Probabilidade de um parêntese perfeito

Introdução

Uma pergunta que recebo muito em março é: "Qual a probabilidade de preencher perfeitamente um palpite do March Madness?" Uma estatística frequentemente citada na mídia é 1 em 9.223.372.036.854.780.000. Essa citação se baseia em palpites aleatórios, o que ninguém faz, e me arrepia. Aqui, apresentarei uma estratégia básica que você pode seguir, mesmo sem saber nada sobre basquete, e uma estimativa da sua probabilidade de sucesso com essa estratégia.

Regras

A seguir, apresentamos as regras do torneio. Se você já as conhece, pode pular esta parte.

Para todos os efeitos práticos, o torneio é de eliminação simples, começando com 64 equipes. Para satisfazer meus leitores perfeccionistas, na verdade são 68 equipes, onde oito delas se enfrentam em quatro jogos. Os vencedores desses quatro jogos, juntamente com outras 60 equipes, resultam em 64 equipes, momento em que normalmente começa a seleção dos confrontos.

As 64 equipes estão divididas em quatro conferências diferentes: Norte, Sul, Oeste e Leste, com 16 equipes cada. Cada equipe em cada conferência terá uma "posição de cabeça de chave", de 1 a 16, que pretende ser uma classificação de sua habilidade, embora seja um método imperfeito. Em seguida, acontecerá o seguinte:

Os quatro times cabeças de chave número 1 jogarão contra os quatro times cabeças de chave número 16.
Os quatro times classificados em 8º lugar enfrentarão os quatro times classificados em 9º lugar.
Os quatro times classificados em 5º lugar enfrentarão os quatro times classificados em 12º lugar.
Os quatro times classificados em 4º lugar enfrentarão os quatro times classificados em 13º lugar.
Os quatro times classificados em 6º lugar enfrentarão os quatro times classificados em 11º lugar.
Os quatro times classificados em 3º lugar enfrentarão os quatro times classificados em 14º lugar.
Os quatro times classificados em segundo lugar enfrentarão os quatro times classificados em décimo quinto lugar.
Os quatro times classificados em 7º lugar enfrentarão os quatro times classificados em 10º lugar.
Após os jogos das fases 1 a 8, as 64 equipes serão reduzidas a 32.
Os vencedores da regra 1 jogarão contra os vencedores da regra 2.
Os vencedores da regra 3 jogarão contra os vencedores da regra 4.
Os vencedores da regra 5 jogarão contra os vencedores da regra 6.
Os vencedores da regra 7 jogarão contra os vencedores da regra 8.
Após os jogos das fases 10 a 13, as 32 equipes restantes serão reduzidas a 16.
Os vencedores da regra 10 jogarão contra os vencedores da regra 11.
Os vencedores da regra 12 jogarão contra os vencedores da regra 13.
Após os jogos das fases 15 e 16, as 16 equipes restantes serão reduzidas a oito.
Os vencedores da regra 15 jogarão contra os vencedores da regra 16.
Após os jogos da etapa 18, as oito equipes restantes serão reduzidas a 4. Isso definirá um vencedor em cada uma das quatro divisões.
O vencedor da regional que teve a equipe número 1 no geral, conforme determinado pelo comitê de basquete da NCAA ao selecionar as equipes para o torneio, enfrenta o vencedor da regional que teve a equipe número 4 no geral; o vencedor avança.
Os vencedores das duas regiões não mencionadas na regra 20 jogam entre si, e o vencedor avança.
Os vencedores das etapas 20 e 21 jogarão, e o vencedor de cada uma delas conquistará o torneio.

Quando chegar a 64 equipes, haverá 32+16+8+4+2+1=63 jogos no torneio.

Estratégia básica

Escolha sempre a equipe com a melhor classificação ou o número mais baixo. Por exemplo, nos quatro jogos em que um time com a melhor classificação enfrenta um time com a pior classificação, escolha o time com a melhor classificação. Das 136 vezes em que um time com a melhor classificação enfrentou um time com a pior classificação, o time com a melhor classificação venceu 135 vezes. Em 2018, ocorreu a primeira vez que um time com a melhor classificação perdeu para um time com a pior classificação, quando a UMBC (que tem uma ótima equipe de xadrez) venceu a Universidade da Virgínia.

Quando restarem apenas os cabeças de chave número um que venceram cada uma das quatro divisões, escolha os três jogos restantes aleatoriamente.

Confrontos

A tabela a seguir mostra o número de confrontos diretos que ocorreram pelo menos uma vez entre todos os jogos desequilibrados. Isso não inclui partidas em que equipes com a mesma classificação se enfrentaram. A coluna da direita mostra a probabilidade de a equipe com melhor classificação ter vencido.

Resultados de confrontos desequilibrados

Semente Superior	Semente inferior	Jogos jogados	Vence quem tiver a melhor classificação	Probabilidade
1	2	67	36	0,537313
1	3	36	22	0,611111
1	4	64	47	0.734375
1	5	48	40	0,833333
1	6	13	10	0,769231
1	7	7	6	0,857143
1	8	75	60	0,800000
1	9	71	65	0,915493
1	10	6	5	0,833333
1	11	8	4	0,500000
1	12	20	20	1.000000
1	13	4	4	1.000000
1	16	144	143	0,993056
2	3	56	34	0,607143
2	4	7	3	0,428571
2	5	5	0	0,000000
2	6	30	23	0,766667
2	7	82	57	0,695122
2	8	7	2	0,285714
2	9	1	0	0,000000
2	10	52	34	0,653846
2	11	18	15	0,833333
2	12	2	2	1.000000
2	15	144	134	0,930556
3	4	7	4	0,571429
3	5	4	2	0,500000
3	6	75	45	0,600000
3	7	15	9	0,600000
3	8	2	2	1.000000
3	9	2	2	1.000000
3	10	12	8	0,666667
3	11	49	32	0,653061
3	14	144	122	0,847222
3	15	2	2	1.000000
4	5	75	42	0,560000
4	6	4	2	0,500000
4	7	5	2	0,400000
4	8	9	4	0,444444
4	9	3	2	0,666667
4	10	2	2	1.000000
4	12	39	26	0,666667
4	13	144	113	0,784722
5	6	1	1	1.000000
5	8	3	1	0,333333
5	9	3	1	0,333333
5	10	1	1	1.000000
5	12	144	93	0,645833
5	13	19	16	0,842105
6	7	9	6	0,666667
6	8	1	0	0,000000
6	10	7	4	0.571429
6	11	144	90	0,625000
6	14	15	13	0,866667
7	8	2	1	0,500000
7	10	144	87	0,604167
7	11	3	0	0,000000
7	14	1	1	1.000000
7	15	5	3	0,600000
8	9	144	74	0,513889
8	11	1	1	1.000000
8	12	2	0	0,000000
8	13	1	1	1.000000
8	16	1	0	0,000000
9	11	1	0	0,000000
9	13	1	1	1.000000
10	11	3	1	0,333333
10	14	1	1	1.000000
10	15	5	5	1.000000
11	14	7	6	0,857143
12	13	12	9	0,750000

Análise

A maneira como eu costumava analisar a probabilidade de um chaveamento perfeito era observar o histórico de vitórias de um time cabeça de chave sobre outro. Por exemplo, a probabilidade de um time cabeça de chave número 4 vencer um cabeça de chave número 5. No momento em que escrevo este texto, com 36 anos de dados, de 1985 a 2021, esse confronto ocorreu 75 vezes, com o time cabeça de chave número 4 vencendo 42 delas, resultando em uma probabilidade de 56%. Este é um método razoável, mas sofre com o problema do tamanho pequeno da amostra. Acredito que uma maneira melhor de obter a probabilidade de o time com a melhor classificação vencer qualquer partida, considerando os dois números de classificação, é analisar todos os 2.268 jogos do torneio disputados nos 36 anos entre 1985 e 2021. Isso me permitiu suavizar as oscilações nos dados e obter uma estimativa mais precisa. Explico com mais detalhes como fiz isso na minha página sobre o March Madness .

A tabela a seguir mostra a probabilidade de a equipe com a melhor classificação vencer qualquer confronto possível necessário para a vitória, caso o jogador tenha escolhido a equipe com a melhor classificação em todas as partidas. No caso de uma equipe com a melhor classificação enfrentando outra equipe com a melhor classificação, considero uma probabilidade de 50% de vitória em qualquer partida. A probabilidade calculada pelo "método antigo" considera a probabilidade exata, com base na experiência histórica. O "novo método" baseia-se em um método de suavização dos dados para obter uma representação mais precisa da força de cada equipe.

Probabilidade de vitória do favorito

Redondo	Evento	Jogos jogados	Probabilidade Método antigo	Probabilidade Novo método
1	1 bate 16	4	0,993056	0,993049
1	2 batidas 15	4	0,930556	0,933458
1	3 batidas 14	4	0,847222	0,887485
1	4 batidas 13	4	0,784722	0,832170
1	5 batidas 12	4	0,645833	0,768372
1	6 batidas 11	4	0,625000	0,697340
1	7 batidas 10	4	0,604167	0,620749
1	8 batidas 9	4	0,513889	0,540650
2	1 batida 8	4	0,800000	0,792047
2	4 batidas 5	4	0,560000	0,540873
2	3 batidas 6	4	0,600000	0,622246
2	2 batidas 7	4	0,695122	0,702952
3	1 batida 4	4	0,734375	0,668944
3	2 batidas 3	4	0,607143	0,551538
4	1 bate 2	4	0,537313	0,578959
5	1 batida 1	2	0,500000	0,500000
6	1 batida 1	1	0,500000	0,500000

Antes de prosseguir, deixe-me usar a notação pr(x) = probabilidade de o evento x acontecer. Por exemplo, pr(rolar um total de 7 com dois dados) = 1/6.

Lembre-se que o torneio tem quatro divisões, então, nas quatro primeiras rodadas, o jogador terá que vencer cada confronto quatro vezes.

A probabilidade de vencer todos os 32 jogos na primeira rodada e avançar para a segunda rodada é: [pr(1º cabeça de chave vence o 16º cabeça de chave)*pr(2º cabeça de chave vence o 15º cabeça de chave)*pr(3º cabeça de chave vence o 14º cabeça de chave)*pr(4º cabeça de chave vence o 13º cabeça de chave)*pr(5º cabeça de chave vence o 12º cabeça de chave)*pr(6º cabeça de chave vence o 11º cabeça de chave)*pr(7º cabeça de chave vence o 10º cabeça de chave)*pr(8º cabeça de chave vence o 9º cabeça de chave)]^4.

Com o novo método, a probabilidade de sobreviver até a segunda rodada é de 1 em 4.354.

Na segunda rodada, o jogador terá 16 jogos para vencer. Supondo que ele sobreviva à primeira rodada, a probabilidade de sobreviver à segunda rodada será [pr(1º colocado vence o 8º colocado)*pr(2º colocado vence o 7º colocado)*pr(3º colocado vence o 6º colocado)*pr(4º colocado vence o 5º colocado)]^4. Essa probabilidade, usando o novo método, é de 1 em 811. A probabilidade de sobreviver às rodadas 1 e 2 é de 1 em 3.531.138.

Na rodada 3, o jogador terá 8 jogos para vencer. Supondo que ele sobreviva às rodadas 1 e 2, a probabilidade de sobreviver à rodada 3 será [pr(cabeça de chave 1 vence cabeça de chave 4)*pr(cabeça de chave 2 vence cabeça de chave 3)]^4. Essa probabilidade, usando o novo método, é de 1 em 54. A probabilidade de sobreviver até este ponto, desde o início, é de aproximadamente 1 em 190 milhões.

Na rodada 4, o jogador terá 4 jogos para vencer. Todos serão jogos entre o cabeça de chave número 1 e o cabeça de chave número 1. Vamos assumir uma chance de 50% de vencer cada jogo. A probabilidade de vencer todos os quatro jogos é (1/2)^4 = 1 em 16. A probabilidade de sobreviver até este ponto, desde o início, é de aproximadamente 1 em 1,7 bilhão.

Na rodada 5, o jogador terá 2 jogos para vencer. Ambos serão jogos entre o cabeça de chave número 1 e o cabeça de chave número 1. Novamente, vamos assumir uma chance de 50% de vencer cada jogo. A probabilidade de vencer ambos os jogos é (1/2)^2 = 1 em 4. A probabilidade de sobreviver até este ponto, desde o início, é de aproximadamente 1 em 6,8 bilhões.

O jogador ainda terá mais um jogo para vencer, a partida final do campeonato. Se ele chegar até aqui, será outro confronto entre o cabeça de chave número 1 e o cabeça de chave número 1. Vamos assumir novamente uma chance de 50% de vitória. Isso eleva a probabilidade de chegar à partida final, para um chaveamento perfeito, para cerca de 1 em 13,6 bilhões.

Aliás, usar o método antigo resulta numa probabilidade de um colchete perfeito de 1 em 56,7 bilhões.

Prêmio Warren Buffett

Warren Buffett ofereceu US$ 1.000.000 por ano, vitaliciamente, a qualquer funcionário que preencha perfeitamente um diagrama de probabilidade. Warren tem cerca de 377.000 funcionários ( fonte ). Supondo que cada um seguisse a estratégia acima e vivesse mais 60 anos, o valor esperado por funcionário seria de 0,4 centavos e o custo esperado para o Sr. Buffett, considerando todos os seus funcionários, seria de US$ 1.667.

Se você não quiser arriscar dividir a glória de um chaveamento perfeito com alguém que siga minha estratégia, sugiro escolher um ou dois times cabeças de chave número 9 para vencer um time cabeça de chave número 8. A probabilidade de um time cabeça de chave número 9 vencer um time cabeça de chave número 8 é de 47,8%, então é um pequeno sacrifício para aumentar suas chances de monopolizar a glória de um chaveamento perfeito.