Probabilidades do Jackpot Progressivo Megabucks

Introdução

Esta página analisa as probabilidades da máquina caça-níqueis com jackpot progressivo Megabucks, incluindo o jackpot médio e o ponto de equilíbrio.

Por ora, vamos ignorar o fato de que o prêmio é pago em parcelas ao longo de 25 anos e que estaria sujeito ao imposto de renda.

Não sei exatamente como o Megabucks é programado. No entanto, existem algumas informações de conhecimento público. Se juntarmos as peças, podemos fazer uma estimativa bastante precisa do ponto em que o retorno é de 100%, conhecido como "ponto de equilíbrio". Eis o que sabemos:

Segundo John Robison, a probabilidade de ganhar o jackpot é de 1 em 49.836.032. Este número vem de um artigo intitulado "Megabucks closes in on record jackpot" do Las Vegas Sun, de 24 de dezembro de 1999. Essa probabilidade equivale a (1/368) ^³ , o que implica que cada rolo tem uma chance de 1 em 368 de parar no símbolo do jackpot.

O Conselho de Controle de Jogos de Nevada indica que o lucro da Megabucks, tanto em termos percentuais quanto em valores absolutos, foi obtido. A seguir, um resumo referente ao período de 1994 a 2009.

Vitória Megabucks — 1994 a 2009

Ano	Ganhe ($)	Ganhar (%)
2009	53.352.000	10,43%
2008	83.981.000	11,85%
2007	88.858.000	12,72%
2006	100.923.000	12,39%
2005	100.923.000	12,39%
2004	67.326.000	10,54%
2003	83.069.000	10,41%
2002	76.842.000	11,98%
2001	69.821.000	11,50%
2000	69.103.000	9,75%
1999	74.921.000	12,28%
1998	134.943.000	12,25%
1997	66.166.000	12,18%
1996	57.619.000	10,03%
1995	65.223.000	10,48%
1994	46.760.000	9,44%
total	1.239.830.000	11,39%

A informação mais importante desta tabela é que o lucro total do jogo foi de 11,39%. Em outras palavras, 88,61% retorna aos jogadores.

Segundo uma fonte já extinta, a partir de setembro de 2005, o prêmio da Megabucks foi zerado para US$ 10 milhões. Antes disso, o valor zerado era de US$ 7 milhões.
De acordo com o site a2zlasvegas.com , houve 11 prêmios principais ganhos entre setembro de 2005 e a data do último prêmio (21 de fevereiro de 2010). O mesmo site mostra que um prêmio principal foi ganho em 15 de setembro de 2005. O número de dias entre essa data e o momento da redação deste texto é de 1.619 dias. Também podemos ver nesse site que o total dos últimos 11 prêmios principais foi de US$ 167.367.727. Desse valor, US$ 110.000.000 vieram dos valores zerados e US$ 57.367.727 vieram da contribuição progressiva.

Podemos estimar o número de vezes que o Megabucks foi jogado durante o período de 1619 dias dividindo o número de jackpots (11) pela probabilidade de ganhar: 11/(1/368) ³ = 548.196.352. Supondo que cada jogador apostou os $3 necessários para ganhar o jackpot, então um total de $1.644.589.056 foi apostado.

A parcela do dinheiro devolvida aos jogadores na forma de jackpots é, portanto, de US$ 167.367.727/US$ 1.644.589.056 = 10,18%. De acordo com os relatórios de jogos de Nevada, sabemos que um total de 88,61% é devolvido aos jogadores. Isso significa que a parcela devolvida aos jogadores em prêmios que não são jackpots é de 88,61% - 10,18% = 78,44% (a diferença aparente de 0,01% deve-se ao arredondamento).

Se não houvesse pequenos prêmios e nenhuma contribuição progressiva, o retorno do jogo seria de US$ 10 milhões / (3 × (1/368) ^³ ) = 6,69%. Como já mostrado, o retorno total dos jackpots é de 10,18%, restando 3,49% do medidor de jackpot. Aqui está um resumo de para onde vai cada US$ 1 apostado no Megabucks:

Análise detalhada do Megabucks

Item	Centavos
Vitórias combinadas	78,44 centavos
Reinicialização do medidor	6,69 centavos
Contribuição progressiva	3,49 centavos
Lucro	11,39 centavos
Total	100,00 centavos

O valor médio em que o prêmio principal será ganho é de 10 milhões + [$3 × 0,0349 / (1/368) ³ ] = $15.215.248. Em 2006, quando o prêmio acumulado estava próximo de $16 milhões, a IGT, criadora da Megabucks, comprou anúncios na mídia local afirmando que o prêmio estava "atrasado" para ser ganho. Sou citado em um artigo do Las Vegas Sun sobre o assunto, intitulado " Pennies ready to pop " (Centavos prontos para estourar). Isso parece indicar que meu valor de $15,2 milhões não está muito longe da realidade.

Se j for o prêmio máximo no qual o jogo se torna uma aposta justa, com um retorno de 100%, então podemos calcular j da seguinte forma:

1 = 0,7844 + j × (1/368) ³ /3
j × (1/368) ³ /3 = 1 - 0,7844
j = 3 × (1 - 0,7844) / (1/368) ³
j = $ 32.238.319.

A probabilidade de um determinado prêmio acumulado atingir esse valor é de 1,41%. No ritmo atual de apostas, um prêmio acumulado desse valor deve atingir, em média, uma vez a cada 29 anos.

Em qualquer momento, o retorno pode ser estimado como 78,44% + 0,6689% × m, onde m é o valor em milhões do prêmio acumulado atual. Por exemplo, com um prêmio acumulado de US$ 15 milhões, o retorno seria de 78,44% + 0,006689 × 15 = 88,47%.

Todas as informações desta página devem ser consideradas como uma estimativa aproximada. Vários fatores podem causar variações, incluindo jogadores que não apostaram os $3 completos e o fato de que, embora 11 prêmios principais tenham sido ganhos no período do estudo, o número esperado pode ser maior ou menor.

Vale ressaltar que o cálculo acima não leva em consideração a anuidade nem os impostos. Vejamos o que acontece se considerarmos esses fatores. Para o valor do dinheiro no tempo, vamos usar o retorno dos títulos do Tesouro de longo prazo. Os prêmios milionários são pagos em uma anuidade de 25 anos. No momento em que este texto foi escrito, um título do Tesouro de 20 anos pagava 4,58% de juros, e um de 30 anos, 4,74%. Vamos considerar a média, 4,66%. Usando alguns cálculos atuariais que não abordarei aqui, o valor da anuidade corresponde a 61,07% do valor nominal, com base nessa taxa de juros e em 25 parcelas anuais, no início de cada ano.

Para fins de impostos, vamos supor um valor próximo ao prêmio esperado de US$ 15 milhões. Considerando as alíquotas de imposto de renda de 2010 , e supondo que o ganhador declare imposto de renda em conjunto com outra pessoa, e que todas as outras rendas sejam exatamente iguais às deduções, o imposto devido será de 30,05% em 2010. Supondo que não haja mudanças na legislação tributária, esse valor diminuirá com o tempo, pois as faixas de tributação serão ajustadas para cima, mas os valores do prêmio não serão. Acredito que a recente aprovação da reforma da saúde aumentará as alíquotas de impostos, especialmente para rendimentos elevados. Para simplificar, vamos assumir que esses fatores se anulam.

Para arredondar os números, o vencedor ficará com 61% após a anuidade e 70% desse valor após os impostos. Assim, o ganhador do prêmio principal receberá cerca de 61% × 70% = 42,7% do valor ganho em dólares atuais. Considerando a anuidade e os impostos, o ponto de equilíbrio passa a ser de US$ 75,5 milhões. A probabilidade de um prêmio principal atingir esse valor é de aproximadamente 1 em 283.000, o que ocorre uma vez a cada 114.000 anos. Novamente, estou fazendo muitas suposições, portanto, essas estimativas devem ser consideradas bastante aproximadas.

Após a publicação deste artigo, um leitor citou uma página do site slot-machine-resource.com , que afirma que, após o pagamento da primeira parcela, o jogador tem a opção de receber 60% do restante imediatamente ou manter o plano de parcelamento. Deixando de lado as implicações fiscais, que favorecem a anuidade, a taxa de juros equivalente para ambas as opções é de 4,581%.

Links externos

Megabucks se aproxima de prêmio recorde, segundo o Las Vegas Sun, 24 de dezembro de 1999.
Conselho de Controle de Jogos de Nevada
Percentual de pagamento das máquinas caça-níqueis, do Cassino Cassaon.
Histórico dos Jackpots do Megabucks , de a2zlasvegas.com.
"Pennies Ready to Pop" , do Las Vegas Sun de 9 de agosto de 2006.
Megabucks , de slot-machine-resource.com.

Escrito por: Michael Shackleford