Variância no Blackjack

Introdução

Este apêndice apresenta informações pertinentes ao desvio padrão no blackjack. Pressupõe-se que o jogador esteja seguindo a estratégia básica em um jogo de cartas com corte. Cada mesa é o produto de uma simulação separada de cerca de dez bilhões de mãos jogadas.

Como lembrete, se a variância de uma mão é v, a covariância é c e o número de mãos jogadas simultaneamente é n, então a variância total é n×v + n×(n-1)×c.

A tabela a seguir é o resultado de muitas simulações e bastante trabalho de programação. Ela mostra a variância e a covariância para diversos conjuntos de regras.

Tabela Resumo

Baralhos	Suave 17	Dobro Depois Dividir	Render Permitido	Re-dividir Ases Permitido	Esperado Valor	Variância	Covariância
6	Ficar	Sim	Sim	Sim	-0,00281	1.303	0,479
6	Ficar	Não	Não	Não	-0,00573	1,295	0,478
6	Bater	Sim	Sim	Sim	-0,00473	1,312	0,487
6	Bater	Não	Não	Não	-0,00787	1.308	0,488
6	Bater	Sim	Não	Não	-0,00628	1.346	0,499
6	Bater	Não	Sim	Não	-0,00699	1,272	0,475
6	Bater	Não	Não	Sim	-0,00717	1.311	0,488
8	Bater	Não	Não	Não	-0,00812	1,309	0,489
2	Bater	Sim	Não	Não	-0,00398	1,341	0,495

A título de comparação, Stanford Wong, em seu livro Professional Blackjack (página 203), afirma que a variância é de 1,28 e a covariância de 0,47 para suas Regras de Referência, que são: seis baralhos, o dealer para no 17 suave, sem dobrar após dividir, sem dividir novamente ases e sem desistir. A segunda linha da minha tabela mostra que, para as mesmas regras, obtive 1,295 e 0,478, respectivamente, o que é suficientemente próximo para mim.

Efeito das mudanças nas regras sobre a variância

A próxima tabela mostra o efeito no valor esperado, na variância e na covariância de várias alterações nas regras em comparação com as Regras de Referência de Wong.

Efeito da variação das regras

Regra	Esperado Valor	Variância	Covariância
Fique em pé sobre o macio 17	0,00191	-0,00838	-0,00764
Dobro após divisão permitido	0,00159	0,03753	0,01091
Rendição permitida	0,00088	-0,03629	-0,01247
É permitido dividir ases novamente.	0,00070	0,00207	0,00037
Oito baralhos	-0,00025	0,00071	0,00063
Dois decks	0,00230	-0,00530	-0,00422

A seguir, são apresentadas tabelas que mostram a probabilidade de ganho líquido para uma a três mãos, de acordo com as Regras Liberais de Strip, definidas acima.

Regras liberais de strip-tease — jogando uma mão de cada vez

A primeira tabela mostra a probabilidade de cada resultado líquido jogando uma única mão sob o que eu chamo de "regras de strip liberal", que são as seguintes:

Seis decks
O revendedor está de olho nas rodas Soft 17 (S17).
Dobre em quaisquer duas primeiras cartas (DA2)
Dobro após divisão permitido (DAS)
Entrega tardia permitida (LS)
É permitido dividir ases novamente (RSA)
O jogador pode dividir novamente até três vezes (P3X)

6 baralhos S17 DA2 DAS LS RSA P3X — Uma mão

Lucro líquido	Probabilidade	Retornar
-8	0,00000019	-0,00000154
-7	0,00000235	-0,00001643
-6	0,00001785	-0,00010709
-5	0,00008947	-0,00044736
-4	0,00048248	-0,00192993
-3	0,00207909	-0,00623728
-2	0,04180923	-0,08361847
-1	0,40171191	-0,40171191
-0,5	0,04470705	-0,02235353
0	0,08483290	0,00000000
1	0,31697909	0,31697909
1,5	0,04529632	0,06794448
2	0,05844299	0,11688598
3	0,00259645	0,00778935
4	0,00076323	0,00305292
5	0,00014491	0,00072453
6	0,00003774	0,00022646
7	0,00000609	0,00004263
8	0,00000066	0,00000526
Total	1.00000000	-0,00277282

A tabela acima reflete o seguinte:

Vantagem da casa = 0,28%
Variância = 1,303
Desvio padrão = 1,142

Probabilidade de ganho líquido

Frequentemente me perguntam sobre a probabilidade de um ganho líquido no blackjack. A tabela a seguir responde a essa pergunta.

Resumo do Lucro Líquido no Blackjack

Evento	Probabilidade
Ganhar	42,43%
Empurrar	8,48%
Perda	49,09%

As três tabelas seguintes detalham os possíveis eventos, considerando se a primeira ação foi bater, parar, desistir, dobrar ou dividir.

Vitória líquida ao atacar, ficar de pé ou desistir primeiro.

Evento	Total	Probabilidade	Retornar
1,5	77147473	0,05144768	0,07717152
1	537410636	0,35838544	0,35838544
0	127597398	0,08509145	0
-0,5	76163623	0,05079158	-0,02539579
-1	681213441	0,45428386	-0,45428386
Total	1499532571	1	-0,04412269

Lucro líquido ao dobrar a primeira ação

Evento	Total	Probabilidade	Retornar
2	89463603	0,54980265	1,09960529
0	11301274	0,06945249	0
-2	61954607	0,38074486	-0,76148972
Total	162719484	1	0,33811558

Lucro líquido ao dividir a primeira ação

Evento	Total	Probabilidade	Retornar
8	1079	0,00002554	0,00020428
7	10440	0,00024707	0,00172948
6	64099	0,00151694	0,00910166
5	247638	0,00586051	0,02930255
4	1307719	0,030948	0,123792
3	4437365	0,10501306	0,31503917
2	10222578	0,24192379	0,48384758
1	2822458	0,06679526	0,06679526
0	5621675	0,1330405	0
-1	3520209	0,08330798	-0,08330798
-2	9425393	0,2230579	-0,4461158
-3	3559202	0,08423077	-0,25269231
-4	828010	0,01959538	-0,07838153
-5	152687	0,00361343	-0,01806717
-6	30536	0,00072265	-0,00433592
-7	3972	0,000094	-0,000658
-8	305	0,00000722	-0,00005774
Total	42255365	1	0,14619552

Regras liberais de strip-tease — Jogando com duas mãos ao mesmo tempo

A tabela a seguir mostra o resultado líquido jogando duas mãos simultaneamente sob as Regras Liberais de Strip, explicadas acima. A coluna "Retorno" mostra o ganho líquido entre as duas mãos.

6 Decks S17 DA2 DAS LS RSA P3X — Duas Mãos

Lucro líquido	Probabilidade	Retornar
-14	0,00000000	0,00000000
-13	0,00000000	-0,00000001
-12	0,00000001	-0,00000006
-11	0,00000003	-0,00000035
-10	0,00000023	-0,00000228
-9	0,00000163	-0,00001464
-8	0,00001040	-0,00008324
-7,5	0,00000000	-0,00000003
-7	0,00005327	-0,00037288
-6,5	0,00000009	-0,00000061
-6	0,00024527	-0,00147159
-5,5	0,00000114	-0,00000629
-5	0,00106847	-0,00534234
-4,5	0,00000967	-0,00004352
-4	0,00654661	-0,02618644
-3,5	0,00005733	-0,00020065
-3	0,04607814	-0,13823442
-2,5	0,00214887	-0,00537218
-2	0,23285866	-0,46571732
-1,5	0,03547663	-0,05321495
-1	0,09903321	-0,09903321
-0,5	0,01386072	-0,00693036
0	0,14677504	0,00000000
0,5	0,05888290	0,02944145
1	0,06026238	0,06026238
1,5	0,01030563	0,01545845
2	0,17250085	0,34500170
2,5	0,03020186	0,07550465
3	0,06443204	0,19329612
3,5	0,00559850	0,01959474
4	0,01072401	0,04289604
4,5	0,00024927	0,00112171
5	0,00187139	0,00935695
5,5	0,00007341	0,00040373
6	0,00049405	0,00296428
6,5	0,00001414	0,00009193
7	0,00012404	0,00086825
7,5	0,00000369	0,00002767
8	0,00002933	0,00023466
8,5	0,00000060	0,00000508
9	0,00000543	0,00004888
9,5	0,00000007	0,00000063
10	0,00000083	0,00000834
11	0,00000013	0,00000141
12	0,00000002	0,00000028
13	0,00000000	0,00000005
14	0,00000000	0,00000001
Total	1.00000000	-0,00563798

A tabela acima reflete o seguinte:

Vantagem da casa = 0,28%
Variância por rodada = 3,565
Variância por mão = 1,782
Desvio padrão por mão = 1,335

Regras liberais de strip-tease — Jogando três mãos simultaneamente

A tabela a seguir mostra o resultado líquido jogando três mãos simultaneamente sob as Regras Liberais de Strip, explicadas acima. A coluna "Retorno" mostra o lucro líquido entre as três mãos.

6 baralhos S17 DA2 DAS LS RSA P3X — Três mãos

Lucro líquido	Probabilidade	Retornar
-16	0,00000000	-0,00000001
-15	0,00000000	-0,00000001
-14	0,00000001	-0,00000007
-13	0,00000003	-0,00000041
-12	0,00000018	-0,00000218
-11	0,00000100	-0,00001099
-10,5	0,00000000	0,00000000
-10	0,00000531	-0,00005309
-9,5	0,00000001	-0,00000006
-9	0,00002581	-0,00023228
-8,5	0,00000005	-0,00000047
-8	0,00011292	-0,00090339
-7,5	0,00000049	-0,00000370
-7	0,00046097	-0,00322680
-6,5	0,00000397	-0,00002581
-6	0,00197390	-0,01184341
-5,5	0,00002622	-0,00014419
-5	0,00969361	-0,04846807
-4,5	0,00022638	-0,00101870
-4	0,04183392	-0,16733566
-3,5	0,00319799	-0,01119297
-3	0,15826947	-0,47480842
-2,5	0,02641456	-0,06603640
-2	0,08893658	-0,17787317
-1,5	0,02183548	-0,03275322
-1	0,09681697	-0,09681697
-0,5	0,04992545	-0,02496273
0	0,06712076	0,00000000
0,5	0,02111145	0,01055572
1	0,08978272	0,08978272
1,5	0,03789943	0,05684914
2	0,04349592	0,08699183
2,5	0,01123447	0,02808618
3	0,10813504	0,32440511
3,5	0,02489093	0,08711825
4	0,06196736	0,24786943
4,5	0,00906613	0,04079759
5	0,01805409	0,09027044
5,5	0,00154269	0,00848480
6	0,00409323	0,02455940
6,5	0,00027059	0,00175885
7	0,00107315	0,00751203
7,5	0,00007208	0,00054062
8	0,00030105	0,00240840
8,5	0,00001824	0,00015505
9	0,00008014	0,00072126
9,5	0,00000431	0,00004096
10	0,00001901	0,00019010
10.5	0,00000081	0,00000846
11	0,00000398	0,00004379
11,5	0,00000013	0,00000144
12	0,00000078	0,00000939
12,5	0,00000002	0,00000023
13	0,00000016	0,00000214
13,5	0,00000001	0,00000008
14	0,00000003	0,00000045
14,5	0,00000000	0,00000001
15	0,00000001	0,00000009
15,5	0,00000000	0,00000000
16	0,00000000	0,00000002
17	0,00000000	0,00000001
Total	1.00000000	-0,00854917