O Critério de Kelly

Introdução

O Critério de Kelly é uma técnica de dimensionamento de apostas que equilibra risco e recompensa para o jogador profissional. O mesmo princípio se aplica a qualquer investimento com expectativa de lucro. Para o jogador/investidor com uma banca mediana e um tamanho de aposta fixo, o crescimento esperado da banca após uma aposta é:

Por exemplo, suponha que um cassino realize uma promoção no craps onde o 2 paga 3 para 1 e o 12 paga 4 para 1. Um 3, 4, 9, 10 ou 11 ainda pagam 1 para 1 e qualquer outro total resulta em perda. A probabilidade de um 2 ou 12 é de 1/36 cada, a probabilidade de uma vitória com pagamento igual é de 14/36 e a probabilidade de uma perda é de 20/36. Suponha também que o jogador aposte 1% de sua banca a cada aposta. Então, o crescimento esperado da banca por aposta seria:

(1 + (0,01*3))^(1/36) * (1 + (0,01*1)^(14/36) * (1 + (0,01*-1))^(20/36) * (1 + (0,01*4))^(1/36)) - 1 = 0,00019661.

Este produto é maximizado pelo método de apostas Kelly. O método de apostas Kelly também minimiza o número esperado de apostas necessárias para dobrar a banca, uma vez que o tamanho das apostas é sempre proporcional à banca atual.

O valor da aposta de Kelly é o ideal para maximizar o crescimento esperado da banca, para o jogador com sorte mediana. Embora apostar mais do que o valor de Kelly produza maiores ganhos esperados por aposta, a maior volatilidade faz com que o crescimento da banca a longo prazo diminua em comparação com o tamanho exato da aposta de Kelly. Apostar o dobro do valor de Kelly resulta em crescimento esperado zero. Qualquer valor superior ao dobro do valor de Kelly resulta em diminuição esperada da banca. O mais comum é apostar menos do que o valor total de Kelly. Embora isso reduza o crescimento esperado, também reduz a volatilidade da banca. Apostar metade do valor de Kelly, por exemplo, reduz a volatilidade da banca em 50%, mas o crescimento em apenas 25%.

Para apostas simples com apenas dois resultados possíveis, a aposta Kelly ideal é a vantagem dividida pelo pagamento da aposta em uma proporção de "um para um". Para apostas com mais de um resultado possível, a aposta Kelly ideal é aquela que maximiza o logaritmo da banca após a aposta. No entanto, para apostas com mais de um resultado, isso pode ser difícil de determinar. A maioria dos jogadores usa a vantagem/variância como uma aproximação, que é um estimador muito bom. Por exemplo, se uma aposta tivesse uma vantagem de 2% e uma variância de 4, o jogador usando a estratégia "Kelly completa" apostaria 0,02/4 = 0,5% da sua banca nesse evento. Lembre-se de que a variância é o quadrado do desvio padrão, que é listado para muitos jogos no meu Guia de Comparação de Jogos .

Vejamos três exemplos.

Exemplo 1: Um contador de cartas percebe uma vantagem de 1% na contagem dada. De acordo com meu Guia de Comparação de Jogos, o desvio padrão do blackjack é 1,15 (que pode variar de acordo com as regras e a contagem). Se o desvio padrão é 1,15, então a variância é ^1,15² = 1,3225. A porcentagem da banca a ser apostada é 0,01 / 1,3225 = 0,76%.

Exemplo 2: Um cassino na cidade está oferecendo uma promoção de 5x pontos em videopôquer. Normalmente, o programa de fidelidade de caça-níqueis paga 2/9 de 1% em créditos grátis. Portanto, com 5x, o programa paga 1,11%. O melhor jogo é Jacks or Better 9/6, com um retorno de 99,54%. Após os pontos do programa de fidelidade, o retorno é de 99,54% + 1,11% = 100,65%, ou uma vantagem de 0,65%. O Guia de Comparação de Jogos mostra que o desvio padrão de Jacks or Better 9/6 é 4,42, então a variância é 19,5364. A porcentagem da banca a ser apostada é 0,0065 / 19,5364 = 0,033%. Aliás, essa mesma promoção está acontecendo no Wynn enquanto escrevo isto, nos dias 2 e 3 de setembro de 2007.

Exemplo 3: Uma aposta esportiva tem 20% de chance de ganhar e paga 9 para 2. A vantagem é 0,2 × 4,5 + 0,8 × -1 = 0,1. A aposta de Kelly ideal é 0,1/4,5 = 2,22%.

A seguir, apresentamos os cálculos exatos do exemplo 3. Seja x a aposta ótima de Kelly, com uma banca inicial de 1. O logaritmo esperado da banca após a aposta é...

f(x) = 0,2 × log(1+4,5x) + 0,8 × log(1-x)

Para maximizar f(x), calcule a derivada e iguale-a a zero.

f'(x) = 0,2 × 4,5 / (1+4,5x) - 0,8 / (1-x) = 0

0,9 / (1+4,5x) = 0,8/(1-x)

0,9 - 0,9x = 0,8 + 3,6x

4,5x = 0,1

x = 0,1/4,5 = 1/45 = 2,22%

A matemática fica muito mais complexa quando há mais de um resultado possível, como no vídeo pôquer. O método continua o mesmo, mas obter a solução para x é mais difícil. A maneira mais fácil de resolver para x nesses casos, na minha opinião, é experimentar com valores diferentes, usando as técnicas de "maior" e "menor" (como o Jogo do Relógio no programa "O Preço Certo"), até que f'(x) fique muito próximo de zero.

Fiz isso para dois jogos de vídeo pôquer comuns com retorno superior a 100%. Para " Full Pay Deuces Wild ", com um retorno de 100,76%, o tamanho ideal da aposta é 0,0345% da banca. Para " 10/7 Double Bonus ", com um retorno de 100,17%, o tamanho ideal da aposta é 0,0062637% da banca. Ouvi dizer que, para ter sucesso no vídeo pôquer, você deve ter uma banca de 3 a 5 vezes o valor da aposta Royal Flush. Se estiver jogando Full Pay Deuces Wild, o valor exato é 3,66 Royal Flush. Para 10/7 Double Bonus, é 19,96 Royal Flush.

Simulações

Para comprovar minha afirmação de que Kelly minimiza o número de apostas para dobrar a banca, assumi uma aposta com odds de 1 para 1, com 51% de chance de vitória, resultando em uma vantagem de 2%, e um tamanho de aposta de Kelly de 2%. Veja a seguir quantas apostas foram necessárias, em média, para dobrar a banca em diferentes tamanhos de aposta. Se uma aposta vencedora fizesse o apostador ultrapassar o dobro da banca, ele apostaria apenas o necessário para dobrar exatamente o valor.

Kelly vs. Estratégia Ideal de Videopôquer

Na minha coluna "Pergunte ao Mago" de 20 de setembro de 2007, sugeri que o apostador de Kelly às vezes não deveria usar a estratégia ideal no vídeo pôquer. Meus motivos estão explicados lá.

Links sobre Kelly

A Fórmula da Fortuna , de William Poundstone. Leia minha resenha .

Jogos de cassino para o vencedor

Uma boa fonte sobre Kelly, especialmente no que diz respeito ao blackjack, é o livro Blackjack Attack, de Don Schlesinger.

O Critério de Kelly na Wikipédia .

Escrito por: Michael Shackleford