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Desvio padrão para videopôquer multijogador
Introdução
Este artigo indica a covariância entre mãos no video poker com múltiplos jogadores e como usar essa informação. Salvo indicação em contrário, o termo "mão" refere-se à mão inicial (draw), e não à mão que recebe as cartas.
A variância total no vídeo poker de n jogadas, onde a variância por mão é v e a covariância entre quaisquer duas mãos é c, é igual a n×v + n×(n-1)×c.
A tabela a seguir mostra informações básicas, incluindo a covariância entre quaisquer duas mãos, em seis jogos comuns de video poker.
Estatísticas básicas
| Jogo | Tabela de Pagamento | Retornar | Variância | Covariância |
|---|---|---|---|---|
| Bônus Dois | 9-4-4-3 | 0,994502 | 32,662818 | 3,806094 |
| Bônus Poker | 8-5 | 0,991660 | 20,904082 | 2.120027 |
| Deuces Wild | 25-15-10-4-4-3 | 0,994179 | 25,679180 | 3,024385 |
| Bônus Duplo | 9-7-5 | 0,991065 | 28.547130 | 3,350788 |
| Bônus Duplo Duplo | 9-6 | 0,989808 | 41,984981 | 4,809024 |
| Valetes ou Melhor | 9-6 | 0,995439 | 19,514676 | 1,966389 |
Valetes ou Melhor
A tabela a seguir mostra a variância e o desvio padrão, tanto para todas as mãos combinadas quanto para cada mão individualmente, para o jogo 9-6 Jacks or Better.
9-6 Jacks ou Melhor
| Peças | Total Variância | Total Padrão Desvio | Por jogada Variância | Por jogada Padrão Desvio |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 19,514676 | 4,417542 | 19,514676 | 4,417542 |
| 3 | 70,342362 | 8,387035 | 23,447454 | 4,842257 |
| 5 | 136.901160 | 11,700477 | 27.380232 | 5.232612 |
| 10 | 372.121770 | 19.290458 | 37,212177 | 6.100178 |
| 25 | 1667,700300 | 40,837486 | 66.708012 | 8,167497 |
| 50 | 5793,386850 | 76.114301 | 115,867737 | 10,764188 |
| 100 | 21418.718700 | 146,351354 | 214.187187 | 14,635135 |
Bônus Poker
A tabela a seguir mostra a variância e o desvio padrão, tanto para todas as mãos combinadas quanto para cada mão individualmente, no pôquer bônus 8-5.
Bônus de pôquer 8-5
| Peças | Total Variância | Total Padrão Desvio | Por jogada Variância | Por jogada Padrão Desvio |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 20,904082 | 4,572098 | 20,904082 | 4,572098 |
| 3 | 75,432408 | 8,685183 | 25.144136 | 5.014393 |
| 5 | 146,920950 | 12.121095 | 29,384190 | 5.420719 |
| 10 | 399,843250 | 19,996081 | 39,984325 | 6,323316 |
| 25 | 1794,618250 | 42,362935 | 71,784730 | 8,472587 |
| 50 | 6239.270250 | 78.989051 | 124,785405 | 11.170739 |
| 100 | 23078.675500 | 151,916673 | 230,786755 | 15,191667 |
Pôquer com Bônus Duplo
A tabela a seguir mostra a variância e o desvio padrão, tanto para todas as mãos combinadas quanto para cada mão individualmente, no poker 9-7-5 Double Bonus.
9-7-5 Bônus Duplo Poker
| Peças | Total Variância | Total Padrão Desvio | Por jogada Variância | Por jogada Padrão Desvio |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 28.547130 | 5,342951 | 28.547130 | 5,342951 |
| 3 | 105,746118 | 10,283293 | 35.248706 | 5,937062 |
| 5 | 209,751410 | 14,482797 | 41,950282 | 6,476904 |
| 10 | 587.042220 | 24,228954 | 58,704222 | 7,661868 |
| 25 | 2724.151050 | 52,193400 | 108,966042 | 10,438680 |
| 50 | 9636,787100 | 98,167139 | 192,735742 | 13,882930 |
| 100 | 36027.514200 | 189,809152 | 360,275142 | 18.980915 |
Pôquer Double Double Bonus
A tabela a seguir mostra a variância e o desvio padrão, tanto para todas as mãos combinadas quanto para cada mão individualmente, no poker Double Double Bonus 9-6.
9-6 Double Double Bonus Poker
| Peças | Total Variância | Total Padrão Desvio | Por jogada Variância | Por jogada Padrão Desvio |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 41,984981 | 6,479582 | 41,984981 | 6,479582 |
| 3 | 154,809087 | 12.442230 | 51.603029 | 7,183525 |
| 5 | 306.105385 | 17,495868 | 61.221077 | 7,824390 |
| 10 | 852,661970 | 29.200376 | 85,266197 | 9,233970 |
| 25 | 3935,038925 | 62,729889 | 157,401557 | 12,545978 |
| 50 | 13881,357850 | 117,819174 | 277,627157 | 16,662147 |
| 100 | 51807.835700 | 227,613347 | 518.078357 | 22,761335 |
Deuces Wild
A tabela a seguir mostra a variância e o desvio padrão, tanto para todas as mãos combinadas quanto para cada mão individualmente, para a combinação 25-15-10-4-4-3 Deuces Wild.
25-15-10-4-4-3 Dois Selvagens
| Peças | Total Variância | Total Padrão Desvio | Por jogada Variância | Por jogada Padrão Desvio |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 25,679180 | 5,067463 | 25,679180 | 5,067463 |
| 3 | 95,183850 | 9,756221 | 31,727950 | 5,632757 |
| 5 | 188,883600 | 13,743493 | 37,776720 | 6,146277 |
| 10 | 528,986450 | 22,999705 | 52,898645 | 7,273145 |
| 25 | 2456,610500 | 49,564206 | 98,264420 | 9,912841 |
| 50 | 8693.702250 | 93.240025 | 173,874045 | 13.186131 |
| 100 | 32509.329500 | 180,303437 | 325,093295 | 18.030344 |
Bônus Dois Selvagens
A tabela a seguir mostra a variância e o desvio padrão, tanto para todas as mãos combinadas quanto para cada mão individualmente, para a combinação 9-4-4-3 Bonus Deuces Wild.
9-4-4-3 Bônus Dois Selvagens
| Peças | Total Variância | Total Padrão Desvio | Por jogada Variância | Por jogada Padrão Desvio |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 32,662818 | 5,715139 | 32,662818 | 5,715139 |
| 3 | 120,825018 | 10,992043 | 40,275006 | 6,346259 |
| 5 | 239,435970 | 15,473719 | 47,887194 | 6.920057 |
| 10 | 669,176640 | 25,868449 | 66,917664 | 8.180322 |
| 25 | 3100,226850 | 55,679681 | 124.009074 | 11.135936 |
| 50 | 10958.071200 | 104.680806 | 219.161424 | 14.804102 |
| 100 | 40946.612400 | 202.352693 | 409.466124 | 20,235269 |
Pares de probabilidade
A tabela a seguir mostra a probabilidade de quaisquer duas mãos específicas no descarte, dada a mesma mão na distribuição, considerando a estratégia para 9-6 Valetes ou Melhor. A linha da esquerda mostra a "mão 1" e a coluna superior mostra a "mão 2". Devido às probabilidades muito pequenas em alguns campos, utilizo notação científica.
Tabela de Pares de Probabilidade 1 — 9-6 Valetes ou Melhor
| Mão 1 | Nada | Trabalho | 2 pares | 3 tipos | Direto | Descarga | FH | 4 tipos | São Francisco | RF |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nada | 3,77E-01 | 7,93E-02 | 4,53E-02 | 2,85E-02 | 5.42E-03 | 6,66E-03 | 2.40E-03 | 6.11E-04 | 6,99E-05 | 1,42E-05 |
| Valetes ou melhor | 7,93E-02 | 9,92E-02 | 2.01E-02 | 1,28E-02 | 9,38E-04 | 9.26E-04 | 1,09E-03 | 2,78E-04 | 6,93E-06 | 5,68E-06 |
| Dois pares | 4,53E-02 | 2.01E-02 | 5.12E-02 | 7,92E-03 | 1,08E-04 | 8.13E-05 | 4.40E-03 | 1,87E-04 | 1,21E-06 | 4.98E-07 |
| Três de um tipo | 2,85E-02 | 1,28E-02 | 7,92E-03 | 2,25E-02 | 4,33E-05 | 3,13E-05 | 1,65E-03 | 9,38E-04 | 4,25E-07 | 1,85E-07 |
| Direto | 5.42E-03 | 9,38E-04 | 1,08E-04 | 4,33E-05 | 4,65E-03 | 6,03E-05 | 2,45E-06 | 3,34E-07 | 5,52E-06 | 7,96E-07 |
| Descarga | 6,66E-03 | 9.26E-04 | 8.13E-05 | 3,13E-05 | 6,03E-05 | 3,25E-03 | 1,38E-06 | 1,93E-07 | 9,94E-06 | 1,66E-06 |
| Casa cheia | 2.40E-03 | 1,09E-03 | 4.40E-03 | 1,65E-03 | 2,45E-06 | 1,38E-06 | 1,91E-03 | 6,66E-05 | 7,41E-09 | 6,85E-09 |
| Quatro de um mesmo tipo | 6.11E-04 | 2,78E-04 | 1,87E-04 | 9,38E-04 | 3,34E-07 | 1,93E-07 | 6,66E-05 | 2,82E-04 | 9,86E-10 | 8,61E-10 |
| Straight flush | 6,99E-05 | 6,93E-06 | 1,21E-06 | 4,25E-07 | 5,52E-06 | 9,94E-06 | 7,41E-09 | 9,86E-10 | 1,54E-05 | 3,69E-08 |
| Rubor Real | 1,42E-05 | 5,68E-06 | 4.98E-07 | 1,85E-07 | 7,96E-07 | 1,66E-06 | 6,85E-09 | 8,61E-10 | 3,69E-08 | 1,71E-06 |
A próxima tabela apresenta as mesmas informações, mas com mais dígitos significativos. Ela mostra o número de combinações com até 15 dígitos (o máximo do Excel) para cada par de mãos, independentemente da ordem. Observe que o retorno total das duas mãos combinadas é igual ao dobro do retorno de uma única mão.
Tabela de Pares de Probabilidade 2 — 9-6 Valetes ou Melhor
| Mão 1 | Mão 2 | Combinações | Probabilidade | Paga | Retornar |
|---|---|---|---|---|---|
| Nada | Nada | 57.664.992.337.108.000.000 | 0,377187 | 0 | 0,000000 |
| Nada | Valetes ou melhor | 24.232.729.458.658.400.000 | 0,158506 | 1 | 0,158506 |
| Nada | Dois pares | 13.845.304.964.002.300.000 | 0,090562 | 2 | 0,181124 |
| Nada | Três de um tipo | 8.726.039.157.387.020.000 | 0,057077 | 3 | 0,171231 |
| Nada | Direto | 1.657.016.578.993.360.000 | 0,010839 | 4 | 0,043354 |
| Nada | Descarga | 2.035.490.553.224.720.000 | 0,013314 | 6 | 0,079885 |
| Nada | Casa cheia | 734.942.598.554.528.000 | 0,004807 | 9 | 0,043265 |
| Nada | Quatro de um mesmo tipo | 186.860.795.577.763.000 | 0,001222 | 25 | 0,030556 |
| Nada | Straight flush | 21.359.122.264.576.200 | 0,000140 | 50 | 0,006986 |
| Nada | Rubor Real | 4.338.415.760.266.080 | 0,000028 | 800 | 0,022702 |
| Valetes ou melhor | Valetes ou melhor | 15.165.995.951.987.900.000 | 0,099201 | 2 | 0,198402 |
| Valetes ou melhor | Dois pares | 6.140.587.770.092.040.000 | 0,040166 | 3 | 0,120497 |
| Valetes ou melhor | Três de um tipo | 3.915.849.147.073.900.000 | 0,025614 | 4 | 0,102454 |
| Valetes ou melhor | Direto | 286.715.798.957.348.000 | 0,001875 | 5 | 0,009377 |
| Valetes ou melhor | Descarga | 283.137.319.731.984.000 | 0,001852 | 7 | 0,012964 |
| Valetes ou melhor | Casa cheia | 332.470.711.745.820.000 | 0,002175 | 10 | 0,021747 |
| Valetes ou melhor | Quatro de um mesmo tipo | 84.953.934.410.987.400 | 0,000556 | 26 | 0,014448 |
| Valetes ou melhor | Straight flush | 2.119.322.635.042.600 | 0,000014 | 51 | 0,000707 |
| Valetes ou melhor | Rubor Real | 1.735.582.704.176.590 | 0,000011 | 801 | 0.009093 |
| Dois pares | Dois pares | 7.831.401.262.721.210.000 | 0,051225 | 4 | 0,204901 |
| Dois pares | Três de um tipo | 2.420.196.605.329.560.000 | 0,015831 | 5 | 0,079153 |
| Dois pares | Direto | 33.016.723.781.798.200 | 0,000216 | 6 | 0,001296 |
| Dois pares | Descarga | 24.847.188.037.349.400 | 0,000163 | 8 | 0,001300 |
| Dois pares | Casa cheia | 1.344.465.032.419.130.000 | 0,008794 | 11 | 0,096736 |
| Dois pares | Quatro de um mesmo tipo | 57.039.536.401.736.600 | 0,000373 | 27 | 0,010074 |
| Dois pares | Straight flush | 369.632.440.017.432 | 0,000002 | 52 | 0,000126 |
| Dois pares | Rubor Real | 152.242.916.946.336 | 0,000001 | 802 | 0,000799 |
| Três de um tipo | Três de um tipo | 3.444.111.124.875.160.000 | 0,022528 | 6 | 0,135168 |
| Três de um tipo | Direto | 13.253.848.139.056.700 | 0,000087 | 7 | 0,000607 |
| Três de um tipo | Descarga | 9.579.178.876.536.860 | 0,000063 | 9 | 0,000564 |
| Três de um tipo | Casa cheia | 503.473.320.786.464.000 | 0,003293 | 12 | 0,039519 |
| Três de um tipo | Quatro de um mesmo tipo | 286.901.966.781.062.000 | 0,001877 | 28 | 0,052546 |
| Três de um tipo | Straight flush | 129.844.380.330.888 | 0,000001 | 53 | 0,000045 |
| Três de um tipo | Rubor Real | 56.538.398.938.368 | 0,000000 | 803 | 0,000297 |
| Direto | Direto | 711.149.591.709.176.000 | 0,004652 | 8 | 0,037213 |
| Direto | Descarga | 18.447.113.220.812.200 | 0,000121 | 10 | 0,001207 |
| Direto | Casa cheia | 750.203.629.122.672 | 0,000005 | 13 | 0,000064 |
| Direto | Quatro de um mesmo tipo | 102.194.252.051.088 | 0,000001 | 29 | 0,000019 |
| Direto | Straight flush | 1.686.711.113.699.520 | 0,000011 | 54 | 0,000596 |
| Direto | Rubor Real | 243.362.705.981.664 | 0,000002 | 804 | 0,001280 |
| Descarga | Descarga | 496.154.126.958.398.000 | 0,003245 | 12 | 0,038944 |
| Descarga | Casa cheia | 421.220.447.825.760 | 0,000003 | 15 | 0,000041 |
| Descarga | Quatro de um mesmo tipo | 58.944.675.640.320 | 0,000000 | 31 | 0.000012 |
| Descarga | Straight flush | 3.039.629.528.763.520 | 0,000020 | 56 | 0,001113 |
| Descarga | Rubor Real | 507.089.614.448.808 | 0,000003 | 806 | 0,002673 |
| Casa cheia | Casa cheia | 291.555.196.668.645.000 | 0,001907 | 18 | 0,034327 |
| Casa cheia | Quatro de um mesmo tipo | 20.376.082.044.866.200 | 0,000133 | 34 | 0,004532 |
| Casa cheia | Straight flush | 2.265.084.537.408 | 0,000000 | 59 | 0,000001 |
| Casa cheia | Rubor Real | 2.094.928.008.912 | 0,000000 | 809 | 0,000011 |
| Quatro de um mesmo tipo | Quatro de um mesmo tipo | 43.043.223.890.517.600 | 0,000282 | 50 | 0,014077 |
| Quatro de um mesmo tipo | Straight flush | 301.525.772.352 | 0,000000 | 75 | 0,000000 |
| Quatro de um mesmo tipo | Rubor Real | 263.216.361.648 | 0,000000 | 825 | 0,000001 |
| Straight flush | Straight flush | 2.352.314.821.359.550 | 0,000015 | 100 | 0,001539 |
| Straight flush | Rubor Real | 11.282.026.370.328 | 0,000000 | 850 | 0,000063 |
| Rubor Real | Rubor Real | 261.652.407.890.112 | 0,000002 | 1600 | 0,002738 |
| Total | 0 | 152.881.798.431.626.000.000 | 1.000000 | 1,990878 |
Problemas de exemplo
Mary joga 800 mãos iniciais (na distribuição das moedas) de Jacks or Better de 10 jogadas. O jogo é em uma máquina de 25 centavos e Mary aposta cinco moedas por mão. Qual é o desvio padrão de todas as suas jogadas?
Primeiro, vamos calcular a variância por mão na distribuição em unidades. Como mostra a primeira tabela, a variância em Jacks or Better é 19,514676 e a covariância é 1,966389.
A variância total por mão na distribuição é de 10*19,514676 + 10*9*1,966389 = 372,121770 unidades. Este valor também pode ser encontrado na tabela Jacks or Better acima.
Em segundo lugar, multiplique a variância por mão na distribuição pelo número de mãos jogadas (na distribuição), que é 800. Isso nos dá 800 * 372,121770 = 297697.
Terceiro, multiplique a variância total em unidades pelo quadrado do valor apostado por jogada. Isso nos dá 297697 * 1,25 2 = $465.152,21.
Finalmente, tire a raiz quadrada da variância para obter o desvio padrão: $465.152,21 ÷ 0,5 = $682,02.
Observe na tabela Jacks or Better que o desvio padrão por mão em 10 jogadas é 6,100178.
Foram jogadas um total de 800×10 = 8000 mãos.
Uma fórmula geral para o desvio padrão é b × s × sqrt(n), onde:
b = valor da aposta
s = desvio padrão por mão
n = número de mãos.
Usando essa fórmula, obtemos um desvio padrão total de $1,25 × 6,100178 × sqrt(8000) = $682,02.