada um dos outros dois naipes: COMBIN(13,3)×(COMBIN(13,2)×(COMBIN(13,2)+1)/2) = 881.166.
• 3 cartas de um naipe, 2 cartas de um segundo e uma carta de cada um dos outros dois naipes: COMBIN(13,3)×COMBIN(13,2)×COMBIN(13+2-1,2) = 2.030.028.
• 2 cartas de cada um dos três naipes e 1 do quarto: ((COMBIN(13,2)×(COMBIN(13,2)+1)×(COMBIN(13,2)+2)/6) = 1.068.080.

A soma dessas combinações é 6.009.159. Comparado com combin(52,7) = 133.784.560 maneiras de escolher 7 cartas de 52, isso é uma redução de 95,5% nas mãos analisadas.

Para mais informações sobre este assunto, consulte meu fórum no Wizard of Vegas .

A probabilidade de um par evoluir para uma quadra é 45/COMBIN(47,3) = aproximadamente 0,002775208.

A probabilidade de isso acontecer em dez de dez mãos é (0,002775208) ¹⁰ = aproximadamente 1 em 36.901.531.632.979.700.000.000.000.

Essa probabilidade é como comprar três bilhetes da Powerball independentes e aleatórios e ganhar em TODOS os três.

A explicação é que este NÃO é um jogo de videopôquer normal, com probabilidades naturais, em que cada carta tem a mesma chance de ser sorteada dentre as restantes no baralho. Não, isto é o que chamamos de "VLT", ou Terminal de Videoloteria. Nesses jogos, o resultado é predeterminado, independentemente de como o jogador paga sua mão. É como um bilhete de loteria instantânea, mas o resultado é exibido ao jogador como em um jogo de videopôquer. Você pode se perguntar o que aconteceria se o jogador tivesse todas as cinco cartas. Nesse caso, um gênio apareceria para trocar algumas das cartas ou o jogador ganharia um bônus para chegar ao prêmio final de 2.500 créditos.

Essa questão é levantada e discutida no meu fórum no Wizard of Vegas .

Para esta questão, recorri ao meu estimado colega, Gary Koehler, especialista em matemática aplicada ao video poker. Aqui estão as respostas dele, de acordo com o número de baralhos:

Para o primeiro royal flush, a probabilidade de obter três cartas para um royal flush na distribuição, em qualquer naipe, é 4*combin(5,3)*combin(47,2)/combin(52,5) = 0,01663742. A probabilidade de completar o royal flush na distribuição é 1/combin(47,2) = 0,00092507. Portanto, a probabilidade de ambos os eventos é 0,01663742 * 0,00092507 = 0,00001539, ou 1 em 64.974.

A probabilidade de obter quaisquer duas cartas da realeza, em quaisquer dois naipes, dessa forma em dez mãos é combin(10,2) * 0,00001539 ² (1-0,00001539) ⁸ = 0,00000001065810. Você também especificou que as duas cartas da realeza devem ser do mesmo naipe. A probabilidade de a segunda carta da realeza combinar com a primeira é 1/4, então divida a probabilidade anterior por 4 para obter 0,00000000266453, que é 1 em 375.301.378.

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .